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第三部分 几何（与三角）【考试情况总结】几何与三角共49题一、平面几何（18道）1面积问题（9道）2长度问题（5道）3角度问题（4道）二、空间几何图形（9道）三、三角函数（5道）四、平面解析几何（17道）1平面直线问题（6道）2平面几何与平面解析几何综合问题（6道）3二次曲线问题（5道）内容综述一、平面几何图形1三角形（1）三角形的各元素（边、角、高、中线、周长、面积）（2）几种特殊三角形（直角、等腰、等边）2四边形（1）矩形（正方形）；（2）平行四边形（菱形）；（3）梯形注：对角线垂直的四边形面积3圆和扇形（1）圆(周长、面积、弦、切线、圆周角、圆心角)（2）扇形4平面图形的相似关系注：正多边形的内角和、椭圆的面积二、空间几何体1长方体（正方体）2圆柱体 3圆锥体 注：棱锥。4球 三、三角函数1定义（符号，特殊角的三角函数值）2常用的三角函数恒等式同角恒等式：两角和公式：诱导公式：注：解斜三角形（正弦定理、余弦定理）；3反三角函数；四、平面直线1直线方程（倾角、斜率，点斜式、斜截式、截距式、一般式）；2两条直线的位置关系（相交，平行，垂直）；平行但不重合：；重合：；垂直：3点到直线的距离 ， 注：直线与圆的位置关系；两个圆的位置关系；关于直线的对称问题五、圆锥曲线1 圆（1）定义：到一定点距离为一常数的点的集合（2）方程：2椭圆（1）定义：到两定点距离之和为一常数的点的集合（2）方程:（3）图像；（4）离心率；（5）准线 3双曲线（1）定义：到两定点距离之差的绝对值为一常数的点的集合（2）方程:（3）图像；（4）离心率；（5）准线 （6）渐近线；4抛物线（1）定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合（2）方程；， 焦点（3）图像；（4）离心率 ；（5）准线注：如何判断二次方程的图像？当时，一般为圆；当时，一般为椭圆；当时，一般为双曲线；当时，为抛物线典型例题一、平面几何例1半径为的圆的内接正三角形面积是（ ）ABCD答：D分析：本题考查了圆的半径与其内接正三角形的中线的关系，及正三角形中线与边长的关系由于半径为的圆的内接正三角形的中线（高）长为，所以该正三角形的边长为，面积为故正确选项为D例2若某人匀速地路过一盏路灯，则其头顶影子的移动速度（ ）A先逐渐变慢，后逐渐变快B先逐渐变快，后逐渐变慢C是一常数D无法确定答：C分析：本题主要考查了相似三角形对应边成比例的性质及运动速度的概念OAB如图，是路灯的高度、是行人的身高设行人的速度为，行人从O点走到A点需要的时间是，则根据相似三角形对应边成比例得，所以，即行人的影子点B的速度是常数故正确选项为C例3如图，是正方形外的一点，的面积是，的面积是，则正方形的面积是（ ）ABCDDCABP答：ADCABPEF解1：如图，是三角形的高，是三角形的高,由于 ，且，所以，解得，从而解2：如设角的大小为，则角的大小等于由于三角形的面积为，三角形的面积为，两式相比得 ，所以由于，且，所以，从而正方形的面积是故正确选项为A二、空间几何体例1如图，斜截圆柱体的最大高度为，最小高度为，下底面半径为，则其体积与上底椭圆面的面积分别是（ ）ABCD答：A分析：根据题意及割补的思想可知该柱体的平均高度为，所以它的体积为至此可将选项B,D排除上底椭圆面的一个半轴长就是下底面的半径，另一个半轴长利用勾股定理得到，所以上底椭圆面的面积为综上可知正确选项为A例2若某圆锥的底面积为，轴截面面积为，则其体积为（ ）ABCD答：A分析：设该圆锥的底面半径为、高为由得，由得，所以该圆锥的体积为故正确选项为A例3平面中的四个点在某个球面上，球心到该平面的距离是其半径的一半，则球的体积是（ ）ABCD答：C分析：由于点都在圆周上，且，所以四边形是圆的内接正方形，该圆的半径为设球体的半径为，则图中直角三角形的两条直角边分别为，斜边为根据勾股定理得 ，即，所以球的体积为三、三角函数例1若函数满足，则（ ）ABCD答：C分析：本题考查了反函数的概念及特殊角的正弦值因为，所以与互为反函数，即，所以故正确选项为C例2如果与均是锐角，且，那么（ ）ABCD答：A分析：本题主要考查了同角关系式、两角和的正弦公式及三角函数的符号问题因为，且与均是锐角，所以，从而。故正确选项为A例3设, 则从小到大的次序为（ ）A BC C答：A分析：本题主要考查了三角函数的性质和特殊角的三角函数值作为选择题，由于四个选项中又且仅有一个正确，可以利用特殊值代入法找出正确选项例如，取，则，可知正确选项为A四、平面解析几何例1“”是“直线与直线垂直”的（ ）A充分必要条件B充分但不必要条件C必要但不充分条件D既不充分有不必要条件答：B分析：本题主要考查了两条直线垂直的条件，及充分必要条件的判断当时，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，故两直线垂直由直线方程容易看出，当时，直线变为，直线变为，这时两直线也垂直综上可知正确选项为B例2若经过点的直线与圆相切，则此直线在轴上的截距是（ ）ABCD答：A分析：本题主要考查了圆的方程、圆的直径与切线的关系、直线的方程及截距的概念由配方得，所以该圆的圆心是由于点恰好位于圆周上，所以过该点的直径的斜率为，过该点的切线的斜率为，切线的方程为令，便得该切线在轴上的截距是故正确选项为A例3若点在曲线上，则使取的最大值的点的坐标是（ ）ABCD答：A分析：本题是一个平面几何与解析几何结合在一起的综合题，考查了圆的参数方程及两点间的距离公式曲线的直角坐标方程为，这是一个圆心在、半径为,且过点的圆由图可知，的最大值应是直径的平方，即点与的连线过圆心，所以的坐标为故正确选项为A例5双曲F线的右准线与两条渐近线交于两点，若以为直径的圆经过右焦点，求该双曲线的离心率分析：双曲线的右准线为 ，两条渐近线方程为，所以线段的长度为根据题意可知，即，所以，从而，因此例6写出抛物线的焦点坐标和准线方程分析：将化为标准形式为，所以焦点坐标为 ,准线方程为 样题与真题一、平面几何（一）长度问题例题例1（2004）在圆心为，半径为的圆内有一点，若，则在过点的弦中，长度为整数的有（ ）A条B条C条D条OPA答：B分析：如图，过且与直径垂直的弦的长度是，这也是过点的弦中长度最短的由于直径是过点的弦中最长的一条，且从到共有整数，根据对称性可知过点的弦中长度为整数的有条故正确选项为B例2（2004）中，该三角形边上的中线长是的函数，则当在中变化时，函数取值的范围是（ ）ABCD答：B分析：CA5Bf(x)3如图，当在内变化时，由于，所以BC边上的中线长的变化范围是故正确选项为B例3（2005）在中，过点以到的距离为直径作一圆，该圆与有公共点，且交于，交于，则等于（ ）AB C D答：B分析：如图，根据条件可知是直角三角形，由于是圆的直径，所以圆周角和都是直角，从而和都是长方形的对角线，所以例4（2023）在平面直角坐标系中，己知两点，则由坐标原点到线段中点的距离是（ ）A BC D分析：由于点位于圆心在原点，半径为的圆上，且圆心角所以到中点的距离正好是边长为的正三角形的高，即故正确选项为C例5.（2023）答 B分析：取三角形的边长为，这时与重合，点在边上（如图）由，,根据余弦定理，得故 例6. （2023）如图，面积为平方厘米的正方形在面积为平方厘米的正方形所在平面上移动，始终保持，记线段的中点为，的中点为，则线段的长度是（）厘米. A. B. C. D. 答：B分析：本题主要考查了特殊值代入法及两点间的距离公式考虑如图所示的特殊位置，并建立如图所示的坐标系由题知，正方形的边长为，正方形的边长为所以点的坐标为，点的坐标为所以（二）角度问题例题例1.（2023）等腰中，底边，则顶角的取值范围是（ ）ABCD【分析】在等腰三角形中，当，时，所以从而当时，角的取值范围应是例2（2004）如图，直角中为直角，点和分别在直角边和斜边上，且，则（ ）ABCD答：CABCEDF2A3A4A4A分析： 如图，根据条件可知，三角形，都是等腰三角形根据三角形的外角等于不相临的两个内角之和及等腰三角形的底角相等可知，角的大小为，角的大小为，角的大小为，所以在直角三角形中，角和角之和为，从而（三）面积问题例1（2003）如图，正方形的面积为，和分别是和的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）AB CDFCBEGOHDA答：C分析：如图，阴影部分的面积为因为是三角形的中心，所以，根据对称性可知，从而三角形，的面积相等，都是由于三角形在底边上的高是三角形在底边上的高的，所以三角形的面积是三角形面积的一半，为综上所述，图中空白部分的面积为，从而阴影部分的面积为故正确选项为C例2（2006）已知长方形的长为，宽为，将长方形沿一条对角线折起压平，如右图所示 则阴影三角形的面积等于（ B ）ABCD分析：因, 所以，设，则由勾股定理得：解之得 所以例3（2006）如右图所示，小半圆的直径落在大半圆的直径上 大半圆的弦与平行且与小半圆相切，弦厘米则图中阴影部分的面积为（ B ）平方厘米A BC D分析：设两圆的圆心重合于点，弦与小圆切于点，记大圆半径为、小圆半径为，则 选B例4（2007）中，,如果从上的一点做射线，交或边于点使，且分所成两部分的面积相等，那么（ B ）A过点（即点与重合）B不过点而与相交 C不过点而与相交D不存在 分析：由 , 可得,过作, 使, 因此, 从而有; , 可见, 由此可知，的面积大于的一半因此题设中射线不过点而与相交例5. （2023）如图所示，是正的内切圆中的一个内接正三角形. 已知阴影部分的面积为平方厘米，则正的面积等于（）平方厘米 A. B. C. D.答：C分析：本题主要考查了相似三角形的相似比与面积比的关系、考查了圆的内接（外切）正三角形的重心与圆的圆心的关系如图，设与的高分别为，圆的半径为，则,所以，从而.由题意，即，所以例6.（2023）分析：总面积是大圆面积的与矩形面积之和，即阴影部分面积等于另解：如图，将图中左上角的曲边三角形补到右下角时，易知阴影部分的面积为 正确选项为A 二、空间几何图形例题例1（2003）已知两平行平面之间的距离为，是平面内的一条直线，则在平面内与直线平行且距离为的直线有（ ）A条B条C条D条答：C分析：本题主要考查了空间想象能力及在平行平面内如何做平行线的问题如图，过直线作平面与平面相交，则交线平行当所作平面与平面垂直时，两平行线间的距离为根据对称性可知，在平面内与直线平行且距离为的直线应有条故正确选项为C例2（2003）正圆锥的全面积是侧面积的倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为（ ）AB CD答：B分析：设圆锥的底面半径为，母线长为，则根据题意可得，解得 ，所以故正确选项为B例3（2005）一个圆锥形容器（甲）与一个半球形容器（乙），它们的开口圆的直径与高的尺寸如右图所示（单位：分米）若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水（ ）次A B C D分析：甲容器的容积是，乙容器的容积是，所以若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水次，即正确选项为B例4（2006）一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，将一个实心铁球放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球（假设原水量不受损失），则容器中水面的高度为（ ）20cm20cm10cmA B C D 答：D分析：将球取出后，假设水面下降了，则，解得，所以容器中水面的高度为（）故正确选项为D例5（2023）一个长方体的对角线长为厘米，全表面积为平方厘米，则这个长方体所有的棱长之和为（ ）厘米A BC D分析：设长方体的三条不同的棱长分别为，则根据题意可知，所以，即因此所有棱长之和为故正确选项为B例6.（2023）一个四面体木块的体积是立方厘米若过其在每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的个“角”（小四面体），则剩余部分的体积是（ ）A立方厘米 B立方厘米C立方厘米 D立方厘米分析：根据题意，每个角去掉的仍然是四面体，且其每条棱的长是原来四面体对应棱的一半所以去掉的体积是原来的倍，从而剩余部分的体积是例7.（2023）一个盛满水的圆柱形容器，其底面半径为，母线长为. 将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓慢流出. 当容器中剩下的水为原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角等于（）. A. B. C. D. 答：C分析：本题主要考查了圆柱体的体积及特殊三角形如图，问题可以转化为一个斜截圆柱体的问题，图中的矩形是此斜截圆柱体的一个轴截面由题意，斜截圆柱体的平均高度是，其最高的高度是，所以其最低高度为由于，且，所以三、三角函数例题例1（样题）的值为（ ）ABCD答：C分析：，即正确选项为C例2（2005）已知，则的值是（ ）A B C D答：A分析：由于，所以，故又因为，所以，从而故正确选项为例3.（2023）如果，那么（ ）ABCD答 C分析：因为，所以例4（2007）如图，且则（ A ）ABCD分析：由条件知，但=所以 例5.（2023）三个边长为的正方形拼成如图所示的图形，图中有两条线段相交的锐角为，（）. A. B. C. D. 答：D分析：本题主要考查了三角形外角与内角的关系、三角函数的概念、两角和三角公式如图，角是的外角，所以又因为，所以四、平面解析几何（一）直线问题例题例1（2004）直线与直线关于直线对称，则直线的方程为（ ）ABCD答：A分析：如图，由于直线过点x+y=0+2x-y=1和，这两点关于直线的对称点分别是，故直线过点，所以其方程为，即故正确选项为A例2.（2023）在直角坐标系中，若直线与函数的图像恰有个不同的交点则的取值范围是（ ）ABCD分析：如图，直线的斜率，直线的斜率当直线介于与之间，即时，直线与所给图像有三个不同交点（二）直线与圆例题例1（2003）设点在圆的内部，则直线和圆（ ）A不相交B有一个交点C有两个交点且两交点间的距离小于D有两个交点且两交点间的距离大于答：A分析：根据题意可知，的圆心到直线的距离是，所以直线与圆不相交故正确选项为A例2（2005）设一个圆的圆心为，该圆与坐标轴交于A，B两点，则到坐标原点的距离是（ ）ABA B C D答：C分析：根据题意可知是圆的一条弦，所以圆心在线段的垂直平分线上，从而，到坐标原点的距离是例3（2007）在圆所围区域（含边界）中，、是使得分别取得最大值和最小值的点 线段们长是（ C ）ABCD分析：圆的标准方程为，它是圆心为，半径为的圆 该圆位于第一象限 自坐标原点作圆的切线 从图上显见, 切点分别是在该圆上的所有点中，使得相应的取得最大值和最小值的点由于，所以由勾股定理知 由此求出, （三）二次曲线1（2005）已知，若圆的圆心在第四象限，则方程的图形是（ ）A双曲线B椭圆 C抛物线 D直线答：B分析：由于圆的圆心在第四象限，所以又因为，所以，从而，即的图形是一个椭圆故正确选项为B2（2006）在平面上给定线段，在上的动点，使得恰为一个三角形的个顶点，且线段与的长是两个不等的正整数，则动点所有可能的位置必定在某（ ）上A抛物线B椭圆 C双曲线 D直线答：C分析：不妨假设比长，由于与的长是两个不等的正整数，所以，又，从而即动点C所有可能的位置必定在某双曲线上3（2023）是抛物线的过焦点的一条弦，若的中点到准线的距离等于，则弦的长等于（ ）ABC D分析：设到准线的距离分别为，则根据抛物线定义可知到焦点的距离也是分别为，所以弦的长故正确选项为B4.（2023）设双曲线的左、右焦点分别是若是该双曲线右支上异于顶点的一点，则以线段为直径的圆与以该双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（ ）A外离B外切 C相交 D内切分析：根据题意，本题可用特殊值代入法进行求解取，则右焦点为再取，则以为直径的圆的圆心坐标为，两圆心的距离是，这与两圆的半径之和相同，所以两圆外切5（2023）若由双曲线的右焦点向曲线所引切线的方程是，则双曲线的离心率等于（ ）ABCD答：D分析：由图可知，切线的斜率为故解得6. （2023）参数方程在平面上表示的曲线是（）.A. 圆B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线答：A分析：本题主要考查了圆的参数方程及简单的三角关系式解法1 因为，所以 这时一个圆心为，半径是的圆解法2 因为，所以
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