概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

中国特级教师高考复习方法指导数学复习版概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结十一、概率随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0； 2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=。理解这里m、的意义。如（1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是_（答：）；（2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：从中任取2件都是次品；从中任取5件恰有2件次品；从中有放回地任取3件至少有2件次品；从中依次取5件恰有2件次品。（答：；） 3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。计算公式：P(A+B)P(A)+P(B)。如（1）有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答：）；（2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）_（答：0.51）；（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到 ，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是（答：）4、对立事件：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。计算公式是：P（A）+ P(B)；P()=1P(A)；5、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(AB)P(A) P(B) 。提醒：（1）如果事件A、B独立，那么事件A与、与及事件与也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1P（AB）1P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1P（）1P()P()。如（1）设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是_（答：）；（2）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_;这名同学至少得300分的概率为_（答：0.228；0.564）；（3）袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是_（答：）；（4）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关，那么，连过前二关的概率是_（答：）；（5）有甲、乙两口袋，甲袋中有六张卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；乙袋中有七张卡片，四张写有0，一张写有1，两张写有2，从甲袋中取一张卡片，乙袋中取两张卡片。设取出的三张卡片的数字乘积的可能值为且，其相应的概率记为，则的值为_（答：）；（6）平面上有两个质点A、B分别位于（0，0）、（2，2）点，在某一时刻同时开始每隔1秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动1个单位，已知质点A向左、右移动的概率都是，向上、下移动的概率分别是和p，质点B向四个方向中的任何一个方向移动的概率都是q。求p和q的值；试判断最少需要几秒钟，A、B能同时到达D（1，2）点？并求出在最短时间内同时到达的概率. （答：；3秒；）6、独立事件重复试验：事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率(是二项展开式的第k+1项)，其中为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。如（1）小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_（答：）；（2）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为_（答：）提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：先设事件A=“”， B=“”；列式计算；作答。十、排列、组合和二项式定理1.排列数中、组合数中.(1)排列数公式 ；。如（1）1！+2！+3！+n！（）的个位数字为 （答：3）；（2）满足的 （答：8）(2)组合数公式；规定，.如已知，求 n，m的值（答：mn2）(3)排列数、组合数的性质：；.ACBD2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合和中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9）；（8）是集合到集合的映射，且，则不同的映射共有 个（答：7）；（9）满足的集合A、B、C共有 组（答：）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。如（1）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_种（答：300）；（2）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0. 千位、百位上都能取0. 这样设计出来的密码共有_种（答：100）；（3）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_个（答：156）；（4）某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_（答：6）；（5）四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。恰有两个空盒的放法有_种；甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_种（答：84；96）；（6）设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_种（答：31）（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(1,2)，(2,1)可以确定三角形的个数为_（答：15）。（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_（答：2880）；（2）某人射击枪，命中枪，枪命中中恰好有枪连在一起的情况的不同种数为_（答：20）；（3）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_（答：144）（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。如（1）3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_种（答：24）；（2）某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_（答：42）。（5）多排问题单排法。如若2n个学生排成一排的排法数为x，这2 n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为_（答：相等）；（6）多元问题分类法。如（1）某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_种（答：15）；（2）某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_种（答：36）；（3）9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有_种（答：90）；（7）有序问题组合法。如（1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有 种不同的放法（答：20）；（2）百米决赛有6名运动A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员A比运动员F先到终点的比赛结果共有_种（答：360）；（3）学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_种（答：15）；（4）设集合，对任意，有，则映射的个数是_（答：）；（5）如果一个三位正整数形如“”满足，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为_（答：240）；（6）离心率等于(其中且)的不同形状的的双曲线的个数为_（答：26）。（8）选取问题先选后排法。如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_（答：576）。（9）至多至少问题间接法。如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_种（答：596）（10）相同元素分组可采用隔板法。如（1）10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；（2）某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_种（答：37440）；5.二项式定理：，其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第项的二项式系数为，第项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？如（1）的展开式中常数项是_（答：14）；（2）的展开式中的的系数为_ （答：330）；（3）数的末尾连续出现零的个数是_（答：3）；(4)展开后所得的的多项式中，系数为有理数的项共有_项（答：7）；(5)若的值能被5整除，则的可取值的个数有_个（答：5）；(6)若二项式按降幂展开后，其第二项不大于第三项，则 的取值范围是 （答：）；(7)函数的最大值是_（答：1024）.6、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当时，二项式系数C的值逐渐增大，当时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第1项）的二项式系数取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第和1项）的二项式系数相等并同时取最大值。如（1）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为_（答：426）；（2）在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则_（答：17,18或19）。（3）二项式系数的和：；。如（1）如果，则 （答：128）；（2）化简（答：）7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数 (偶次)项”系数和为，以及“偶数 (奇次)项”系数和为。如（1）已知，则等于_（答：）；（2），则_（答：2004）；（3）设,则_（答：）。8、系数最大项的求法：设第项的系数最大，由不等式组确定。如求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。（答：系数绝对值最大的项为，系数最大的项为）9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。如（1）(0.998)5精确到0.001近似值为_（答：0.990）；（2）被4除所得的余数为_（答：0）；（3）今天是星期一，10045天后是星期_（答：二）；（4）求证：能被64整除；（5）求证：中国教育开发网