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目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二二、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节数列的极限数列的极限目录 上页 下页 返回 结束 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”目录 上页 下页 返回 结束 v 引例引例割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽目录 上页 下页 返回 结束 R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 边形的面积边形的面积16 2n nA123,nA A AA“用已知逼近未知用已知逼近未知 ,用近似逼近精确用近似逼近精确”无限接近无限接近S（圆的真实面积）（圆的真实面积）目录 上页 下页 返回 结束 一一 数列的概念数列的概念如果按照某一法则如果按照某一法则,对每一对每一nN ，对应着一个对应着一个确定的实数确定的实数nx，则得到一个序列则得到一个序列123,nxxxx这一序列称为这一序列称为数列数列,记为记为nx，第第 项项nnx叫做数列叫做数列的的一般项一般项.数列举例数列举例:(),.nxf nnN 注：注：2n，4 4，8 8，2 2，；111 111),n ，(-；数列数列 可以看作自变量为正整数可以看作自变量为正整数 的函数的函数:nxn目录 上页 下页 返回 结束 v数列的概念数列的概念如果按照某一法则如果按照某一法则,对每一对每一nN ，对应着一个对应着一个确定的实数确定的实数nx，则得到一个序列则得到一个序列123,nxxxx这一序列称为这一序列称为数列数列,记为记为nx，第第 项项nnx叫做数列叫做数列的的一般项一般项.x1x5x4x3x2xn 数列的几何意义数列的几何意义123,.nxxxx次位于数轴上的坐标次位于数轴上的坐标 数列数列 可以看作数轴上的一个动点可以看作数轴上的一个动点,它依它依次次nx，目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 通过演示实验的观察通过演示实验的观察:当当n无限增大时，无限增大时，1(1)1nn 无限接近于无限接近于1.v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 例如例如v数列极限数列极限的的通俗通俗定义定义问题问题:如何用数学语言刻画它？如何用数学语言刻画它？()nxan12n0,1(1)1nn1,当当n无限增大时，无限增大时，如果数列如果数列nx的一般项的一般项nx无限无限接近于接近于常数常数，a则称常数则称常数a是数列是数列 nx的极限的极限 或者或者称称记为记为n 1(1)趋势不定趋势不定 nx收敛于收敛于a，数列数列“当当n无限增大时，无限增大时，nx无限接近于无限接近于.a”是什是什么么意思？意思？目录 上页 下页 返回 结束 分析分析 当当n无限增大时，无限增大时，nx无限接近于无限接近于.a|nxa无限接近于无限接近于0.|nxa无限变小无限变小,要多小就能多小要多小就能多小.任意给定一个正数任意给定一个正数(无论多么小无论多么小)，当当n足够大时，足够大时，|nxa 总能小于事先给定的那个正数总能小于事先给定的那个正数.当当n无限增大时，无限增大时，当当n无限增大时，无限增大时，任意给定一个正数任意给定一个正数(无论多么小无论多么小)，当当n足够大时，足够大时，|nxa 总能小于事先给定的那个正数总能小于事先给定的那个正数.增大时，增大时，nx无限接近于无限接近于.a 当当n无限无限只要只要n足够大，足够大，|nxa就能足够小就能足够小,要多小就能多小要多小就能多小.等价于等价于目录 上页 下页 返回 结束 1 只要只要n，就，就1nx 111(1),nnn 1(1)1nnxn 如上例如上例1,100给定给定1,10000给定给定0,任意给定任意给定1,1000给定给定11,100n 由由100n 只要只要时，时，11;100nx 有有11;1000nx 有有1000n 只要只要时，时，10000n 只要只要时，时，11;10000nx 有有1.nx 有有1,n 由由1 目录 上页 下页 返回 结束 v数列极限的精确定义数列极限的精确定义如果存在常数如果存在常数,a对于任意给定对于任意给定总存在正整数总存在正整数,N使得当使得当 时时 nN 总有总有nxa 成立成立 则称常数则称常数a是数列是数列nx的极限的极限 或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a，记为记为lim,nnxa 极限定义的简记形式极限定义的简记形式设设nx为一数列为一数列 nxan ().或或nnxa limN,N 0,当当 时时 nN.nxa ，的正数的正数目录 上页 下页 返回 结束 aaa ()v数列极限的几何意义数列极限的几何意义naxa ()nxaa ，1 1.任意给定的任意给定的 0,有有 的的 邻域；邻域；a NN ，2 2.存在存在当当 时时 nN nx全都落在全都落在3.3.当当 时，时，nN aa (,)nx一般一般落在邻域落在邻域外边。外边。(,)aa 内部；内部；邻域邻域nnxa limNN,0,当当 时时 nN.nxa 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,)1(,43,34,21,21nnnnnxnn1)1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,)1(,1,1,11n1)1(nnx趋势不定收 敛发 散目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1证明(1)(1)lim0nnn(2)lim0(1)nnqq证明(1)1(1)0nnn1n10,10,NnN 时(1)10nnn(2)0nnqqlnln,nq0,0,NnN 0nnqq(1),lim0nnn所以lnlnnNqlim0(1)nnqq目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2.已知,)1()1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0)1()1(2nn2)1(1n11n,)1,0(欲使,0nx只要,11n即n取,11N则当Nn 时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2)1(10nnx.11N 与 有关,但不唯一.不一定取最小的 N.说明说明:取11N目录 上页 下页 返回 结束 二二.收敛数列的性质收敛数列的性质定理定理 2.1 收敛数列必收敛数列必有界有界lim0,nnnaAMnaM 证limnnaA0,0,N当当nN时，有时，有,naA,nAaA111,nAaA 123max,1,1NMaaaaAA,nnaM取所以，收敛数列必有界所以，收敛数列必有界.目录 上页 下页 返回 结束 23baab22abnabax 证证:用反证法.axnnlim及,limbxnn且.ba 取因,limaxnn 故存在 N1,2abnax从而2banx同理,因,limbxnn故存在 N2,使当 n N2 时,有2banx定理定理2.22.2 收敛数列的收敛数列的极限唯一极限唯一使当 n N1 时,2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,max21NNN 取故假设不真!nx满足的不等式2ab 目录 上页 下页 返回 结束 lim,limnnnnifaAbB.lim()nnniabAB.limnnniiabA B.lim,(0)nnnaAiiiBbB则则证证.lim,limnnnniaAbB0,0,NnN,22nnaAbB()()22nnnnabABaAbByxyx lim()nnnabAB定理定理2.3 有理运算法则有理运算法则目录 上页 下页 返回 结束 29定理定理2.4 收敛数列具有收敛数列具有保号性保号性.若若,limaxnn且且,0a,NN则,时当Nn 同号。并且若同号。并且若axn与证证:当当 a 0,取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论:（保序性）设（保序性）设,limaannO),0(0aa,NN则,时当Nn 恒有).0(0 qxqxnn或或,limbbnn,NN若若,时当Nn 恒有恒有nnba，则则ba 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2 求求222312limnnn解解 由于由于2223312(1)(21)111(1)(2),66nn nnnnnn根据根据有理运算法则有理运算法则得得2223121lim.3nnn目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3 求求525434361lim.362nnnnnnnn解解 因为因为根据根据有理运算法则有理运算法则得得5254343614lim.3623nnnnnnnn523455432436144361,6123623nnnnnnnnnnnnn目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 求求111lim.1 22 3(1)nnn解解 因为因为所以所以11111111(1)()()1 22 3(1)22311(1),1nnnnn111lim1.1 22 3(1)nnn目录 上页 下页 返回 结束 三三.收敛准则收敛准则定理定理2.5 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限单调增，上有界数列必有极限单调增，上有界数列必有极限单调减，下有界数列必有极限单调减，下有界数列必有极限o2a3amBNanaMANbnb1b2b1a1,nnnaaaM1,nnnbb mb目录 上页 下页 返回 结束 证明证明：不仿不仿设设数列为数列为单调增加单调增加且且有上界有上界，根据，根据确确（1）,nxn（2）00:,0nnxx有有则则取取NnnN ,0界存在定理界存在定理，由，由nx构成的数集必有构成的数集必有上确界上确界,满足：满足：nnxx0因而因而.nx于是于是.lim nnx目录 上页 下页 返回 结束*,axkn证证:设数列设数列knx是数列是数列nx的任一子数列的任一子数列.若若,limaxnn则则,0,N当当 Nn 时时,有有axn现取正整数现取正整数 K,使使,NnK于是于是当当Kk 时时,有有knKnN从而有从而有由此证明由此证明.limaxknk*NKnNxKnx定理定理2.62.6 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.目录 上页 下页 返回 结束 36*1nx2nx1n*KnKnx2n数列的数列的子数列子数列（子列子列）由此性质可知由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极若数列有两个子数列收敛于不同的极限限,例如，例如，),2,1()1(1nxnn;1lim12kkx1lim2kkx发散发散!则原数列一定发散则原数列一定发散.目录 上页 下页 返回 结束 单调有界数列单调有界数列必有极限必有极限1lim(1)nnen证明证明11(1)nnbn111(1)1)1(1)nnnnbnibn2221(1)1111nnnnnnnnn21(1)()(1)()1111nnnnnnn1nnnbbb11)(1)0nniibn单调减，下有界单调减，下有界nb11lim(1)nnen2.718281828459045e 例例 5(1)5(1)证明证明目录 上页 下页 返回 结束 单调有界数列单调有界数列必有极限必有极限1lim(1)nnen证明证明1(1)nnani1nnnaaa1)(1)3nniian单调增，有上界单调增，有上界na1lim(1)nnen2.718281828459045e 例例 5(2)5(2)证明证明目录 上页 下页 返回 结束,nnnnNxay limlimnnnnxyA则limnnaA定理定理2.72.7（夹逼定理）（夹逼定理）如果证证limlimnnnnxyA0,0,N,nN当时nnxAAxAnnyAAyAnnnAxayAnaAlimnnaA目录 上页 下页 返回 结束 例 6 证明(1)lim51nn(2)lim1nnn证(1)51nnh 令5(1)1nnnhnh 40nhn51nnh(2)1nnnh 令2(1)(1)12nnnn nnhh 2220nhn1nnnh40,0,N nN当时51,nlim51nn 220,0,NnN1,nnlim1nnn 目录 上页 下页 返回 结束 例例7 7 计算计算1(1)lim1nn211(2)limnnknk解解11(1)1111nnn 1lim11nn2222221111(2)1231nnnnnnnnnn21limlimlim111nnnnnxnnn221limlimlim1111nnnnnynn211limlim1nnnnkanknnnxaynaAlimnnaA目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.8 (Weierstrass定理定理)有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列.na为一有界数列为一有界数列,则必存在则必存在Rba,使得使得Nn证证:设设根据单调有界原则，根据单调有界原则，.,baan为了证明定理的结论，为了证明定理的结论，只要在任何情况下都只要在任何情况下都能能从逻辑上看，从逻辑上看，,2,1,|iaaNnNinn则则都有都有.NNN或或 为有限集；为有限集；为无限集。为无限集。NNN仅有两种情况：仅有两种情况：在该数列中找到一个单调的子列就行了。在该数列中找到一个单调的子列就行了。设设目录 上页 下页 返回 结束 N ，或为有限集，则，或为有限集，则(1)(1)若若同理同理,1Nn使使1n 的定义，的定义，大于大于NnaannNnnn.,221221又又使使N,1Nn N.,32323nnaannNn使使如此继续下去，如此继续下去，所以根据所以根据中所有的数中所有的数.因为因为目录 上页 下页 返回 结束 得到得到根据kna故naN为一个无限子集，设该无限子集中的元素按严格单调递增的顺序排列为(3)若若N,321321nnnaaannn使使,21knnn.21knnnaaa综上可知在任何情况下定理都是成立的。是一个收敛子列。的严格单调递增 子数列，所以的定义，则有是目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.9（Cauchy收敛原理）收敛原理）数列数列nx极限存在极限存在的的充要条件充要条件是是:,0存在正整数 N,使当NnNm,时,mnxx证证:“必要性”.设,limaxnn则,0NnNm,时,有 使当,2axn2axm因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性”证明从略.,N有柯西 目录 上页 下页 返回 结束 46 例例 设设,131211222nan证明数列证明数列na证证:要证要证na收敛，只要证明它收敛，只要证明它满足满足Cauchy条件条件。,Npn由于由于npnnpnpnnnnnpnpnnnnnpnnnaanpn1)11()111()2111()111()1)(1)2)(1(1)1(1)(1)2(1)1(1222 柯西柯西 收敛。收敛。目录 上页 下页 返回 结束 47所以，所以，,0,1NNn 故原数列满足故原数列满足Cauchy柯西柯西 只要取只要取则则及及Np,|npnaa,131211nan 恒有恒有条件，条件，所以收敛。所以收敛。例例 设设证明数列证明数列证证：要证：要证na,210 0|mnaa发散，只要证明它发散，只要证明它不满足不满足Cauchy条件条件，使使也就是说，也就是说，只要证明只要证明,00NN,Nnm就行了，就行了，对于对于取取na,2nm 发散发散。目录 上页 下页 返回 结束 nnmnaaaa 2由于由于na故故不满足不满足Cauchy条件，条件，发散发散.,212212111 nnnnn目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则目录 上页 下页 返回 结束 P39 7(1)(3),10(2),11(1)(3)(5)，*14
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