线性代数schmidt正交化方程组求解

线性代数的相关资料：线性代数的相关资料：1 Introduction to Linear Algebra，Gilbert Strang 著，麻省理工开放著，麻省理工开放课程链接：课程链接：2 Linear algebra and its applications/线性代数及其应用线性代数及其应用/美美 David C.Lay 著著3 Linear algebra with applications/线性代数线性代数/Steven J.Leon.著著4 东南大学线代精品课程网站东南大学线代精品课程网站5 同济的，浙大唐明编写的，东大张小向编写的同济的，浙大唐明编写的，东大张小向编写的“习题书习题书”6 高等代数高等代数.定理定理问题问题方法方法/胡适耕，刘先忠编著胡适耕，刘先忠编著 O15/36 7 线性代数学习指导线性代数学习指导/樊恽樊恽,郑延履郑延履,刘合国编刘合国编 8 高等代数高等代数，北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 王萼芳王萼芳 石生明石生明 著，高等教育出版社著，高等教育出版社（较难，数学系教材）（较难，数学系教材）每个非零的向量空间每个非零的向量空间V 都有标准都有标准 正交基正交基.设设,是是 n n 维列向量维列向量,为为n nn n 的的正交矩阵正交矩阵,则则 =,=.,的长度和夹角与的长度和夹角与,的长度和的长度和夹角相等夹角相等 A (A,b)；A (A,b),A (A,b),A；(A,b)A,bA,b：对于矩阵方程：对于矩阵方程AX=B,有以下结论。有以下结论。AX=B 有解有解 r(A,B)=r(A)记记 B=(b1 b2 bt).则则 AX=B 有解有解 A(x1 x2 xt)=(b1 b2 bt)有解有解 Axj=bj 有解，有解，j=1,2,t.r(A,bj)=r(A),j=1,2,t.r(A,b1 b2 bt)=r(A).(思考思考),称其为称其为Ax=的的或矩阵或矩阵 A 的的 设矩阵设矩阵A 经过一系列初等行变换可化为经过一系列初等行变换可化为1 0 1 30 0 1 0 -20 0 0 0 0求方程组求方程组Ax=的基础解系的基础解系.注解注解,设矩阵设矩阵A 经初等行变换化为经初等行变换化为0 2 0 30 1 1 0 -20 0 0 1 0求求Ax=的基础解系的基础解系.设矩阵设矩阵A 经初等行变换化为经初等行变换化为-1 0 -1 0 0 1 1求核空间求核空间K(A)的基及维数的基及维数.(注意区别值域注意区别值域R(A),K()=K()A可以是一个向量可以是一个向量 设设分别是分别是矩阵矩阵,证明：若证明：若 ,则则 .(即为推论即为推论2.8)2.8)通解通解的基础解系的基础解系 3 581147 4 2 3,2 2 353215432154321xxxxxxxxxxxxxx，3 2 1 1 -21 3 -2 4 1 74 11 8 0 5 3初等行变换初等行变换3 2 1 1 -20 -1 0 -4 1 110 0 -4 3 0 9初等行变换初等行变换0 0 -19/2 4 71/20 1 0 4 -1 -110 0 1 -3/4 0 -9/4重重 合合相相 交交平平 行行异异 面面无穷多解无穷多解唯一解唯一解无无 解解位置关系位置关系Ax=DAx=D秩秩无无 解解r(A)=r(A,D)=2r(A)=r(A,D)=3r(A)=2,r(A,D)=3r(A)=3,r(A,D)=4有其它判有其它判断方法断方法当参数当参数k取什么值时，取什么值时，直线直线L1:=y-1-3x-1 2z-4-4L2:=y+1-1x-1 2z-1k相交？相交？L1L2P1P2s1Q2Q1s2Q2。重重 合合交于一线交于一线交于一点交于一点无交点无交点无穷多解无穷多解位置关系位置关系Ax=DAx=D秩秩无无 解解r(A)=r(A,D)=1r(A)=r(A,D)=2r(A)=r(A,D)=3r(A)+1=r(A,D)唯一解唯一解无穷多解无穷多解讨论下列三个平面的相对位置讨论下列三个平面的相对位置.1:x+y+bz=3;2:2x+(a+1)y+(b+1)z=7;3:(1-a)y+(2b-1)z=0.其中，其中，a,b 是参数是参数.课后注释：课后注释：一般来说，第一步假定只有一一般来说，第一步假定只有一个交点，此时可以得到个交点，此时可以得到a,b的一个范围；在的一个范围；在剩下的范围内，剩下的范围内，a,b 是一些具体的取值，我是一些具体的取值，我们就可以通过求解对应的具体方程组，来判们就可以通过求解对应的具体方程组，来判断解的情况，从而判断平面的位置关系断解的情况，从而判断平面的位置关系.大东股份公司股票最近十天的收市价如大东股份公司股票最近十天的收市价如下表所示下表所示1 2 3 4 5 6 7 假定天数假定天数 x与股票价格与股票价格 y 服从三次关系服从三次关系 y=ax3+bx2+cx+d将上述数据代入假定的方程中，得到七个以将上述数据代入假定的方程中，得到七个以 a,b,c,d为未知数的方程组为未知数的方程组,其未必有解！其未必有解！xyy=ax3+bx2+cx+dAx=b 没有解，即没有解，即 Ax-b=没有解没有解 寻求最佳近似解寻求最佳近似解x0，使得：，使得：|Ax0 b|=min|Ax b|x Rn即寻找即寻找x0使得使得|Ax0 b|=min|a b|a R(A)b假定假定Asn假设假设V是是Rs的子空间，的子空间，Rs,V,则则|=min|当且仅当当且仅当 V与与 V 中每个向量都正交中每个向量都正交.bVAx=b 没有解，即没有解，即 Ax-b=没有解没有解 寻求最佳近似解寻求最佳近似解x0，使得：，使得：|Ax0 b|=min|Ax b|x Rn即寻找即寻找x0 使得使得|Ax0 b|=min|a b|a R(A)bR(A)即寻找即寻找x0 使得使得|Ax0 b|=min|a b|a R(A)即寻找即寻找x0 使得使得 Ax0 b 与与 R(A)中的每个向量都正交中的每个向量都正交R(A)=L(1 2 n)即寻找即寻找 x0 使得使得 Ax0 b 与与 1 2 n都正交都正交,i.e.,=iT(Ax0 b)=0,i=1,2,n.即寻找即寻找x0 使得使得|Ax0 b|=min|a b|a R(A)ATAx0=ATb.该方程一定有解该方程一定有解 x0（见习题四（见习题四(B)42）称其为称其为Ax=b的的，称其解为称其解为Ax=b的的作作 业业习题四习题四(B)25(1),26,27,29;30(1),31;32,35;36 40 ：11月月29日（周二）日（周二）本门课程的内容体系本门课程的内容体系本门课程：研究矩阵的理论本门课程：研究矩阵的理论；:特殊矩阵特殊矩阵;:为了更方便的运算为了更方便的运算;:矩阵之间的一种变换；矩阵之间的一种变换；：相似变换：相似变换(方阵方阵)：可逆变换：可逆变换(实对称阵实对称阵)特征值特征值惯性指数惯性指数秩秩：空间是一种特殊的矩阵空间空间是一种特殊的矩阵空间寻找向量空间的寻找向量空间的极小生成元极小生成元(基基)寻找向量组的极寻找向量组的极大无关组大无关组研究向量组中向研究向量组中向量间的关系（线量间的关系（线性相关性）性相关性）有了基有了基,就有就有了坐标；了坐标；定义内积定义内积,引入正交引入正交的概念的概念构造一组标准构造一组标准正交生成元正交生成元两个两个应用应用刻画矩阵刻画矩阵A的列空间的列空间(列向量生成的子空间列向量生成的子空间)刻画刻画Ax=b的解空间，即寻找基础解系等的解空间，即寻找基础解系等(R3):可看作是第四章的可看作是第四章的铺垫，也可看作一种特殊的向量空间铺垫，也可看作一种特殊的向量空间。:它们是研究矩阵它们是研究矩阵的工具。很多问题会被转化为求行列式的工具。很多问题会被转化为求行列式(特别特别是遇到方阵时是遇到方阵时)或求方程组解的问题。或求方程组解的问题。定理的证明定理的证明(注解注解)：这样的设法是假定增：这样的设法是假定增广矩阵广矩阵(A,b)化成了阶梯形矩阵之后，化成了阶梯形矩阵之后，r个个非零首元出现在了前非零首元出现在了前r列。这样的设法是列。这样的设法是合理的。合理的。