矩阵题型汇总

矩阵与变换常考题型复习指导1. 线性变换与矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。例1.（1）设矩阵A为二阶矩阵，且规定其元素，则A=（ ）A、 B、 C、 D、（2）已知A(3,1),B(5,2)，则表示的列向量为 （ ）A、 B、 C、 D、2. 复合变换与二阶行矩的乘法: 计算公式：=矩阵乘法不满足交换律：矩阵乘法不满足消去律：不成立满足结合律：; （例：若,表示几何意义是什么？）例2.（1）设A=，则A6= 。 （2） 计算，并解释计算结果的几何意义。（3）已知A，则A= 。 例3. 某名学生上学期在语、数、外三门功课的平日、期中、期终得分分别为： 语 数 外期终期中平日又平日、期中、期终三次成绩各自的权重分别为：不成立平日：30%；期中：30%；期终：40%，则该名学生上学期语、数、外三门最后总评得分各为多少？3.几种常见的平面变换(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）：任何一个列向量在作用下均保持不变，称为恒等变换阵。例4. 矩阵将形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。(2) 伸缩变换:向量在矩阵的作用下变换为向量，也就是矩阵把平面上的点变换为横坐标不变，纵坐标为原来的2倍的点；从几何直观上看即把一个几何图形保持x轴方向不变，而沿y轴方向拉长为原来的2倍的变换。称形如这样的矩阵为伸缩变换阵。例5.平面上任意一点在矩阵的作用下 ( )A. 横坐标不变,纵坐标伸长5倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到倍C. 横坐标,纵坐标均伸长5倍 D. 横坐标,纵坐标均缩短到倍(3) 反射变换：形如的矩阵将图形变为关于Y轴、关于X轴的轴反射以及关于原点对称的中心对称图形的变换矩阵，成为反射变换。例6. 表示x轴的反射变换的矩阵是 ( )A. B. C. D. （4）旋转变换：矩阵，逆时针旋转90度，顺时针旋转90度例7.将双曲线C：上点绕原点逆时针旋转45，得到新图形，试求的方程。例8. （1）曲线经过变换T变成曲线求变换T对应的矩阵（写出两个不同的矩阵）（2）二阶矩阵M对应的变换将点分别变换成点。（1）求矩阵M （2）设直线在变换M作用下得到了直线，求直线的方程（5）投影变换：，点投影到X轴上，横坐标不变，纵坐标为0. ，点投影到y=x上；例9 研究直线在矩阵对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义。（6）切变换：平行于X轴切变换公式 ；平行于Y轴切变换公式例9.（1） 试讨论下列矩阵 将点：（2，1）变成了什么图形?画图并指出该变换是什么变换？ （2）如图矩形在变换的作用下变成了平行四边形，求变换所对应的矩阵4. 逆变换与逆矩阵：设是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵，使E，则称二阶矩阵是可逆矩阵，称是二阶矩阵的逆矩阵（简称逆阵）记作A-1。提醒：证明逆矩阵必须全面，E。例 10. 给定矩阵M= ，N ，向量e1=，e2=(1)证明M和N互为逆矩阵； (2)证明e1和e1都是M的特征向量5.逆矩阵常见的方法：E（1）用待定系数法求逆矩阵：设是一个二阶可逆矩阵，E；（2）公式法：，记为：detA，有，当且仅当detA=0；（3）从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵； （4）(AB)1B1A1 。例11.（1） 设A=，则 。 （2）设A=，B=，则= 。6. 解方程组：例12.（1）设A=，试解方程AX=B。（2）用矩阵方法求二元一次方程组的解例13.利用行列式解方程组7. 特征值和特征向量：,存在和非零向量满足=，即=， ，则=0。设称为特征多项式，则叫A的一个特征值，叫特征向量。 ，是一个特征向量，求的步骤： ，,依此，。例14. 已知二阶矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A7.求特征向量和特征值的步骤： （1）=0；（2）解；（3）取或者，写出相应的向量；例15. （1）矩阵A=的特征多项式为 。（2）矩阵M=的所有特征向量为 。（3）求矩阵A=的特征值与特征向量。 （4）求矩阵M= 的特征值和特征向量8如何求的步骤： （1）求，即M的特征值和特征向量；（2）用特征向量线性表示向量，即是常数，但一般不是；（3）代入=,因为，=，依此，=；例16.= ( ) A、 B、 C、 D、例17. 已知：矩阵M= ，向量 = 求M3例18. 已知M=，试计算例19. 已知矩阵 ,A的一个特征值，其对应的特征向是是.（1）求矩阵；（2）若向量，计算的值.例1（1）B （2）A例2：（1） （2）（5，8） （3）A例3.语：84；数：85；外：83例4.恒等变换。例5. B 例6. D 例7. 。例8. （1），或；或，或，（2）例9 。其几何意义是：把直线上的每一点沿垂直于直线的方向投影到该直线上。例9.（1）沿Y轴正向的切换。 （2）。 例 10. (2)向量e1=，向量e2=例11.（1） （2）。例12. （2）例13. 。例14.A= 例15. （1） （2）k和k （3）和。（4）特征值1=4，2=-2，属于1=4的一个特征向量为，属于2=-2的一个特征向量为。例16.C。例17. 。例18. 例19. 解： (1) ；(2)矩阵与变换常考题型复习指导含详细答案1. 矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。例1.（1）设矩阵A为二阶矩阵，且规定其元素，则A=（ ）A、 B、 C、 D、（1）答案：B。解析：分别表示元素所在的行与列。（2）已知A(3,1),B(5,2)，则表示的列向量为 （ ）A、 B、 C、 D、答案：A。解析：，所求列向量为。例2：例2.（1）设A=，则A6= 。答案：。解析：A=，A6=（2） 计算，并解释计算结果的几何意义。答案：。它表示点（1，2）在矩阵的作用下变成了点（5，8）。（3）已知A，则A= 。答案：A例3. 某名学生上学期在语、数、外三门功课的平日、期中、期终得分分别为： 语 数 外期终期中平日又平日、期中、期终三次成绩各自的权重分别为：平日：30%；期中：30%；期终：40%，则该名学生上学期语、数、外三门最后总评得分各为多少？答案：语：； 数：； 外：。3.几种常见的平面变换(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）：任何一个列向量在作用下均保持不变，称为恒等变换阵。例4. 矩阵将形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。设A（x,y）为直线上的任意一点，经过变换后的点为：A（ x1,y1） 变换后的方程仍为：，该变换是恒等变换。(2) 伸压变换:向量在矩阵的作用下变换为向量，也就是矩阵把平面上的点变换为横坐标不变，纵坐标为原来的2倍的点；从几何直观上看即把一个几何图形保持x轴方向不变，而沿y轴方向拉长为原来的2倍的变换。称形如这样的矩阵为伸缩变换阵。例5.平面上任意一点在矩阵的作用下 ( )A. 横坐标不变,纵坐标伸长5倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到倍C. 横坐标,纵坐标均伸长5倍 D. 横坐标,纵坐标均缩短到倍答案：B。 (3) 反射变换：形如的矩阵将图形变为关于Y轴、关于X轴的轴反射以及关于原点对称的中心对称图形的变换矩阵，成为反射变换。例6. 表示x轴的反射变换的矩阵是 ( )A. B. C. D. 答案：D。（4）旋转变换：矩阵，逆时针旋转90度，顺时针旋转90度例7.将双曲线C：上点绕原点逆时针旋转45，得到新图形，试求的方程。答案：由题意，得旋转变换矩阵M=，任意选取双曲线上的一点，它在变换TM作用下变为，则有M=，故，又因为点P在曲线上，所以，即有。所求的方程为。例8. （1）曲线经过变换T变成曲线求变换T对应的矩阵（要求写出两个不同的矩阵）解：，或；或，或，（2）二阶矩阵M对应的变换将点分别变换成点。（1）求矩阵M （2）设直线在变换M作用下得到了直线，求直线的方程（5）投影变换：，点投影到X轴上，横坐标不变，纵坐标为0. ，点投影到y=x上；例9 研究直线在矩阵对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义。答案：任取直线的一点，它在矩阵对应的变换作用下变为，则有，故即又因为点P在直线上，所以即有从而直线在矩阵作用下变成直线。其几何意义是：把直线上的每一点沿垂直于直线的方向投影到该直线上。（6）切变换：沿X轴切变换公式 沿Y轴切变换公式例9.（1） 试讨论下列矩阵 将点：（2，1）变成了什么图形?画图并指出该变换是什么变换？ XO图2 A（2，5）A（2，1）解： =即点：（，）经过变化后变为A（2，5）。该变换为沿Y轴正向的切换。变换图形如图2。（2）如图矩形在变换的作用下变成了平行四边形，求变换所对应的矩阵解法一：（1）由矩形变换成平行四边形可以看成先将矩形绕着点旋转，得到矩形，然后再将矩形作切变变换得到平行四边形。故旋转变换矩阵为： 3分切变变换：，切变变换矩阵为 6分矩阵， 10分解法二：（1）设矩阵，则点，故：，即： 6分解得：，。 10分4. 逆矩阵：设是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵，使E，则称二阶矩阵是可逆矩阵，称是二阶矩阵的逆矩阵（简称逆阵）记作A-1。提醒：证明逆矩阵必须全面，E。例 10. 给定矩阵M= ，N ，向量e1=，e2=(1)证明M和N互为逆矩阵；(2)证明e1和e1都是M的特征向量 (1)因为MN= = ，NM= = ，所以M和N互为逆矩阵 (2)向量e1=在M的作用下，其像与其保持共线，即 =，向量e2=在M的作用下，其像与其保持共线，即 =，所以e1和e2是M的特征向量10分5.逆矩阵常见的方法：E（1）用待定系数法求逆矩阵：设是一个二阶可逆矩阵，E；（2）公式法：，记为：detA，有，当且仅当detA=0；（3）从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵； （4）(AB)1B1A1 。例11.（1） 设A=，则 。答案：。解析：A对应的变换是绕原点逆时针旋转30的旋转变换，其逆变换为绕原点顺时针旋转30（2）设A=，B=，则= 。答案：。解析：，又BA=。6. 解方程组：例12.（1）设A=，试解方程AX=B。答案：由已知，X=，即（2）用矩阵方法求二元一次方程组的解答案：已知方程组可以写为： =令M= 其行列式 =31-3（-2）=90M-1 = = = M-1= = 小结 可以表示成=，简写成,例13.利用行列式解方程组答案：D=，于是，故该方程组的解为。7. 特征值和特征向量：,存在和非零向量满足=，即=， ，则=0。设称为特征多项式，则叫A的一个特征值，叫特征向量。,如何求的步骤，是一个特征向量： ，,依此，。例14. 已知二阶矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A解：设A=，由题知=，=3 即，解之得： A= 7.求特征向量和特征值的步骤： （1）=0；（2）解；（3）取或者，写出相应的向量；例15. （1）矩阵A=的特征多次式为 。答案：。解析：。（2）矩阵M=的所有特征向量为 。答案：k和k。解析：已知，对应的特征向量为和，故所有的特征向量为：k和k。（3）求矩阵A=的特征值与特征向量。答案：矩阵A的特征多项式或1，其相应的特征向量分别为和。（4）求矩阵M= 的特征值和特征向量答案：矩阵M的特征值满足方程 =(+1) (-3)-(-)(-2)= 2-2-8=0解得，矩阵M的两个特征值1=4，2=-2设属于特征值1=4的特征向量为，则它满足方程：(1+1)x+(-2)y=0 即：（4+1）x+(-2)y=0 也就是 5 x-2y=0 则可取为属于特征值1=4的一个特征向量设属于特征值1=-2的特征向量为，则它满足方程：(2+1)x+(-2)y=0 即：（-2+1）x+(-2)y=0 也就是 x+2y=0 则可取为属于特征值2=-2的一个特征向量综上所述：M= 有两个特征值1=4，2=-2，属于1=4的一个特征向量为，属于2=-2的一个特征向量为。8如何求的步骤： （1）求，即M的特征值和特征向量；（2）用特征向量线性表示向量，即是常数，但一般不是；（3）代入=,因为，=，依此，=；例16.= ( ) A、 B、 C、 D、答案：C。解析：例17. 已知：矩阵M= ，向量 = 求M3答案：由上题可知1 = ， 2 =是矩阵M分别对应特征值1=4，2=-2的两个特征向量，而1 与2 不共线。又 =3+=31+2M3= M3（31+2）=3 M31+ M32 =3131+232=343+（-2）3 = 192-8=。例18. 已知M=，试计算答案：矩阵M的特征多次式为，对应的特征向量分别为和，而，所以例19. 已知矩阵 ,A的一个特征值，其对应的特征向是是.（1）求矩阵；（2）若向量，计算的值.解： (1) ；(2)矩阵的特征多项式为 ，得,当 ,当由，得 14