鸡兔同笼](2)

人教人教20132013版数学四年级下册版数学四年级下册嘉鱼县实验小学嘉鱼县实验小学 熊少华熊少华 今有雉兔同笼，上有今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？足，问雉兔各几何？孙子算经孙子算经笼子里有若干只鸡和兔。从上笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有面数，有3535个头，从下面数，个头，从下面数，有有9494只脚。鸡和兔各有几只？只脚。鸡和兔各有几只？笼子里有若干只鸡和兔。从上笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有面数，有8 8个头，从下面数，有个头，从下面数，有2626只脚。鸡和兔各有几只？只脚。鸡和兔各有几只？笼子里有若干只鸡和兔。笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有从上面数，有8 8个头，从下个头，从下面数，有面数，有2626条腿。鸡和兔条腿。鸡和兔各有几只？各有几只？一只鸡有一只鸡有2 2条腿，条腿，一只兔有一只兔有4 4条腿条腿。鸡鸡的的只只数数兔兔的的只只数数腿腿的的条条数数0 12 34 5 67 801234567832 30 28 26 24 22 20 18 16假设全是鸡假设全是鸡:8 82=16 2=16（条）（条）26-16=1026-16=10（条）（条）(少算兔的腿少算兔的腿)8 82=162=16（条）（条）假设全是鸡假设全是鸡:26-16=1026-16=10（条）（条）10102=52=5（只）（只）兔：兔：鸡：鸡：8-5=38-5=3（只）（只）(少算兔的腿少算兔的腿)腿数差：腿数差：4-2=24-2=2（只）（只）8 84=324=32（条）（条）假设全是兔假设全是兔:32-26=6 32-26=6（条）（条）(多算鸡的腿多算鸡的腿)8 84=324=32（条）（条）假设全是兔假设全是兔:32-26=6 32-26=6（条）（条）鸡：鸡：6 62=32=3（只）（只）8-3=58-3=5（只）（只）兔：兔：(多算鸡的腿多算鸡的腿)腿数差：腿数差：4-2=24-2=2（只）（只）笼子里有若干只鸡笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有和兔，从上面数，有3535个头；从下面数，个头；从下面数，有有9494条腿。鸡和兔各条腿。鸡和兔各有几只？有几只？鸡兔同笼鸡兔同笼 小船乘小船乘4人人大船乘大船乘6人人 四（四（3 3）有）有3838个同学个同学去三湖连江划船，共租去三湖连江划船，共租了了8 8条船，每条船都坐满条船，每条船都坐满了。大小船各租了几条？了。大小船各租了几条？动物园有龟和鹤共动物园有龟和鹤共4040只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112112条。龟、鹤各有几只？条。龟、鹤各有几只？实验小学实验小学“环保小卫士环保小卫士”有有1212人参加植树活动。男人参加植树活动。男生每人栽了生每人栽了3 3棵树，女生每人栽了棵树，女生每人栽了2 2棵树，一共栽了棵树，一共栽了3232棵树。男、女生各有几人？棵树。男、女生各有几人？有龟和鹤共有龟和鹤共4040只只,龟的腿和鹤的龟的腿和鹤的腿共腿共112112条条,龟和鹤各有多少只龟和鹤各有多少只?龟鹤算龟鹤算龟龟相当于相当于 “兔兔”鹤鹤相当于相当于 “鸡鸡”四（四（3 3）班一共有）班一共有3838人去三湖连江划船人去三湖连江划船,共租了共租了8 8条船条船,每条大船乘每条大船乘6 6人人,每条小船乘每条小船乘4 4人人,每条船都坐满了。问大船和小船各多每条船都坐满了。问大船和小船各多少条？少条？大船大船相当于相当于 “兔兔”小船小船相当于相当于 “鸡鸡”（1 1）这道题是）这道题是“鸡兔同笼鸡兔同笼”这一类的问题吗？这一类的问题吗？（2 2）解决这个问题，你喜欢用哪种方法呢？）解决这个问题，你喜欢用哪种方法呢？日本的日本的“龟鹤算龟鹤算”问题就是从我国问题就是从我国的的“鸡兔同笼鸡兔同笼”问问题题演变来的。演变来的。有龟和鹤共有龟和鹤共4040只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112112条。龟、鹤各有几只？条。龟、鹤各有几只？假设都是鹤：假设都是鹤：如果都是鹤，就有如果都是鹤，就有 40402 28080条腿，比题目中少条腿，比题目中少 11211280803232条腿。条腿。那么需要用龟换鹤，换上一只龟，腿的总数就多那么需要用龟换鹤，换上一只龟，腿的总数就多2 2条，条，4-2=24-2=2（只）（只）所以龟有：所以龟有：32322 21616（只）（只）所以鹤有：所以鹤有：404016162424（只）。（只）。有龟和鹤共有龟和鹤共4040只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112112条。龟、条。龟、鹤各有几只？鹤各有几只？如果都是龟，就有如果都是龟，就有40404 4160160条腿，比题目中多条腿，比题目中多 160 1601121124848条腿。条腿。那么需要用鹤换龟，换上一只鹤，腿的总数就少那么需要用鹤换龟，换上一只鹤，腿的总数就少2 2条，条，4-2=24-2=2（只）（只）所以鹤：所以鹤：48482 22424只。只。所以龟：所以龟：404024241616只。只。假设都是龟：假设都是龟：有龟和鹤共有龟和鹤共4040只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112112条。龟、条。龟、鹤各有几只？鹤各有几只？假设都是男生栽树假设都是男生栽树：如果都是男生栽树，就栽了如果都是男生栽树，就栽了12123 33636棵树，棵树，比题目中多比题目中多363632324 4棵树。棵树。那么需要用女生换男生，一名女生比一名男那么需要用女生换男生，一名女生比一名男生少栽生少栽1 1棵树，即棵树，即3-2=13-2=1，所以女生有，所以女生有4 41 14 4名。名。所以男生有所以男生有12124 48 8名。名。实验小学实验小学“环保小卫士环保小卫士”有有1212人参加植树活动。人参加植树活动。男生每人栽了男生每人栽了3 3棵树，女生每人栽了棵树，女生每人栽了2 2棵树，一共栽了棵树，一共栽了3232棵树。男、女生各有几人？棵树。男、女生各有几人？假设都是女生栽树：假设都是女生栽树：如果都是女生栽树，就栽了如果都是女生栽树，就栽了12122 22424棵树，棵树，比题目中少比题目中少323224248 8棵树。棵树。那么需要用男生换女生，一名男生比一名女生那么需要用男生换女生，一名男生比一名女生多栽多栽1 1棵树，即棵树，即3-2=13-2=1，所以男生有，所以男生有8 81 18 8名。名。所以女生有所以女生有12128 84 4名。名。实验小学实验小学“环保小卫士环保小卫士”有有1212人参加植树活人参加植树活动。男生每人栽了动。男生每人栽了3 3棵树，女生每人栽了棵树，女生每人栽了2 2棵树，棵树，一共栽了一共栽了3232棵树。男、女生各有几人？棵树。男、女生各有几人？常见思想常见思想:孙子的解法孙子的解法“上置三十五头，下置九十四足。上置三十五头，下置九十四足。半其足得四十七。以少减多，再命之，上三除下半其足得四十七。以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五，四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五，即得即得”。翻译成算术方法就是：翻译成算术方法就是：兔数兔数 （94942 2）35351212 鸡数鸡数 353512122323 这一思路新颖而奇特，其这一思路新颖而奇特，其“砍足法砍足法”也令古也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。抬腿法抬腿法 （1 1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，相当）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，相当于脚数去掉了一半，还有于脚数去掉了一半，还有 94942 24747只脚。只脚。（2 2）这时，每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼）这时，每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1 1。（3 3）这时脚的总数与头的总数之差）这时脚的总数与头的总数之差 474735351212，就，就是兔子的只数。是兔子的只数。古人的算法可以用下图表示：古人的算法可以用下图表示：头头 35 35 35 23 鸡鸡脚脚 94 47 12 12 兔兔（）（）（）（）下减上下减上脚减半脚减半 上减下上减下古人的算法是让头的数量和脚的数量对应起来进行思考。古人的算法是让头的数量和脚的数量对应起来进行思考。外国解法外国解法 美国数学家美国数学家-美国杰出数学教育家美国杰出数学教育家G?G?波利亚对这种解波利亚对这种解法创设了教学情景：法创设了教学情景：意外地看见笼中的禽畜正在作一种古怪的姿式，每一意外地看见笼中的禽畜正在作一种古怪的姿式，每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其（两条）后腿只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其（两条）后腿站着，在这个不寻常的情况下，只用了半数的腿，即站着，在这个不寻常的情况下，只用了半数的腿，即4747条条腿。在这种情景中，鸡的头只计算了一次，而兔子的头则腿。在这种情景中，鸡的头只计算了一次，而兔子的头则计算了两次，从计算了两次，从4747这个数减去所有头数这个数减去所有头数3535，就剩下兔子的，就剩下兔子的头数了。当然，鸡的只数可立刻求出。头数了。当然，鸡的只数可立刻求出。这种解法是巧妙的，但它需要清晰地掌握题中的数量这种解法是巧妙的，但它需要清晰地掌握题中的数量关系，不是所有学生都能理解的。关系，不是所有学生都能理解的。总脚数总脚数2-2-总只数总只数=兔数兔数 总只数总只数-兔数兔数=鸡数鸡数鸡兔同笼方程法鸡兔同笼方程法:思路：鸡腿的总数思路：鸡腿的总数+兔腿的总数兔腿的总数=鸡兔的总腿数鸡兔的总腿数 解：设兔子解：设兔子x x只解：只解：设有鸡设有鸡x x只只 4x+24x+2（8-x8-x）=26 2x+4(8-x)=26 =26 2x+4(8-x)=26 2x+16=26 2x+32-4x=26 2x+16=26 2x+32-4x=26 2x=10 32-2x=26 2x=10 32-2x=26 x=5 32-2x+2x=26+2x x=5 32-2x+2x=26+2x 8-5=3 8-5=3只只 32=26+2x32=26+2x 26+2x=32 26+2x=32 26+2x-26=32-26 26+2x-26=32-26 2x=6 2x=6 x=3 x=3 答：兔子答：兔子5 5只，鸡只，鸡3 3只只延伸延伸小结小结 1 1、静静地反思：这节课给你留下了什么？、静静地反思：这节课给你留下了什么？2 2、你觉得鸡兔同笼有趣的地方在哪里？它的魅你觉得鸡兔同笼有趣的地方在哪里？它的魅力在哪里？如果把鸡兔同笼，改成了力在哪里？如果把鸡兔同笼，改成了狗兔狗兔同笼同笼、鸡鸭、鸡鸭同笼，同笼，你觉得魅力还大吗？为什么？你觉得魅力还大吗？为什么？所以：请记住：学无止境，千万不要骄傲自满！所以：请记住：学无止境，千万不要骄傲自满！送你们一句话共勉送你们一句话共勉：书山有路勤为径，学海无涯苦作：书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！舟！