弹性力学基本方程和一般原理

广义胡克定律广义胡克定律弹性力学的基本方程及求解思路弹性力学的基本方程及求解思路 边界条件与界面条件边界条件与界面条件 4.4 弹性力学的一般原理弹性力学的一般原理第四章第四章 弹性力学基本方程弹性力学基本方程 和一般原理和一般原理 应力与应变关系取决于材料的物理性质，即物质应力与应变关系取决于材料的物理性质，即物质的本构特性，统称为的本构特性，统称为本构方程本构方程或者或者本构关系。本构关系。单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定。而定。而复杂应力状态复杂应力状态难以通过实验确定。难以通过实验确定。广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律 各向异性材料应力应变一般关系xzyzxyzyxxzxzyzxyzyxyzxzyzxyzyxxyxzyzxyzyxzxzyzxyzyxyxzyzxyzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211各向异性的复合材料在工程中的应用日益广泛。物理意义物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。数学反映应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。金属材料各向同性弹性体，是最常见的工程材料。弹性力学主要讨论各向同性材料。各向同性弹性体（1）应变-应力公式：应力表示的本构方程GGGvvEvEvvEvEvvEvExzxzyzyzxyxyzyxzzyzxyyxzyxx，)1(1)(1)1(1)(1)1(1)(1E为弹性模量(杨氏模量)，G为剪切模量，v为横向变形系数（泊松比）。各向同性材料广义胡克定律xyz xzxzzzyzyzyyxyxyxxG,GG,GG,G222其中，,G称为拉梅(Lame)常数。=xyzuvwxyz(1)(12)E2(1)EG（2）应力-应变公式：应变表示的本构方程 弹性力学的基本方程及求解思路弹性力学的基本方程及求解思路000zzyzxzyzyyxyxzxyxxfzyxfzyxfzyx 线性弹性力学基本方程包括平衡方程、线性弹性力学基本方程包括平衡方程、几何方程、应变协调方程和本构方程。几何方程、应变协调方程和本构方程。平衡方程（平衡方程（3 3个）：个）：0,jiijf几何方程（几何方程（6 6个）个）-应变和位移的关系：应变和位移的关系：或张量形式：或张量形式：)(21)(21)(21zuxw,zwywzv,yvxvyu,xuxzzxzzyyzyyxxyxijjiijxuxu21应变协调方程（其中独立的方程有应变协调方程（其中独立的方程有3 3个）：个）：222222222222222222-=0-=0-=01+21+21+2yxyxyyzzxzxzyzxyxzxyxyyzzxxyyzzxzyxx yzyy zxzz xy zxxyzz xyyzxx yzzxy 本构方程（本构方程（6 6个）个）-应力和应变关系：应力和应变关系：（1 1）应变）应变-应力公式应力公式xyxyxyzzxzxzzxyyyzyzzyxxGEGEGE1,)(11,)(11,)(1（2 2）应力）应力-应变公式应变公式 xyxyzzxzxzyyyzyzxxG,GG,GG,G222 弹性力学的基本解法：弹性力学的基本解法：对上述偏微分方程组的求解，通常对上述偏微分方程组的求解，通常消去部分未知数，分为：消去部分未知数，分为：（1 1）位移解法）位移解法 （2 2）应力解法）应力解法 （3 3）应力函数解法。）应力函数解法。（1）位移解法：以3个位移分量为未知量 位移取连续函数，则应变协调方程自动满足。由几何方程求得应变，再代入本构方程，得到应力yuxvExwzuEzvywEzwEyvExuExyzxyzzyx)1(2)1(2)1(2211211211再将应力代入平衡方程，就得到位移形式的3个平衡方程，称为拉梅-纳维（L-N)方程其中：是拉普拉斯算子2 2222222()()()()zyx0)(0)(0)(222zyxfzGwGfyGvGfxGuG（2 2）应力解法：力法以）应力解法：力法以6 6个应力分量为未个应力分量为未知函数知函数 平衡方程仅含应力分量，但方程数只有平衡方程仅含应力分量，但方程数只有3个，而未知函数有个，而未知函数有6个，因此需要补充方个，因此需要补充方程。由本构方程可求应变，再代入应变协程。由本构方程可求应变，再代入应变协调方程，即得到应力协调方程（其中有调方程，即得到应力协调方程（其中有3个是相互独立的）：个是相互独立的）：zfyfxfzfzzfyfxfyfyzfyfxfxfxzyxzzzyxyyzyxxx1-2111-2111-211222222222222222111111yzyzxzzxyxxyffy zyzffz xxzffx yyx （3）应力函数解法：）应力函数解法：在应力解法中也可以引进某些能自动在应力解法中也可以引进某些能自动满足平衡方程的函数，而应力分量可由函满足平衡方程的函数，而应力分量可由函数偏导数的组合来确定（故称为数偏导数的组合来确定（故称为应力函应力函数）数），最终把问题归结为求解用应力函数，最终把问题归结为求解用应力函数表示的协调方程。表示的协调方程。则平衡方程自动满足，故则平衡方程自动满足，故 就是平面就是平面问题中的问题中的艾瑞艾瑞(.)应力函数。应力函数。对于二维弹性力学无体力问题，可令对于二维弹性力学无体力问题，可令应力表达式为应力表达式为yxxyxyyx22222,),(yx 综上所述，应力函数解法既保留了应力综上所述，应力函数解法既保留了应力解法的优点解法的优点(能直接求解应力分量能直接求解应力分量)，又吸收，又吸收了位移解法的思想了位移解法的思想(能自动满足平衡方程，能自动满足平衡方程，基本未知量降为基本未知量降为3个个)，所以是弹性理论中，所以是弹性理论中最常用的解法之一。最常用的解法之一。位移位移应力应力应变应变几何方程几何方程本构方程本构方程应力公式应力公式应力函数应力函数协调方程协调方程平衡方程平衡方程红线：位移解法红线：位移解法蓝线：应力函数解法蓝线：应力函数解法 位移解法与应力函数解法的求解思路 圈表示物理量，框圈表示物理量，框表示关系式，双框表示关系式，双框表示最后导出的定表示最后导出的定解方程，实箭头表解方程，实箭头表示推导过程，虚箭示推导过程，虚箭头表示自动满足。头表示自动满足。应力函数解法应力函数解法ijijiu 常见的三种边界条件：常见的三种边界条件：（1 1）S 处处给定外部作用的面力边界条件处处给定外部作用的面力边界条件：边界条件为：域内应力场的边界值应满足柯西公式边界条件为：域内应力场的边界值应满足柯西公式 on jijiXS tSuSV3X2X1XSUSp 不能消除刚体位移；不能消除刚体位移；p 要满足整体平衡条件。要满足整体平衡条件。4.3 4.3 边界条件与界面条件边界条件与界面条件),(ZYXX分量形式为：分量形式为：当当 时称为时称为自由表面自由表面，是力边界的特殊情况。，是力边界的特殊情况。集中力可化为静力等效的在微小面积上的均布表面力。集中力可化为静力等效的在微小面积上的均布表面力。集中力矩化为静力等效的非均布（线性）表面力。集中力矩化为静力等效的非均布（线性）表面力。ZnmlYnmlXnmlzyzxzzyyxyzxyxx0ZYX（2 2）Su 处处给定位移约束的位移边界条件：处处给定位移约束的位移边界条件：域内位移场的边界值应等于给定位移约束值：域内位移场的边界值应等于给定位移约束值：有时也可指定边界位移的导数值有时也可指定边界位移的导数值(例如，转角为零例如，转角为零)或或应变应变 值。在静力学问题中，所给的位移应足以防止物体的刚体值。在静力学问题中，所给的位移应足以防止物体的刚体运运 动。动。on iiuuuS,uu vv ww),(wvuU（3）在部分边界）在部分边界S 上给定外力，部分边界上给定外力，部分边界Su上给上给定位移的混合边界定位移的混合边界S。这时要求。这时要求 对于弹性动力学问题，还应给定对于弹性动力学问题，还应给定 初始条件：初始位移和初始速度。初始条件：初始位移和初始速度。uuSSSSS tSuSV3X2X1XSUS2.2.界面条件：界面条件：界面：如果弹性体由两种以上材料组成，则不同材料间的交界面称为界面。有时，物体虽由同样材料的两部分组成，两者的连接面也称为界面。界面上的位移和应力的传递特性由界面条件给出。在同一点、同一方向上有位移连续和应力连续的两个要求，故界面连续条件的数目是相应边界条件数的两倍。3.3.对称与反对称条件：对称与反对称条件：对于材料均匀、几何形对于材料均匀、几何形状、约束条件均对称于几何状、约束条件均对称于几何对称面的物体，则有如下性对称面的物体，则有如下性质：质：51XYZp 对对 称载荷作用：变形后位移和应力场也对称于对称面；称载荷作用：变形后位移和应力场也对称于对称面；p 反对称载荷作用：变形后位移和应力场也反对称于对称面。反对称载荷作用：变形后位移和应力场也反对称于对称面。YX XY56对称和反对称条件：对称和反对称条件：0,0:0uxxzxy0,0:0wvxx4.4.接触条件：接触条件：接触条件包括两个方面：（1）不可嵌入条件：两个表面可以接触、滑移或脱离，但不能相互嵌入。（2）面力条件：两物体的法向接触应力，只能是压应力。若是拉应力则表示此接触面应该脱离。lh/2h/2qyxoyyxxyyyxx例1 列出边界条件：1q0()0 ()0.x 0 x 0 x,u,v边界()0,()0.x x lxy x lxl,边界()()0.yhyxhyy22xhy,q,2l边 界1()0,().yhyxhyy22hy,q2边 界yxoqqqqbbaa例2 列出边界条件：xyyyxx显然，边界条件要求在 上，也成抛物线分布。b()0,()0.yyyxybyb 边界：axx2()(),()0.x xaxy xaxayqb边界：例3列出 的边界条件：ax.0)(,0)(,axxyaxuaxyxoa1.1.叠加原理叠加原理 物体受两组载荷共同作用时的应力或位移场物体受两组载荷共同作用时的应力或位移场就等于每组载荷单独作用时的应力或位移场之和，就等于每组载荷单独作用时的应力或位移场之和，且且与加载顺序无关与加载顺序无关。弹性力学一般原理弹性力学一般原理 应用叠加原理，可以把各种复杂载荷情况的解简化应用叠加原理，可以把各种复杂载荷情况的解简化为简单载荷情况解得组合。为简单载荷情况解得组合。全部基本方程和边界及界面条件的线性性质是叠加原全部基本方程和边界及界面条件的线性性质是叠加原理成立的前提条件，故叠加原理仅适用于线弹性小变理成立的前提条件，故叠加原理仅适用于线弹性小变形情况。形情况。对于大变形情况，几何方程将出现对于大变形情况，几何方程将出现非线性项非线性项，平，平 衡方程也受到变形的影响，因为叠加原理不再适用。衡方程也受到变形的影响，因为叠加原理不再适用。小结2.2.解的唯一性定理解的唯一性定理u 线性弹性力学问题的解是唯一的线性弹性力学问题的解是唯一的。u无论用什么方法求得的解，只要能满足全无论用什么方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边界及界面条件，就一定是问部基本方程和边界及界面条件，就一定是问题的真解。题的真解。u 解的唯一性原理给解的唯一性原理给“试凑解法试凑解法”提供了理提供了理论基础。论基础。小结一般说，位移场一般说，位移场 和和 之间还可能差一个之间还可能差一个刚体位移刚体位移，但是绝大多数弹性力学问题都给定足以限制刚体运动但是绝大多数弹性力学问题都给定足以限制刚体运动的位移约束条件，因而位移场的解也是唯一的。的位移约束条件，因而位移场的解也是唯一的。以上证明的前提是以上证明的前提是叠加原理叠加原理、应变能正定性应变能正定性和和应力应力张量对称性张量对称性。线弹性理论能自动满足这些条件，因为。线弹性理论能自动满足这些条件，因为线弹性问题的解是唯一的。线弹性问题的解是唯一的。iuiu3.3.圣维南原理圣维南原理 两种不同提法：两种不同提法：u 局部影响原理局部影响原理 由作用在物体局部表面上的自平衡力系（合力与由作用在物体局部表面上的自平衡力系（合力与合力矩为零）所引起的应力和应变，在远离作用区合力矩为零）所引起的应力和应变，在远离作用区（距离远大于该局部作用区的线性尺寸）的地方将衰（距离远大于该局部作用区的线性尺寸）的地方将衰减到可以忽略不计的程度。减到可以忽略不计的程度。u 静力等效原理静力等效原理 若把作用在物体局部表面上的外力，用另一若把作用在物体局部表面上的外力，用另一组与它静力等效组与它静力等效(合力与合力矩与它相等合力与合力矩与它相等)的力系来的力系来代替，则这种等效处理对物体内部应力、应变状态代替，则这种等效处理对物体内部应力、应变状态的影响将随远离该局部作用区的距离增加而迅速衰的影响将随远离该局部作用区的距离增加而迅速衰减。减。u 圣维南原理没有严格的数学证明，仅为事实所圣维南原理没有严格的数学证明，仅为事实所验证。验证。圣维南原理的意义圣维南原理的意义u 可以估算一组自平衡力系的影响范围可以估算一组自平衡力系的影响范围 r O(l)yxozrPyxozrPPyxozrPPPP21rij31rij41riju利用圣维南原理可在利用圣维南原理可在无法严格给出边界上作用无法严格给出边界上作用力的着点分布规则时，可以用一组静力等效力系力的着点分布规则时，可以用一组静力等效力系代替。代替。如对集中力、集中力矩分别可以看作应力的如对集中力、集中力矩分别可以看作应力的合力、合力矩处理。合力、合力矩处理。u 利用圣维南原理可将位移边界转化为等效的力利用圣维南原理可将位移边界转化为等效的力边界边界,如图所示如图所示:圣维南原理的适用条件圣维南原理的适用条件u 圣维南原理主要应用于实心部件，且只有当力的作圣维南原理主要应用于实心部件，且只有当力的作用区为结构最小的特征尺度时，圣维南原理才成立。用区为结构最小的特征尺度时，圣维南原理才成立。u如下情况将不再适用。如下情况将不再适用。RhlbhPP双力矩双力矩薄壁杆件：薄壁杆件：h b(R)l作业：P.59,习题4-5（提示：利用矩形板关于x,y,z轴的对称性）P.59,习题4-7(提示：利用应力协调方程）P.59,习题4-9(提示：利用圣维南原理）