函数的幂级数展开

7.5 函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式 通过上节的学习知道通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间任何一个幂级数在其收敛区间内内,均可表示成一个函数均可表示成一个函数(即和函数即和函数).).20120nnnnna xaa xa xa x ()S x xD 本节要解决的问题是本节要解决的问题是:给定函数给定函数 f(x),能否在某个区间内展能否在某个区间内展成幂级数成幂级数.即能否找到幂级数即能否找到幂级数,在某个区间内收敛在某个区间内收敛,且其和函数就是且其和函数就是给定的函数给定的函数f(x).()f x20120nnnnna xaa xa xa x 若能找到这样的幂级数若能找到这样的幂级数,我们说我们说,函数函数f(x)在该区间内能展成幂级数在该区间内能展成幂级数.将已知函数展开成幂级数将已知函数展开成幂级数,需解决以下两个问题：需解决以下两个问题：(2)函数函数(x)满足什么条件才能展开成幂级数满足什么条件才能展开成幂级数?(1)如果函数可以展开成幂级数如果函数可以展开成幂级数,应如何确定幂级数的应如何确定幂级数的系数系数?(0,1,)nan 称此幂级数为该函数的称此幂级数为该函数的幂级数展开式幂级数展开式.0nnna x 定义定义 若一个函数若一个函数(x)能表示成一个幂级数能表示成一个幂级数 ,泰勒级数泰勒级数0000(),()()(),nnnf xxf xxxf xaxx 定定理理 设设在在点点 的的附附近近有有任任意意阶阶导导数数 且且在在处处的的幂幂级级数数展展开开式式为为则则必必有有(0)00()0,01,()().1()!nnaffnxxxf 其其中中！证明：证明：2010200()()()()nnf xaaxxaxxaxx 21120300()2()3()()nnfxaaxxaxxnaxx 22300()23 2()(1)()nnfxaaxxnnaxx ()()!nnfxn a 0 xx 将将代代入入各各阶阶导导数数得得：00()f xa 01()fxa 02()2fxa ()0()!nnfxn a()0()!nnfxan0,1,2,n 0000(),()()(),nnnf xxf xxxf xaxx 定定理理 设设在在点点 的的附附近近有有任任意意阶阶导导数数 且且在在处处的的幂幂级级数数展展开开式式为为则则必必有有(0)00()0,01,()().1()!nnaffnxxxf 其其中中！注：此定理给出了在函数可以展成幂级数的前提下注：此定理给出了在函数可以展成幂级数的前提下,求函数幂级数展开式的方法求函数幂级数展开式的方法,还说明了幂级数展开式的还说明了幂级数展开式的唯一性唯一性.针对函数展成幂级数时所选择的点给出下面定义：针对函数展成幂级数时所选择的点给出下面定义：0()()00000000(),()11()()()()()()!1!nnnnnf xxfxfxxxf xxxfxxxnn 定定义义 设设在在点点 的的附附近近有有任任意意阶阶导导数数 则则称称幂幂级级数数0()f xxx 为为在在处处的的泰泰勒勒级级数数.()()00000000()11()()()()()()!1!nnnnnfxfxxxf xxxfxxxnn 00,x 当当时时 称称()()01(0)1(0)(0)(0)!1!nnnnnffxfxfxnn ()f x为为的的马马克克劳劳林林级级数数.()()0f xxaf xx 注注1 1：若若在在点点处处能能展展成成幂幂级级数数,则则幂幂级级数数必必为为泰泰勒勒级级数数;若若在在点点处处能能展展成成幂幂级级数数,则则幂幂级级数数必必为为马马克克劳劳林林级级数数;0(),()().f xxf xf x注注2 2：定定义义表表明明：任任给给一一个个函函数数只只要要在在点点处处有有任任意意阶阶导导数数,就就可可以以写写出出相相应应的的泰泰勒勒级级数数或或马马克克劳劳林林级级数数,但但在在函函数数与与级级数数之之间间并并没没有有建建立立等等式式关关系系,这这是是因因为为的的泰泰勒勒级级数数或或马马克克劳劳林林级级数数未未必必收收敛敛,且且收收敛敛时时也也未未必必收收敛敛于于1(),1().f xxf x 的的马马克克劳劳林林级级数数 并并讨讨论论该该级级数数在在收收敛敛域域内内是是否否收收敛敛于于例例：求求解解：21()(1)fxx 32()(1)fxx ()11!()(1)(1)nnnnfxx (0)1f(0)1f ()(0)!nfn()f x于于是是的的马马克克劳劳林林级级数数为为()()01(0)1(0)(0)(0)!1!nnnnnffxfxfxnn 1nxx1(1,1)().1f xx 易易知知该该级级数数在在内内收收敛敛于于()f x()000()()!nnnfxxxn 级级数数0()f xxx 为为在在处处的的泰泰勒勒级级数数()0(0)!nnnfxn 级级数数()f x为为的的马马克克劳劳林林级级数数两个级数未必收敛于两个级数未必收敛于f(x).(2)函数函数(x)满足什么条件时满足什么条件时,它的泰勒级数才能在收它的泰勒级数才能在收敛域内收敛于敛域内收敛于f(x)本身本身?二二.泰勒公式泰勒公式0(),f xxxx 定定理理(泰泰勒勒中中值值定定理理)若若在在点点的的附附近近有有n n+1 1阶阶导导数数则则对对该该邻邻域域内内任任意意有有200000()00()()()()()()2!()()()()!nnnfxf xf xfxxxxxfxxxRxn (1)100(),()(),.(1)!nnnfRxxxxxn 其其中中为为拉拉格格朗朗日日型型余余项项在在与与 之之间间 0()().f xxx 式式称称为为在在处处的的泰泰勒勒公公式式0000()()()()(),nf xf xfxxxx 注注1 1：当当时时，式式变变在在与与间间.为为之之 ().nRx即即拉拉格格朗朗日日公公式式,所所以以泰泰勒勒公公式式是是拉拉格格朗朗日日公公式式的的推推称称为为拉拉格格朗朗广广,相相应应余余项项日日型型余余项项的的20()(1)10(0)20,()()(0)(0)2!(0)(),!(1)!nnnnfxf xffxxffxxxxnn 注注：当当时时式式变变为为在在与与 之之间间.().f x称称为为的的马马克克劳劳林林公公式式0(),()f xxxf x 定定理理 若若在在点点的的附附近近有有任任意意阶阶导导数数 则则的的泰泰勒勒级级数数lim()0nnRx ，()000()()()!nnnfxxxf xn 在在该该邻邻域域内内收收敛敛于于的的充充要要条条件件是是(1)100(),()(),.(1)!nnnfRxxxxxn 其其中中在在与与 之之间间 ()f x证证明明：的的泰泰勒勒公公式式为为200000()00()()()()()()2!()()()!nnnfxf xf xfxxxxxfxxxRxn 思路思路1()()nnSxRx 1()()()nnRxf xSx lim()0nnRx 1lim()()nnf xSx 1()lim()nnf xSx 0 1lim()()nnSxf x()(),f xf x注注：若若的的泰泰勒勒级级数数在在收收敛敛域域内内收收敛敛于于即即等等式式()0000()()(),()!nnnfxf xxxf xxxn 成成立立 称称右右侧侧级级数数为为在在处处的的泰泰勒勒展展开开式式；()0(0)(),()!nnnff xxf xn 成成立立 称称右右侧侧级级数数为为的的马马克克劳劳林林展展开开式式.()(),f xf x若若的的马马克克劳劳林林级级数数在在收收敛敛域域内内收收敛敛于于即即等等式式()f x泰勒级数泰勒级数泰勒公式泰勒公式泰勒展开式泰勒展开式()f x泰勒级数泰勒级数泰勒公式泰勒公式泰勒展开式泰勒展开式()f x()000()()!nnnfxxxn 级级数数0()f xxx 为为在在处处的的泰泰勒勒级级数数()0(0)!nnnfxn 级级数数()f x为为的的马马克克劳劳林林级级数数两个级数未必收敛于两个级数未必收敛于f(x).()20000000()()()()()()()()2!nnnfxfxf xfxxxxxxxRxn 0()f xxx 为为在在处处的的泰泰勒勒公公式式()(1)21(0)(0)()(0)(0)2!(1)!nnnnfffffxxxxnn ()f x为为的的马马克克劳劳林林公公式式()f x()f x 三三.初等函数的幂级数展开式初等函数的幂级数展开式计算步骤为计算步骤为:()01.()(),(),(),().nf xfxfxfxxxf x 求求出出的的各各阶阶导导数数如如果果在在处处的的某某阶阶导导数数不不存存在在,停停止止进进行行.此此时时不不能能展展成成幂幂级级数数0()00002.()()(),(),(),.nf xxxf xfxfxfx 求求出出的的各各阶阶导导数数在在处处的的值值：，3.()f x写写出出的的泰泰勒勒级级数数()000()(),.!nnnfxxxn 并并求求出出收收敛敛半半径径R R和和收收敛敛域域4.(,),lim()0?0,()nnxR RRxf x 考考查查当当时时若若余余项项极极限限为为则则在在收收敛敛域域内内的的幂幂级级数数展展开开式式为为()000()()(),.!nnnfxf xxxxn 收收敛敛域域()0()!nnfxan 1.直接展开法直接展开法 利用式利用式 计算展开式的方法称为直接展开法计算展开式的方法称为直接展开法.()xf xe 例例：求求的的马马克克劳劳林林展展开开式式.解解：()1.()()()nxfxfxfxe ()02.(0)(0)(0)1nfffe 3.()xf xe 的的马马克克劳劳林林级级数数为为()0(0)!nnnfxn 0!nnxn 收收敛敛半半径径为为R,=+=+收收敛敛域域为为(-,+).4.()nRx (1)1()(1)!nnfxn 1(1)!nexn 0!nnxn 收收敛敛,10(1)!nnxn 收收敛敛.1,lim(1)!nnxn 于于是是=0 0,1lim()lim0.(1)!nnnneRxxn 所所以以()xf xe 因因此此0!nnxn 21.2!nxxxn.xR 3521111sin(1),3!5!(21)!nnxxxxxxRn ()sinf xx 例例：求求的的马马克克劳劳林林展展开开式式.解解：()1.()sin()2nfxxn()2.(0)nf 3.()sinf xx 的的马马克克劳劳林林级级数数为为()0(0)!nnnfxn 210(1)(21)!nnnxn 收收敛敛半半径径为为R,=+=+收收敛敛域域为为(-,+).sin()2n 2nm 021nm (1)m 0!nxnxen 21.2!nxxxn.xR 3521111sin(1),3!5!(21)!nnxxxxxxRn 211,(1,1)1nxxxxx 2.间接展开法间接展开法 242111cossin1(1),2!4!(2)!nnxxxxxxRn 11x 11()x 21(1),(1,1)nnxxxx 211x 2421(1),(1,1)nnxxxx ln(1)x 011xdxx 00(1)xnnnxdx 00(1)xnnnxdx 10(1)1nnnxn 12311(1),(1,123nnxxxxxn 11(1)nnnxn 13x 211,3333nxxx11313x (3,3)x -马克劳林级数马克劳林级数1(1)()6f xx 例例 将将f(x)展为展为x-2 2的幂级数的幂级数.11 64(2)xx 解解 因因112414x 01 (11)1nnxxx 而而 2(11)4x 1011(2)(26)644nnnxxx 故故0112644nnxx 于于是是（）-x=2点的泰勒级数点的泰勒级数(2)()xf xe 例例 将将f(x)展为展为x-1 1的幂级数的幂级数.1 1 xxee 解解 因因1xe e 201,!2!nnxnxxxexxRnn 而而1xxee e 0(1),1!nnxexRn 0(1),!nne xxRn 2(1)()1xf xx 练练将将f(x)展为展为x的幂级数的幂级数.221 ()11xf xxxx解解 因因01(11),1nnxxx 而而 21()1f xxx 20()(11),nnxxx 20(1)(11),nnnxx 211 ()2(2)(1)f xxxxx 解解 因因1113 12xx （）11113 1212xx （）（）01(11),1nnxxx 而而 01()(22)212nnxxx 于是 于是 0011()()322nnnnxf xx 所所以以10111(1)(11)32nnnnxx 21(2)()2f xxx 练练将将f(x)展为展为x的幂级数的幂级数.(3)()ln(1)f xx 练练将将f(x)展为展为x-2的幂级数的幂级数.()ln(1)ln(32)f xxx 解解 因因2ln3(1)3x 2ln3ln(1)3x 01(1)(11),1nnnxxx 而而 ln(1)x 所所以以10(1)1nnnxn (11,x 112(1)2ln(1)33nnnxxn 于于是是 11(1)2 3nnnnxn ln(1)x 11(1)nnnxn 11(1)ln32 3nnnnxn 作业：作业：2121（3 3，1111）2222（2 2，3 3）Pp252,5(2)21 12limlim nnnunnnPp252,5(3)中中 141nn,141 q 411收敛。收敛。nn收收敛敛。变变级级数数的的敛敛散散性性，对对级级数数增增加加有有限限项项不不改改 141311 nn6(6):11 nnnn nnnnn11lim1 nnn1lim 发散，发散，11nn发散。发散。11nnnn6(13):11ln11 nnnn 23111ln1limnnnnn 231)121ln(1limnnnn 231121limnnnn2