微积分计算体积

旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台体体 积积一、旋转体的体积一、旋转体的体积一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)(旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)(xyo)(xfy xdxx 0,),(xdycyyx及及直直线线 所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成的立体的体积轴旋转一周所成的立体的体积为为 dcdyyV)(2 xyo)(yx cd例例1 求椭圆求椭圆 12222 byax 所围成的平面图形分别绕所围成的平面图形分别绕 x 轴和轴和 y 轴旋转一周所成的旋轴旋转一周所成的旋转体（旋转椭球体）的体积转体（旋转椭球体）的体积类似地，由连续曲线类似地，由连续曲线这个旋转体可以看成是由半个椭圆这个旋转体可以看成是由半个椭圆22xaaby 及及 x 轴所围成的平面图形绕轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的立体轴旋转而成的立体dxxaabVaa22221 234ab 与上同理与上同理椭球体也可以看成由半个椭圆椭球体也可以看成由半个椭圆22ybbax 及及 y 轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的立体轴旋转而成的立体解解dyybbaVbb22222 ba234 特别当特别当 a =b 时时旋转体成为球体旋转体成为球体32134aVV 例例 2 2 求求星星形形线线323232ayx )0(a绕绕x轴轴旋旋转转 构构成成旋旋转转体体的的体体积积.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋转转体体的的体体积积dxxaVaa33232 .105323a 例例 3 3 求摆线求摆线)sin(ttax ，)cos1(tay 的的一拱与一拱与0 y所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕x轴、轴、y轴旋轴旋转构成旋转体的体积转构成旋转体的体积.解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积a 2a)(xydxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a 绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积oyxa 2ABCa2)(2yxx)(1yxx 可可看看作作平平面面图图OABC与与OBC 分分别别绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积之之差差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 例例4证明由平面图形证明由平面图形 )(0,0 xfyba （f(x)连续）连续）绕绕 y 轴旋转而成的立体的体积为轴旋转而成的立体的体积为 badxxxfV)(2,badxxx 对应的部分量对应的部分量 V 可近似看成内径为可近似看成内径为 x ，外径为，外径为 x+dx 高为高为 f(x)的薄壁圆筒的薄壁圆筒故故)()(22xfxdxxV dxxxfdV)(2 证证 或展开后近似于长为或展开后近似于长为 宽为宽为 dx 高为高为 f(x)的薄长方体的薄长方体x 2dxxxfdV)(2 badxxxfV)(2 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay|)(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 例例 5 5 求由曲线求由曲线24xy 及及0 y所围成的图形所围成的图形绕直线绕直线3 x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解取取积积分分变变量量为为y,4,0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 MdyQP 求圆心在求圆心在(b,0)半径为半径为 a(0 a b)的圆绕的圆绕 y 轴旋转一周所成的环状体的体积轴旋转一周所成的环状体的体积解解圆的方程圆的方程222)(aybx 22)(bxay abxab dxbxaxVabab 22)(22 bxt dttabtaa 22)(4 dttabdttataaaa 222244 ba222 例例6bxaxfy ),(绕绕 x 轴旋转轴旋转dV=薄片圆柱的体积（底半径为薄片圆柱的体积（底半径为 f(x)，高为，高为dx）dxxfdV)(2 柱片法柱片法绕绕 y 轴旋转轴旋转dV=薄壁圆筒的体积（内径为薄壁圆筒的体积（内径为 x ，外径为，外径为x+dx高为高为f(x)dxxxfdV)(2 柱壳法柱壳法旋转体的侧面积旋转体的侧面积bxaxfy ),(绕绕 x 轴旋转轴旋转所得的旋转面的侧面积为所得的旋转面的侧面积为dxxfxfSba )(1)(22 一一 般地般地 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，xoab)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数,)(dxxAdV .)(badxxAV立体体积立体体积xdxx 二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积例例 7 一平面经过半径为一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体，计算这平面截圆柱体所得立体的体积积.解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R RR xyox 已知点已知点A（1,0,1),B(0,1,0)，线段，线段AB绕绕 z 轴旋转一周所成的旋转曲面为轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由，求由S和和两平面两平面 z=0,z=1所围立体的体积所围立体的体积解解AB 的方程为的方程为11111 zyxzyzx 1 在在 z 轴上截距为轴上截距为 z 的水平面截此旋转体所得的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与截面为一个圆，此截面与 z 轴交于点轴交于点Q(0,0,z)，与与AB交于点交于点M (z,1-z,z)，222221)1(|)(zzzzMQzr 截面面积截面面积)221()()(22zzzrzS 立体体积立体体积 1032)(dzzSV故截面的半径为故截面的半径为例例8旋转体的体积旋转体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积思考题思考题 求求曲曲线线4 xy，1 y，0 x所所围围成成的的图图形形绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.三、小结三、小结 14yxy交点交点),1,4(立体体积立体体积dyxVy 12dyy 1216 116y.16 yxo思考题解答思考题解答练练 习习 题题一、一、填空题：填空题：1 1、连续曲线连续曲线,)(xfy 直线直线ax ，bx 轴轴及及 x所所围图形围图形轴轴绕绕 x旋 转 一周 而成的 立体的体 积旋 转 一周 而成的 立体的体 积 v_，轴轴绕绕 y旋转一周而成的立体的旋转一周而成的立体的体体 v积积_；2 2、badxxfv)(常用来表示常用来表示_立立体的体积；体的体积；3 3、抛物线抛物线axy42 及直线及直线)0(00 xxx所围成的图所围成的图形形轴轴绕绕 x旋转而成的立体的体积旋转而成的立体的体积_；4 4、0,0,cosh yaxxaxay所围成的图所围成的图x形形绕绕轴旋转而成的立体的轴旋转而成的立体的 v体体积积_；二二、有有一一铁铁铸铸件件，它它是是由由抛抛物物线线、2101xy 11012 xy与与直直线线10 y围围成成的的图图形形，轴轴绕绕 y旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体，算算出出它它的的质质量量（长长度度单单位位是是厘厘米米，铁铁的的密密度度是是38.7厘厘米米克克）.三三、把把星星形形线线323232ayx 轴轴绕绕 x旋旋转转，计计算算所所得得旋旋转转体体的的体体积积 .四、四、求摆线求摆线)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱，的一拱，0 y，绕直线，绕直线ay2 旋转所成旋转体的体积旋转所成旋转体的体积.五五、求求222ayx 绕绕)0(abbx旋旋转转所所成成旋旋转转体体的的体体积积 .六六、设设有有一一截截锥锥体体，其其上上，下下底底均均为为椭椭圆圆，椭椭圆圆的的轴轴长长分分别别为为和和BA 2,2ba 2,2,h高高为为，求求这这截截锥锥体体的的体体积积 .七七、设设直直线线baxy 与与直直线线0 x，1 x及及0 y所所围围 成成梯梯形形面面积积等等于于A，试试求求ba,使使这这个个梯梯形形轴轴绕绕 y 旋旋转转所所得得体体积积最最小小 .一一、1 1、badxxf)(2,badxxxf)(2；2 2、已已知知平平行行截截面面面面积积的的；3 3、202 ax；4 4、2243sha .二二、(克克).三三、310532a.四四、327a.五五、ba222.六六、)(261bAaBABabh .七七、Aba ,0.练习题答案练习题答案