《D551广义积分》PPT课件

目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分第五节常义积分积分限(区间)有限被积函数有界推广一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分广义积分 第五五章 广义积分、-函数 目录 上页 下页 返回 结束 21xy A1xyO一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分引例引例.曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.设,),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在,则称此极限为 f(x)的无穷限广义积分广义积分,记作xxfad)(这时称广义积分xxfad)(收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分xxfad)(发散.类似地,若,()(bCxf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(xxfbad)(blim目录 上页 下页 返回 结束,),()(Cxf若则定义xxfd)(,d)(limxxfcaaxxfbcbd)(lim(c 为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称xxfd)(发散.无穷限的广义积分也称为第一类广义积分第一类广义积分.,并非不定型,说明说明:上述定义中若出现 它表明该广义积分发散.xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim目录 上页 下页 返回 结束,)()(的原函数是若xfxF引入记号;)(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛顿 莱布尼兹公式的计算表达式:xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF说明说明:上述公式中，则表明广义积分发散.)(F若不存在，或)(F目录 上页 下页 返回 结束 例例1.计算广义积分.1d2 xx解解:)2(2xy211xyO21dxxccxxxx221d1dacaxarctanlimcbbxarctanlimxarctanbcbcaaxxxx221dlim1dlim目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散原积分发散!注意注意:对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则可能会出现错误.?01dlim2对吗NNNxxx目录 上页 下页 返回 结束 例例2.证明广义积分,dapxx证证:当 p=1 时有 axxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1p1p,11pap当 p 1 时收敛;p1时发散.,因此,当 p 1 时,广义积分收敛,其值为;11pap当 p1 时,广义积分发散.a0,目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算广义积分.)0(de0ptttp解解:tppte00de1tptptppe12021p原式bptbtdep0lim1bptbptbdteetp00lim10e1tpdtpbptbdtte0lim原式bptbep02lim121p目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分引例引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴,y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1(2lim02xy1A1xyO目录 上页 下页 返回 结束,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在,xxfbad)(这时称广义积分xxfbad)(收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分xxfbad)(发散.类似地,若,),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f(x)在 a,b 上的广义积分,则定义则称此极限为函 记作定义定义2.设0limxxfbad)(目录 上页 下页 返回 结束,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的邻域内无界,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220则定义只要有一个发散,xxfbad)(发散.xxfcad)(xxfbcd)(和说明说明:则目录 上页 下页 返回 结束 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:无界函数的广义积分称作瑕积分(第二类广义积分第二类广义积分),无界点常称为瑕点瑕点(奇点奇点).例如,xxxd11112xxd)1(11间断点,而不是广义积分.则本质上是常义积分,目录 上页 下页 返回 结束.1arctan11xd解解:111arctanxd例例 计算011arctanxd101arctanxd1arctan)1arctan(lim101201arctanlim1arctan224422110101arctanlimxd100221arctanlimxd目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:若瑕点,)()(的原函数是设xfxF公式的计算表达式:xxfbad)(xxfbad)(xxfbad)(则也有类似牛顿 莱布尼兹若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则,),(bac则xxfbad)()(lim)(xFbFcx)()(limaFxFcxxxfcad)(xxfbcd)()()(lim)(aFxFxFbxba)(lim)()(xFbFxFaxba)(lim)(lim)(xFxFxFaxbxba目录 上页 下页 返回 结束 例例4.计算广义积分.)0(d022axaxa解解:显然瑕点为 a,所以原式aax0arcsin1arcsin2aaxax0arcsinarcsinlim目录 上页 下页 返回 结束 112dxx211111x下述解法是否正确:,积分收敛例例5.讨论广义积分112dxx的收敛性.解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以广义积分112dxx发散.11lim0 xxxx1lim)1(0=0 x是瑕点.目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明广义积分,)(dbaqaxx当 q=1 时,当 q a,q1时发散.)0,d(0bxxbq特别地，)ln(lim)ln(axabaxqaxqabqaxq1)(lim1)(11ax 是瑕点.证证:目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1.广义积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2.两个重要的广义积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0(abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,)1(11pap)(ab 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(1)有时通过换元,广义积分和常义积分可以互相转化.例如,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122xxxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt目录 上页 下页 返回 结束.)0(0pdxxdxp解解:例例 计算1100dxxdxdxxdxdxxdxppp 它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛，通过例题可知，这两个反常积分不能同时收敛，故此反常积分对任何实数 p 都是发散的.(2).若在同一积分式中出现两类广义积分,可通过分项使每一项只含一种类型的广义积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.目录 上页 下页 返回 结束 习题课 .1ln02dxxx解解:021lndxxx例例 计算1021lndxxx121lndxxx121lndxxxtx10121111lntdtt0122211lndttttt0121lndttt1021lndttt01ln02dxxx目录 上页 下页 返回 结束 习题五 P211 18(7)(9)(10)第五节 作业作业目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题 试证xxxxxd11d04204,并求其值.解解:041dxx令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122目录 上页 下页 返回 结束 xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx22