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1二、洛比达法则及其应用二、洛比达法则及其应用一、微分中值定理及其应用一、微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用第三章第三章三、导数应用三、导数应用-研究曲线的性态研究曲线的性态21)lim()lim()0 xaxaf xF x()3)lim()xafxFx 存在存在(或为或为 )()()limlim()()xaxaf xfxF xFx 2)()()(),f xF xa 与与在在内内可可导导()0Fx 且且定理定理 1.(洛必达法则洛必达法则)推论推论1.定理定理 1 中中xa换为换为,xa,xa,x x 之一之一,推论推论 2.若若()lim()fxFx 0,(),()0fxFx 仍仍属属型型 且且满满足足定定理理1条件条件,则则()()limlim()()f xfxF xFx ()lim()fxFx 条件条件 2)作相应的修改作相应的修改,定理定理 1 仍然成立仍然成立.,x 二、洛比达法则及其应用二、洛比达法则及其应用31)lim()lim()xaxaf xF x ()3)lim()xafxFx 存在存在(或为或为)()lim()xaf xF x定理定理 2.()lim()xafxFx (洛必达法则洛必达法则)2)()()(),f xF xa 与与在在内内可可导导()0Fx 且且说明说明:定理中定理中xa换为换为之一之一,条件条件 2)作相应的修改作相应的修改,定理仍然成立定理仍然成立.,xa,xa,x x ,x 4000,1,型型 型型0 型型00型型 型型1gffg1111gfgffg 洛必达法则适用于：洛必达法则适用于：gyf 令令lngfye 5例例1.30sincos limsinxxxxx 计计算算解解:原原式式0 xxxeln1lim xxxelnlim 01.e xxx1lim例例2.30sincoslim,xxxxx 30(sincos)lim()xxxxx =20coscossinlim3xxxxxx 2201lim.33xxx用用罗罗比比达达法法则则1 limxxx 计计算算解解:1limxxe lim1nnn 6注意：注意：1)条件充分但不必要条件充分但不必要.洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.()lim(),()fxFx 若若不不存存在在时时()()limlim.()()f xfxF xFx 例如例如,sinlimxxxx 1coslim1xx 极限不存在也不极限不存在也不是无穷大是无穷大sinlim(1)xxx 1 2)对有些极限失效对有些极限失效对对数列数列极限极限失效失效.对对()lim()()f xg x 不存在不存在时时失效失效.7有时有时出现循环，出现循环，这时罗比达法则这时罗比达法则失效失效.如：如：xxxxxeeeelim事实上：事实上：xxxxxeeeelim有时会有时会越用越复杂，越用越复杂，这时这时不必不必用罗比达法则用罗比达法则.如：如：xxxx3sincos1seclim220 xxxx3sincostanlim220 220)3(coslimxxxx.91cos91lim0 xx xxxxxeeeelimxxxxxeeee lim.111lim22 xxxee83)对数列极限的未定式对数列极限的未定式,若想用洛必达法则若想用洛必达法则,应先用以下定理应先用以下定理:lim()()lim()lim()xnxf xAf nf x 或或4)想用洛必达法则之前应先想用洛必达法则之前应先(1)检查极限的类型是否为检查极限的类型是否为(2)结合以前的方法化简函数，如等价无穷小代换、四结合以前的方法化简函数，如等价无穷小代换、四 则法则、变量代换等则法则、变量代换等.00 型型、型型注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好极限方法结合使用，效果更好.常用的有等价无穷小代换、常用的有等价无穷小代换、重要极限、变量代换，极限的运算法则等重要极限、变量代换，极限的运算法则等.9例例3.求求lim(1).nnnn 分析分析:为用洛必达法则为用洛必达法则,必须改求必须改求112lim(1).xxxx 法法1:用洛必达法则用洛必达法则0 型型但对本题用此法计算很繁但对本题用此法计算很繁!12 limnn 法法2:112lim(1)nnnn 1ln1nne 12limnn 1lnnn12lnlimnnn 0 1(0)ueu u 原式原式lim1nnn 幂函数幂函数 x及指数函数及指数函数xe 均为无穷大量均为无穷大量.但它们但它们趋于无穷大的趋于无穷大的“快慢快慢”程度不一程度不一样样.三者相比，三者相比，函数最快，函数最快，幂函数次之，幂函数次之，对数函数最慢对数函数最慢.指数指数，xln对数函数对数函数 x时，时，当当10练习：练习：下列各式正确运用洛必达法则求极限的是（下列各式正确运用洛必达法则求极限的是（）2112ln(ln)2ln()limlimlim2lim011nnnnnnnnnAnn 00sin1cos()limlimsin1cosxxxxxBxxx cos1sin()limlim1xxxxxCx 不不存存在在0001()limlimlim01lnxxxxDxxx B11012sin1(113,10)lim.ln(1)xxxxx 年年数数分分 求求极极限限练练习习：12 110ln(1)(111,10)lim.xexxx 年年数数分分 求求极极限限练练习习：1e121.研究函数的性态研究函数的性态:单调性单调性,极值极值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,渐近线渐近线,曲率曲率.2.解决最值问题解决最值问题 目标函数的建立与简化，目标函数的建立与简化，最值的判别问题最值的判别问题.3.其他应用其他应用:几何应用几何应用;证明不等式证明不等式;研究方程实根等研究方程实根等.三、导数应用三、导数应用-研究曲线的性态研究曲线的性态131.利用导数的符号判断函数的单调性，求单调区间利用导数的符号判断函数的单调性，求单调区间.说明：说明：(2)单调区间应首先为连续区间单调区间应首先为连续区间.(1)定理中的定理中的区间区间换成其它换成其它有限或无限区间，有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.求求)(xf的连续区间，的连续区间，求求，)(xf 求导数等于零的点和不可导点，求导数等于零的点和不可导点，用以上的点分割定义区间，列表判断用以上的点分割定义区间，列表判断.(3)求求 单调区间单调区间(判断单调性判断单调性)的步骤的步骤:()f x化为积商，化为积商，(),(,).1(,)()0(),(2)(,)()0(),f xa ba ba bfxyf xa ba bfxyf xa b 设设函函数数在在上上连连续续，在在内内可可导导（）如如果果在在内内，则则在在上上单单调调增增加加；如如果果在在内内，则则在在上上定定理理：单单调调减减少少.()f x在在 I 上单调递增上单调递增在在 I 上单调递减上单调递减定理定理:()f x()0,fxxI ()0,fxxI 14定义定义:0()(),f xf x(1)则称则称 为为 的的极大点极大点,0 x()f x称称 为函数的为函数的极大值极大值;0()f x0()(),f xf x(2)则称则称 为为 的的极小点极小点,0 x()f x称称 为函数的为函数的极小值极小值.0()f x极大点与极小点统称为极大点与极小点统称为极值点极值点.问：极值点是连续点吗？问：极值点是连续点吗？00(),xU x 有有0()()f xU x在在设设内有定义，内有定义，2.利用导数求函数的极值利用导数求函数的极值.注意：注意：极值与最值的区别：极值与最值的区别：是对整个区间而言，是对整个区间而言，绝对的、绝对的、极值：极值：最值：最值：是对某个点的邻域而言、是对某个点的邻域而言、可以不是唯一的可以不是唯一的.极大值不一定都大于极小值极大值不一定都大于极小值.是整体的、是整体的、唯一的唯一的.是局部的、相对的、是局部的、相对的、最值最值可在区间端点处取得可在区间端点处取得,而而极值极值只能在区间只能在区间的的内点内点处取得处取得.xyo0 x.。15定理定理1(必要条件必要条件)(费马定理费马定理)00()f xxx设设函函数数在在点点 处处可可导导，且且在在点点 处处.0)(0 xf取得极值取得极值注意：注意：1)可导函数可导函数的的极值点极值点驻点驻点如：如：,3xy,00 xy0 x是驻点，是驻点，0 x但但不是极值点不是极值点.xyo即：可导函数的极值点即：可导函数的极值点 驻点驻点2)在在0 x点连续但不可导，点连续但不可导，0 x也可能是极值点也可能是极值点.如：如：,xy 0 x连续不可导，连续不可导，却却是极小值点是极小值点.13,yx 如如:在在0 x处连续不可导，处连续不可导，也也不是极值点不是极值点.3)极值点的极值点的可疑点：可疑点：（在定义域（在定义域内内部的）部的）驻点驻点,不可导点不可导点.即：极值点即：极值点 驻点，不可导点驻点，不可导点问：如何能快速的说明一个函数没有极值？问：如何能快速的说明一个函数没有极值？16定理定理 2(第一充分条件，极值第一判别法第一充分条件，极值第一判别法)0),(f xx设设函函数数在在的的某某邻邻域域内内连连续续且在且在去心去心邻域邻域内有导数内有导数,0,xx当当 由由小小到到大大通通过过时时()fx(1)“左正右负左正右负”,0();f xx则则在在取取极极小小值值0().f xx则则在在取取极极大大值值不是极值点不是极值点.0 x则则说明：说明：1)定理中的条件定理中的条件“连续连续”很重要，很重要，)(xf若不连续，若不连续，即使即使)(xf 变号，变号，但但0 x未必是极值点未必是极值点.2)该定理适用于该定理适用于0 x是驻点或不可导是驻点或不可导的的连续连续点点.(2)“左负右正左负右正”,()fx(3)“左右符号相同左右符号相同”,()fx xyo0 x.。173)求极值的步骤求极值的步骤:();fx(1)求求定义区间，定义区间，求导数求导数(2)求求驻点驻点(0)(xf即方程即方程的根的根)以及以及不可导点；不可导点；(3)检查检查)(xf 在在驻点及不可导点左右的正负号，驻点及不可导点左右的正负号，判断出极值点；判断出极值点；(最好列表最好列表)(4)求极值求极值.定理定理3(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数二阶导数,且且0()f xx设设函函数数在在点点处处具具有有0()0,fx 0()0fx 0(1)()0,fx 若若则则 在点在点 取极大值取极大值;()f x0 x0(2)()0,fx 若若则则 在点在点 取极小值取极小值.()f x0 x183.连续函数最值的求法连续函数最值的求法:(),f xa b求求连连续续函函数数在在闭闭区区间间上上最最值值的的方方法法步步骤骤：12(1)()(,),mxxxf xa b求求在在内内的的可可疑疑极极值值点点，(2)max M 12(),(),(),mf xf xf x(),()f af b min m 12(),(),(),mf xf xf x(),()f af b特别特别:当当(),f xa b在在上上增增(减减)时时,最最值值必必在在端端点点处处取取得得；大大(小小)值就是最大值就是最大(小小)值值.求求()(,)lim(),lim()xaxbf xa bf xf x 在在内内的的最最值值时时,把把参参与与比比较较；如果在区间如果在区间 内可导且只有一个极值点内可导且只有一个极值点,则这个极则这个极I19yox2x1x221xx 1)定义：定义：()f xI设设函函数数在在区区间间 上上连连续续，12,xxI，(1)若恒有若恒有1212()()()22xxf xf xf ，()f x则则称称的的图图形形是是凹凹的的；(2)若恒有若恒有1212()()()22xxf xf xf ，()f x则则称称的的图图形形是是凸凸的的；yox1x221xx 2x说明：说明：曲线：凹（凸）弧曲线：凹（凸）弧 ：凹凸区间：凹凸区间.I4.利用导数的符号判断函数的凹凸性，求拐点利用导数的符号判断函数的凹凸性，求拐点.切线上的纵坐标切线上的纵坐标 凸函数的函数值凸函数的函数值 弦上的纵坐标弦上的纵坐标.凸弧凸弧:200(),()fxxIyf xI 曲曲线线在在 上上向向上上凹凹0(),()fxxIyf xI曲曲线线在在 上上向向上上凸凸+2)凹凸性的判定定理：凹凸性的判定定理：注意：函数的注意：函数的凹凸区间凹凸区间应首先为它的应首先为它的连续区间连续区间.(1)定义定义:注意注意1:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.3)曲线的拐点及其求法：曲线的拐点及其求法：注意注意2:拐点是拐点是曲线上曲线上的点的点,是一对有序的实数是一对有序的实数.注意注意3:拐点的横坐标是连续区间拐点的横坐标是连续区间内内的点的点,不可能是区间不可能是区间的端的端点点.注意注意4:拐点的横坐标的可疑点：拐点的横坐标的可疑点：()0,()fxfx 不不存存在在的的点点.(),(,).1(,)()0(),(2)(,)()0(),f xa ba ba bfxf xa ba bfxf xa b 设设在在上上连连续续，在在内内具具有有一一阶阶和和二二阶阶导导数数（）如如果果在在内内，则则在在上上的的图图形形是是凹凹的的；如如果果在在内内，则则在在上上的的图图形形定定理理：是是凸凸的的.2100000(),()0,()0,(,()().f xxfxfxxf xyf x 设设函函数数在在的的邻邻域域内内三三阶阶可可导导 且且而而那那末末是是曲曲线线的的拐拐点点(2)求拐点方法求拐点方法:0()0fx 且且，或在或在0 x处二阶不可导处二阶不可导.若若)(xf 在在0 x的两侧的两侧异号，异号，则点则点)(,(00 xfx为拐点为拐点.若若)(xf 在在0 x的的两侧不变号，两侧不变号，拐点拐点.则点则点)(,(00 xfx不是不是设函数设函数0()f xx在在的邻域内二阶可导，的邻域内二阶可导，yox方法方法2:方法方法1:(3)求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：求函数的求函数的连续连续区间；区间；求出求出；y 求求0 y的根及的根及y 不存在的根；不存在的根；列表判断列表判断22为曲线为曲线 的的拐点拐点（不是极值点）（不是极值点）为为 的的极值点极值点（不是拐点）（不是拐点）定理定理4(判别法的推广判别法的推广)：设：设 在在 内具有内具有 阶连阶连续导数且续导数且()yf x 0()U xn 1000()()()0nfxfxfx 但但()0()0nfx 1)n为为奇数奇数，则，则00(,()xf x()yf x 2)n为为偶数，偶数，则则0 x()yf x()0()0,nfx 时时0 x是极小点是极小点;()0()0,nfx 时时0 x是极大点是极大点.思考：思考：为为 的极值点时，的极值点时，会不会是会不会是0 x()yf x 00,()xf x()yf x 拐点？拐点？23曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲率圆曲率圆(弧弧)可以近似代替曲线弧可以近似代替曲线弧.(2)曲率曲率(3)曲率半径曲率半径32)1(yyK K1 2d1 dsyx (1)弧微分弧微分:222(d)(d)(d).sxy 思考：思考：曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答:有公切线有公切线;凹向一致凹向一致;曲率相同曲率相同.5.曲率曲率.TyxO),(DR),(yxMC1MMTR0M0 xxxx xyodydxds24典型例题分析典型例题分析题型题型1.证明不等式证明不等式可以利用：可以利用：1)单调性单调性2)中值定理中值定理3)泰勒公式泰勒公式4)凹凸性凹凸性5)求最值求最值例例1.证明证明arctanln(1)(0).1xxxx 证证:()(1)ln(1)arctan,(0)xxxxx 设设(0)0,21()1ln(1)1xxx 0 ，故故0 x 时时,单调增加单调增加,从而从而所以原不等式成立所以原不等式成立.()x 0()(0)0,xx 时时,()(0,)x 则则在在内内连连续续可可导导,且且(0),x (1)ln(1)arctanxxx 证证分分析析：只只需需：(1)ln(1)arctan0 xxx 即即只只需需证证：25说明说明1)用单调性证明不等式的步骤：用单调性证明不等式的步骤：将不等式变形为一边为零将不等式变形为一边为零,另一边就是要设的辅助函数另一边就是要设的辅助函数().f x判断判断 的单调性的单调性.()f x用单调性的定义与端点的函数值比较可得所证的不等式用单调性的定义与端点的函数值比较可得所证的不等式.2)为快速的证明为快速的证明,可先对不等式做恒等变形后再设辅助函数可先对不等式做恒等变形后再设辅助函数.3)为证不等式为证不等式 可用可用 的单调性的单调性.()0fx ()fx 01x如如：时时，11xxxeex 思考思考:证明证明1ln(1)(01)1arcsinxxxxx 时时,如何设辅助如何设辅助函数更好函数更好?2()(1)ln(1)1arcsinxxxxx 提示提示:（提提示示：两两边边取取对对数数）26证证:令令 则则2()sin,F xxx (0)0,F()0,2F()Fx 2cos,x ()Fx sin x 0,0,22sin.xxx 有有证证明明:当当时时例例2.2)(0,x()0,2Fx 在在上上是是减减函函数数.02,x当当时时()(0)FxF 有有210 02,x当当时时()()2FxF 有有20 是凸函数，是凸函数，()0,2F x 在在上上yox2()yF x 所以函数值所以函数值 弦上的纵坐标弦上的纵坐标()0F xy 弦即即02,x当当时时2sin.xx 有有切线上的纵坐标切线上的纵坐标 凸函数的函数值凸函数的函数值 弦上的纵坐标弦上的纵坐标.凸弧凸弧:注意：这是用凹凸性证明不等式注意：这是用凹凸性证明不等式.27例例3.21:01,.1xxxex 证证明明 当当时时证证:只要证只要证2(1)10(01)xx exx 2()(01)1()1,xxf xx ex 设设(0)0f 则则2()(12)1,xfxx e(0)0f 2()40(01)xfxxex ()0,1fx 在在上上单单调调减减，01,()(0)0 xfxf 当当时时01,()(0)0 xf xf 当当时时()0,1f x在在上上单单调调减减，证毕证毕28例例3.21:01,.1xxxex 证证明明 当当时时另证另证:只要证只要证2(1)10(01)xx exx 2()(01)1()1,xxf xx ex 设设(0)0f 则则2()(12)1,xfxx e(0)0f 2()40(01)xfxxex 利用一阶泰勒公式利用一阶泰勒公式,得得2()()(0)(0)2!ff xffxx 2220(01)exx 故原不等式成立故原不等式成立.29例例4.设设(0)0,f 且在且在0,)上上()fx 存在存在,且单调且单调递减递减,证明对一切证明对一切0,0ab 有有()()()f abf af b 分析：分析：对数值不等式，应化为函数不等式对数值不等式，应化为函数不等式.证证:设设()()()(0(),xf axf af xx ,则则(0)0 ()()()xfaxfx 0(0)x所以当所以当0 x 时时，()x(0)0 令令,xb 得得()()()()0bf abf af b 即所证不等式成立即所证不等式成立.30例例5.ee 证证明明 证明证明:ln,e 分分析析：先先恒恒等等变变形形：取取对对 数数得得()ln,f xxex 设设0,x ()1efxx 0,xe 得得驻驻点点2()efxx 又又，1()fee 0,(),f xxe 在在处处取取得得极极小小值值()f x又又可可导导且且只只有有唯唯一一驻驻点点，()f x的的极极小小值值就就是是最最小小值值，0,()()xxef xf e对对一一切切，有有()()0ff e ，ln 0,e .ee 即即xe 31例例1.证明证明1()(1)(0,).xf xx 在在上上单单调调递递增增证证:令令在在 x,x+1 上利用拉氏中值定理上利用拉氏中值定理,故当故当 x 0 时时,得得题型题型2.求单调区间及极值求单调区间及极值,求凹凸区间及拐点求凹凸区间及拐点,求最值求最值.1ln()ln(1)f xxx ln(1)lnxxx11()(1)ln(1)ln1xfxxxxx ()ln,F tt 1ln(1)ln(01)xxxx 11x ()0,fx ()(0,).f x 从从而而在在上上单单调调递递增增32例例2.22(),2xxxe ()0,x 令令0,x 得得驻驻点点()0,x 令令1,1.xx 得得22(1)(1)().2xxxxe 求函数求函数221()2xxe 的极值与拐点的极值与拐点.解解:定义区间为定义区间为(,),列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:x)1,(),1()0,1(1)1,0()x ()x 00()x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21,1(e 0拐点拐点)21,1(e 3333(112,11)11331.(),1133()().xttyy xyttyy xyy x 年年数数分分 设设函函数数由由参参数数方方程程确确定定 求求的的极极值值和和曲曲线线的的凹凹凸凸区区间间练练：及及拐拐点点习习511(1)1,(),(,),33311 1(,),(,)33 3yy 极极大大极极小小凹凹区区间间为为凸凸区区间间为为拐拐点点为为342.设设()yf x 是方程是方程240yyy 的一个解的一个解,0()0,f x 若若0()0,fx 且且则则0()()f xx在在(A)取得极大值取得极大值;(B)取得极小值取得极小值;(C)在某邻域内单调增加在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少在某邻域内单调减少.提示提示:(),f x将将代代入入方方程程00()4()0fxf x A0,xx 令令得得3.设设2()()lim1,()xaf xf axa 则在点则在点 a 处处().()()()0A f xfa 的的导导数数存存在在且且；B()()Bf x 取取得得极极大大值值；()()Cf x 取取得得极极小小值值；()().D f x 的的导导数数不不存存在在35 3,12,4x (1,2)x 例例3.2()32 3,4f xxx 求求在在区区间间上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解:显然显然()3,4,f xC ()f x 即即232,xx 232,xx ()fx 所所以以23x 23x()3,4f x 在在(3)20,f(1)0,f 31(),24f(2)0,f(4)6f 故函数在故函数在1,2xx 取最小值取最小值 0;在在3x 取最大值取最大值 20.(3,1)(2,4)x (1,2)x 231,2xx内驻点为内驻点为 不可导点为不可导点为13,2x ()12f xxx 说明说明:2()()xfx ()f x与与最值点相同最值点相同,因此也因此也由于由于()x 令令可通过可通过()x 求最值点求最值点.36 3,12,4x (1,2)x 例例3.2()32 3,4f xxx求求在在区区间间上的上的拐点拐点.解解:显然显然()3,4,f xC ()f x 即即232,xx 232,xx ()fx 所所以以23x 23x(3,1)(2,4)x (1,2)x()fx 22(3,1)(2,4)x (1,2)x 思考：思考：为为 的极值点时，的极值点时，会不会是会不会是0 x()yf x 00,()xf x()yf x 拐点？拐点？()3,4f x 在在1,2(),xxf x 在在的的两两侧侧的的二二阶阶导导数数变变号号()f x的的拐拐点点为为：121,2xx 内二阶不可导点为：内二阶不可导点为：(1,0)(2,0)()12f xxx 37xoy2()32f xxx ()12f xxx 2()32f xxx 思考：思考：为为 的极值点时，的极值点时，会不会是会不会是0 x()yf x 00,()xf x()yf x 拐点？拐点？结论：结论：为为 的极值点时，的极值点时，可能是曲线可能是曲线0 x()yf x 00,()xf x()yf x 拐点？拐点？121238例例4.求数列求数列 nn的最大项的最大项.证证:1()(1),xf xxx 设设求导得求导得12()(1 ln)xfxxx ，11ln(),xxxf xxe1ln1()(ln)xxfxexx 1ln2211(ln)xxexxx1ln2(1ln)xxexx()0fx 令令x e 列表判别列表判别:x()fx()f x(1,)ee(,)e 01ee,x e 因此在因此在处处()f x也取最大值也取最大值.又因又因x e 23,e 33.nn故故为为数数列列中中的的最最大大项项内只有唯一的极大点内只有唯一的极大点()1,)f x 因因为为在在(22)f 且且有有68 69 33,(3)f 39试问试问 为何值时为何值时,a1()sinsin33f xxxa23x 在在时取得极值时取得极值,解解:()fx 由题意应有由题意应有2()3f 2a 又又()fx 2()3f 则则()f x取得极大值为取得极大值为23()3f 例例5.coscos3,axx 22cos()cos3()33a 0 2sin3sin3xx0 求出该极值求出该极值,并指出它是极大还是极小并指出它是极大还是极小.练习：练习：32331yxaxbxcx 设设函函数数在在处处取取得得(0,3),.a b c极极大大值值,且且是是曲曲线线的的拐拐点点,求求提示：提示：2363,yxaxb 66,yxa 由由题题意意0,1,3.abc (0)3yc ，(0)60ya (1)3630yab 40例例6.220808yxyxyxyx 由由直直线线，及及抛抛物物线线围围成成一一个个曲曲边边三三角角形形，在在曲曲边边上上求求一一点点，使使曲曲线线在在该该点点处处的的切切线线与与直直线线及及所所围围成成的的三三角角形形面面积积最最大大xyoPABC解：解：如图如图,),(00yxP设设所所求求切切点点为为PT则则切切线线为为:0002(),yyx xx ,200 xy 01(,0),2Ax200(8,16)Bxx(8,0),C)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x2001(36416 16)04Sxx 令令0016,16().3xx 舍舍去去8)316(s0.274096)316(为极大值为极大值 s16 256()3.9故故，所所求求点点为为 注：注：对于实际问题，对于实际问题，值一定存在，值一定存在，那么可以那么可以不必讨论是否为极值，不必讨论是否为极值，就可断定该点就是就可断定该点就是若在一定区间内有若在一定区间内有唯一驻点唯一驻点,且知且知最大最大(小小)而且一定在定义区间而且一定在定义区间内部内部取得，取得，最大最大(小小)值点值点.T41234(111)(1)(2)(31)(4)().yxxxx 年年数数曲曲线线的的拐拐点点是是()(1,0),()(2,0),()(3,0),()(4,0).ABCDC(112)()=ln(1)(2)(3)(2).f xxxx 年年数数函函数数的的驻驻点点个个数数为为()0,()1,()2,()3.ABCDC32(10)1(1,0),3 .yxaxbxb 年年研研 若若曲曲线线有有拐拐点点则则32221(10)()()d4.xtf xxt et 年年研研 求求函函数数的的单单调调区区间间及及极极值值.几个考研真题：几个考研真题：42例例1.证明方程证明方程5510 xx 5()51,f xxx (0)1,(1)3.ff 0()0,f x 有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的正实根的正实根.证证:1)存在性存在性.则则()f x在在 0,1 连续连续,且且由介值定理知存在由介值定理知存在0(0,1),x 使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根0.x2)唯一性唯一性.设设44()555(1)0,(0,1)fxxxx ()0(0,1)f x 在在内之多有一个实根内之多有一个实根.所以方程有且仅有一个小于所以方程有且仅有一个小于 1 的正根的正根.定理：单调函数在其单调区间内最多有一个零点定理：单调函数在其单调区间内最多有一个零点.题型题型3.讨论方程根的个数讨论方程根的个数.思考：如何讨论方程思考：如何讨论方程 有几个实根？有几个实根？()0f x 43试确定试确定 的根的个数，并指出根的范围的根的个数，并指出根的范围2xeax 例例2.解：解：做恒等变形（分离常数）做恒等变形（分离常数）21xx ea 令令21()xf xx ea()(2)xfxxx e 得驻点：得驻点：0,2xx有三个单调区间有三个单调区间(,0),(0,2),(2,)1lim(),(0)0,xf xfa 211(2)4,lim()0.xfef xaa 讨论：讨论：(2)0f 时有三个根在时有三个根在(,0),(0,2),(2,)(2)0f 时有两个根在时有两个根在(,0)2x 和和(2)0f 时有一个根在时有一个根在(,0).02x 0a 由由已已知知44arcta(111,10n)0kxxk 求求方方程程不不同同实实根根的的个个数数,其其中中练练习习：年年数数分分为为常常数数.(113,10)44arctan303xx 年年数数分分证证明明方方程程恰恰有有练练习习:两两个个实实根根.()arctanf xkxx 提提示示：设设，(0)0()(,)ff x 则则且且在在上上是是奇奇函函数数，221(),1kxfxx (1)10k 时时,()00;f xx方方程程只只有有一一个个实实根根(2)10k 时时,()00;f xxx 方方程程有有三三个个实实根根：(1,)k 451)水平渐近线水平渐近线:lim(),xxxf xbyb 若若则则为为水水平平渐渐近近线线；lim(),xaxaxaxaf x 若若则则为为垂垂直直渐渐近近线线；2)垂直渐近线垂直渐近线:()lim,lim()xxxxxxf xkbf xkxx 若若，ykxb 则则直直线线为为它它的的斜斜渐渐近近线线.3)斜渐近线斜渐近线:题型题型4.求曲线的渐近线求曲线的渐近线46斜斜渐渐近近线线:()lim()()0 xykxbyf xf xxdkb 是是的的渐渐近近线线()lim()0 xf xbxkxx()lim()0 xf xbkxx ()limxf xkx lim()()lim()0 xxf xkfxxbbxk ()lim()0 xf xkx 00lim()()()lim()0 xxxxf xAf xAxx ，其其中中()0(lim0)xf xkx ()(lim0)xf xkx 47例例1.解解:11:(,)(,).22D 12)(2 xxxf求求的渐近线的渐近线.,1;2x )(lim21xfx所以有铅直渐近线所以有铅直渐近线 12lim)(limxxxxfxx 12lim221xxx,21且且 212lim2xxxx,41则有斜渐近线则有斜渐近线11.24yx ,12lim2 xxx所以它没有水平渐近线所以它没有水平渐近线;22(21)lim2 21)xxxxx （481.曲线曲线221()1xxeye (A)没有渐近线；没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:221lim1;1xxxee 2201lim1xxxee D21xye 的渐近线的渐近线 .1y 2.曲线曲线3.曲线曲线1ln(1)xyex的渐近线的渐近线 .0,0,xyyx 练习：练习：4.曲线曲线sin xyx 的渐近线的渐近线 .0y 49单调增区间为单调增区间为 ;的连续性及导函数的连续性及导函数(1)设函数设函数()(,)f x 在在上上连连续续，()f x则则的的其导数图形如图所示其导数图形如图所示,单调减区间为单调减区间为 ;极小值点为极小值点为 ;极大值点为极大值点为 .12(,),(0,)xx12(,0),(,)xx 12,xx0 x 提示提示:()f x根根据据的正负作的正负作 f(x)的示意图的示意图.)(xf O2x1xyxOx)(xf1x2x题型题型5.与曲线的图形有关的问题与曲线的图形有关的问题50O)(xfx .在区间在区间 上是凸弧上是凸弧;拐点为拐点为 12(,),(0,)xx1122(,(),(,(),(0,(0)xf xxf xf提示提示:()()f xfx 根根据据的的可可导导性性及及的正负作的正负作 f(x)的示意图的示意图.形在区间形在区间 上是凹弧上是凹弧;则函数则函数 f(x)的图的图(2)设函数设函数()(,)f x 在在上上可可导导，的图形如图所示的图形如图所示,12(,0),(,)xx )(xf O2x1xyx2x()fx 1x51(3)设函数设函数 在在 内连续，其导函数的图形如内连续，其导函数的图形如图所示，则图所示，则 有有()一个极小值点和两个极大值点一个极小值点和两个极大值点.两个极小值点和一个极大值点两个极小值点和一个极大值点.两个极小值点和两个极大值点两个极小值点和两个极大值点.(A)三个极小值点和一个极大值点三个极小值点和一个极大值点.(,)()f x()f xxyo()fx C谢谢 谢谢 大大 家！再见家！再见2003数一、数二研数一、数二研
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