lei2多元函数的极值及其求法

返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-21第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 第七章第七章(Absolute maximum and minimum values)一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法三、小结与思考练习三、小结与思考练习返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-22xyz一、一、多元函数的极值及最大值、最小值多元函数的极值及最大值、最小值 定义定义 若函数若函数则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).例如例如:在点在点(0,0)有极小值有极小值;在点在点(0,0)有极大值有极大值;在点在点(0,0)无极值无极值.极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22zxy yxz),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有的某邻域内有xyzxyz返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-23说明说明:使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为的点称为驻点驻点.例如例如,函数函数偏导数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值取得极值,取得极值取得极值取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点.有驻点有驻点(0,0),但在该点不取极值但在该点不取极值.且在该点取得极值且在该点取得极值,则有则有),(),(00yxyxfz在点存在存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故故在),(0yxfz 0yy yxz 定理定理1(必要条件必要条件)返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-24时时,具有极值具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且且令令则则:1)当当A0 时取极小值时取极小值.2)当当3)当当这个定理不加证明这个定理不加证明.时时,没有极值没有极值.时时,不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.若函数若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC定理定理2(充分条件充分条件)返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-25,0),(yxfx0),(yxfy返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-26例例1.1.求函数求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0)处处为极小值为极小值;解方程组解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值的极值.求二阶偏导数求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0,1(f,0Axyxyxyxf933),(2233返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-27在点在点(3,0)处处不是极值不是极值;在点在点(3,2)处处为极大值为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3(f6,0,12CBA31)2,3(f,0)6(122 BAC,0A在点在点(1,2)处处不是极值不是极值;6,0,12CBA)2,1(f,0)6(122 BACABC返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-28例例2.讨论函数讨论函数及是否取得极值是否取得极值.解解:显然显然(0,0)都是它们的驻点都是它们的驻点,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值,因此因此 z(0,0)不是极值不是极值.因此因此,022时当 yx222)(yxz0)0,0(z为极小值为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点在点(0,0)并且在并且在(0,0)都有都有 02BAC33yxz可能为可能为0)()0,0()0,0(222yxz返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-29二、最值应用问题二、最值应用问题函数函数f在闭域上连续在闭域上连续函数函数f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在当区域内部最值存在,且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时,)(Pf为极小为极小 值值)(Pf为最小为最小 值值(大大)(大大)依据依据返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-210提示提示:首先考察函数首先考察函数z在三角形区域在三角形区域D内的极值内的极值其次，考察函数在三角形区域的边界上的最大值和其次，考察函数在三角形区域的边界上的最大值和最小值最小值.返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-211首先考察函数首先考察函数Z在三角形区域在三角形区域D内的极值内的极值.令令 2(,)(832)0,(,)(42)0.xyfx yxyxyfx yxxy解此方程组，得到解此方程组，得到D内的驻点为内的驻点为(2,1).解解:令令2(,)(4)zf x yx yxy(2,1)4zf返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-212其次，考察函数在区域其次，考察函数在区域D的边界上的最大值和最小值的边界上的最大值和最小值.（1）在）在x=0上上,z=0;（2）在）在y=0上上,z=0;22(6)(46)2(6)zxxxxxx（3）在）在x+y=6上上,6(4)0dzx xdx令解得驻点解得驻点x=0和和x=4 00;xz当时，464;xz 当时，60;xz当时，比较得最大值为比较得最大值为4，最小值为，最小值为64.返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-213把它折起来做成把它折起来做成解解:设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm,则断面面积则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin)xsincossin2sin2422xxxx224x积最大积最大.)0,120:(2 xD为为问怎样折法才能使断面面问怎样折法才能使断面面例例4 有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板的长方形铁板,返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-214cos24xcos22x0)sin(cos222x令令xAsin24sin4x0cossin2xA解得解得:由题意知由题意知,最大值在定义域最大值在定义域D 内达到内达到,而在域而在域D 内只有内只有一个驻点一个驻点,故此点即为所求故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-215二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:条件极值的求法条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如,转化转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz)(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-216例例 ,(0),?a a 设长方形的长 宽之和等于试问长方形的长 宽如何才能使面积积最大解解2 ()2,.,2.,().222aA xaxxaaaxxyA 由得驻点由于为实际问题最大值存在为最大值点当时长方形面积最大为,.xyAxyxya设长方形的长为 宽为求目标函数在条件之下的最大值,(),.xyayaxAx ax从约束条件中容易解出代入目标函数问题归结为求一元函数的极值返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-217,0),(下在条件yx如方法如方法 1 所述所述,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设设 记记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx,)(xy)(,(xxfz例如例如,故故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有故有方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-218引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日(Lagrange)函数函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格利用拉格极值点必满足极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-219拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形个约束条件的情形.设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件),(zyxfu,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F20F推广推广返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-220例例5 要设计一个容积为要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱的长方形无盖水箱,试试 问长、宽、高各等于多少时问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到可使得表面积达到 最小最小?若设长、宽、高各等于若设长、宽、高各等于 x,y,z,则则 2();Sz xyxy 目标函数目标函数:.xyzV 约束条件约束条件:xyz返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-221例例5 解解 此例以往的解法是从条件式解出显函数此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如例如 代入目标函数后代入目标函数后,转而求解转而求解 ,Vzxy 2()VSxyxyxy的普通极值问题的普通极值问题.可是这样做并不总是方便的可是这样做并不总是方便的,而而 且往往无法将条件式作显化处理且往往无法将条件式作显化处理,更不用说多个条更不用说多个条 件式的情形了件式的情形了.现在的新办法是设辅助函数现在的新办法是设辅助函数2()(),LxzyzxyxyzV 并求解以下方程组并求解以下方程组:20,20,2()0,0.xyzLzyyzLzxxzLxyxyLxyzV 返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-2222,2,2().xzxyxyzyzxyxyzz xyxyz 33322,.22VxVxVy z 两两相减后立即得出两两相减后立即得出 再代入第四式再代入第四式,2,xyz便求得便求得 为消去为消去 ,将前三式分别乘以将前三式分别乘以 x,y,z,则得则得 20,20,2()0,0.xyzLzyyzLzxxzLxyxyLxyzV 返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-223得唯一得唯一稳稳定点定点,223Vzyx 324V 由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此,当高为当高为,43V思考思考:1)当水箱封闭时当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?提示提示:利用对称性可知利用对称性可知,3Vzyx 2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价欲使造价最省最省,应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何?提示提示:2()2()LxzyzxyxyzV长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等.返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-224解解 12 0 020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 则则 )4(,12)3(,)2(,2)1(,323322zyxyxyzxzyx 由由(1)，(2)得得2,(5)3yx由由(1)，(3)得得1,(6)3zx返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-22532max6426912.u将将(5)，(6)代入代入(4)：123132 xxx于是，得于是，得,6 x,4 y.2 z这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值故，最大值返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-226例例6 解解 这里有两个条件式这里有两个条件式,需要引入两个拉格朗需要引入两个拉格朗 日常数日常数;而且为了方便计算而且为了方便计算,把目标函数改取距离把目标函数改取距离 222;uxyz 目标函数目标函数:22,1.zxyxyz 约束条件约束条件:的平方的平方(这是等价的这是等价的),即设即设 22222()(1).Lxyzxyzxyz 返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-22722222()(1).Lxyzxyzxyz 22220,220,2()20,2()2.0,10.xyzLxxLyyxxLzyyzLxyzLxyz 求解以下方程组求解以下方程组:由此又得由此又得 再代入条件再代入条件(1)()0.xyxy 式式,继而求得继而求得:(这里这里 否则将无解否则将无解)1,2222210,12zxxxzx 返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-2281(12 33)44 3395 3,21(12 33)44 3395 3.2 故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分 别为别为 minmax95 3,95 3.dd 13,21(13)23.xyz 最后得到最后得到 222222(13)(23)4xyz 返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-229注意注意:应用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，应用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，产生的方程组变量个数可能比较多，似乎解这产生的方程组变量个数可能比较多，似乎解这个方程组往往是很困难，但注意我们可以利用个方程组往往是很困难，但注意我们可以利用变量之间的关系变量之间的关系(也就是问题给出的条件也就是问题给出的条件)，找，找到解方程组的简便方法，而不是要用死板的方到解方程组的简便方法，而不是要用死板的方法去解方程组法去解方程组.返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-230内容小结内容小结1.函数的极值问题函数的极值问题第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法简单问题用代入法,),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法一般问题用拉格朗日乘数法返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-231设拉格朗日函数设拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数下的极值下的极值,解方程组解方程组在条件在条件求驻点求驻点.),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F3.函数的最值问题函数的最值问题第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数,确定定义域确定定义域(及约束条件及约束条件)返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-232作业作业习习 题题 7-8 P116 2;8返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-233已知平面上两定点已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆试在椭圆圆周上求一点圆周上求一点 C,使使ABC 面积面积 S最大最大.思考练习思考练习)0,0(14922yxyxCBAoyxED解答提示解答提示:设设 C 点坐标为点坐标为(x,y),21则则 ACABS21031013yxkji)103,0,0(21yx10321yx返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-234设拉格朗日函数设拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点对应面积对应面积而而比较可知比较可知,点点 C 与与 E 重合时重合时,三角形三角形面积最大面积最大.)491()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646.1S,54,53yx,5.3,2CDSS点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-235备备用题用题 1.求求半径半径为为R 的圆的内的圆的内接接三角形中面积最大三角形中面积最大者者.解解:设内设内接接三角形三角形各各边所对的圆边所对的圆心心角为角为 x,y,z,则则,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2211xRS,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx设设拉格朗日拉格朗日函数函数)2(sinsinsinzyxzyxF解方程组解方程组0cosx,得得32zyx故圆内故圆内接接正三角形面积最大正三角形面积最大,最大面积为最大面积为 32sin322maxRS0cosy0cosz02zyx23 3.4R 返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-236为边的面积最大的为边的面积最大的四四边形边形,试试列出列出其目标函数和约束条件其目标函数和约束条件?提示提示:sin21sin21dcbaS)0,0(目标函数目标函数:cos2cos22222dcdcbaba约束条件约束条件:dcba,abcd答答案案:,即即四四边形内边形内接接于圆时面积最大于圆时面积最大.2.求平面上以求平面上以