概率统计复习

概率统计是研究什么的？客观世界中发生的现象客观世界中发生的现象 确定性的确定性的在一定条件下必然发生的现象在一定条件下必然发生的现象1)1)抛出物体会下落。抛出物体会下落。2)2)充满气的气球受到挤压会破。充满气的气球受到挤压会破。随机性的随机性的在一定条件下，具有多种可能在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果的结果，但事先又不能预知确切的结果1)1)拋掷一枚硬币，其结果可能是国徽面朝上，也可能是国徽面拋掷一枚硬币，其结果可能是国徽面朝上，也可能是国徽面朝下。朝下。2)2)足球比赛，其结果可能是胜、平、负。足球比赛，其结果可能是胜、平、负。3)3)投掷一个骰子，其结果有投掷一个骰子，其结果有6 6种，即可能出现种，即可能出现1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6点。点。4)4)股市的变化。股市的变化。5)5)人的寿命。人的寿命。经典的数学理论如微积分学、微分方程等经典的数学理论如微积分学、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具。都是研究确定性现象的有力的数学工具。对于某些随机现象，虽然对个别试验来说，对于某些随机现象，虽然对个别试验来说，无法预言其结果，但在相同的条件下，进行大无法预言其结果，但在相同的条件下，进行大量的重复试验或观察时，却又呈现出某些规律量的重复试验或观察时，却又呈现出某些规律性（如拋掷硬币）。性（如拋掷硬币）。随着社会生产与科学技术的发展，研究随随着社会生产与科学技术的发展，研究随机现象的统计规律性的理论和方法获得了迅速机现象的统计规律性的理论和方法获得了迅速的发展，形成了数学的一个重要分支，并被广的发展，形成了数学的一个重要分支，并被广泛应用于工业、农业、军事、科技、经济等领泛应用于工业、农业、军事、科技、经济等领域。域。概率统计概率统计研究和揭示随机现象统研究和揭示随机现象统计规律性的学科计规律性的学科 应用范围广泛。例如：应用范围广泛。例如：气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、保险、金融等各领域。保险、金融等各领域。经典数学与概率论与数理统计是相辅经典数学与概率论与数理统计是相辅相成，互相渗透的。相成，互相渗透的。第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 随机事件及其运算随机事件及其运算 频率与概率频率与概率1.1随机试验、样本空间、随机事件随机试验、样本空间、随机事件一、随机试验（简称一、随机试验（简称“试验试验”）随机试验的特点随机试验的特点(1)(1)试验可以在相同条件下重复进行；试验可以在相同条件下重复进行；(2)(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验所有可能的结果；以知道试验所有可能的结果；(3)(3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果果;满足上述特点的试验称为随机试验，一般记为满足上述特点的试验称为随机试验，一般记为E。E1：拋掷一枚质地均匀的硬币拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出观察正面和反面出现的情况；现的情况；E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数；记录某网站一分钟内受到的点击次数；E4：在某高楼上任意掷下一朵玫瑰花，观察其在地在某高楼上任意掷下一朵玫瑰花，观察其在地面上的位置；面上的位置；E5：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。命。随机试验的例子随机试验二、样本空间二、样本空间 1、样本空间：、样本空间：由随机试验的一切可能的结果由随机试验的一切可能的结果组成的一个集合组成的一个集合称为试验称为试验E样本空间，记为样本空间，记为S或或；2、样本点：样本点：试验的每一个可能的结果试验的每一个可能的结果（或样或样本空间的元素）称为一个样本点，记为本空间的元素）称为一个样本点，记为e。幻灯片9三、随机事件三、随机事件例例1.11.1 将一颗骰子连掷两次，依次记录所将一颗骰子连掷两次，依次记录所得点数，则所有可能出现的结果即该试得点数，则所有可能出现的结果即该试验的样本空间是：验的样本空间是：(1,1)(1,2)(1,6)(2,1)(2,2)(2,6)(6,1)(6,2)(6,6)Snnnnnnn其中有其中有3636个可能的结果，即个可能的结果，即3636个样本点。个样本点。每做一次试验，这每做一次试验，这3636个样本点必有一个且仅有一个个样本点必有一个且仅有一个出现。在很多时候，我们是对样本空间中某些子集出现。在很多时候，我们是对样本空间中某些子集感兴趣，称之为事件。感兴趣，称之为事件。如事件如事件A：两次投掷所得点数之和为两次投掷所得点数之和为8 8。事件事件B：两次投掷所得点数相等。两次投掷所得点数相等。A发生发生(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)记作：记作：A=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，A是是S的子集。的子集。类似地，类似地，B=(1,1),(2,2),=(1,1),(2,2),(6,6),(6,6)，B也是也是S的子的子集。集。1、随机事件、随机事件随机试验随机试验E的样本空间的样本空间S的子集为的子集为E的随机的随机事件，简称事件。通常用大写字母事件，简称事件。通常用大写字母A、B、C表示表示。任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称称事件事件A发生发生当且仅当试验的结果是子集当且仅当试验的结果是子集A中的元素。中的元素。特殊地，当一个事件仅包含特殊地，当一个事件仅包含S的一个样本点时，称该事件的一个样本点时，称该事件为基本事件为基本事件(或简单事件或简单事件)。2、两个特殊事件、两个特殊事件 必然事件必然事件S S包含所有的样本点，是包含所有的样本点，是S自身的子集，自身的子集，每次试验它总是发生的，称为必然事件。每次试验它总是发生的，称为必然事件。不可能事件不可能事件 空集空集不包含任何样本点，它是不包含任何样本点，它是S的的子集，每次试验总是不发生，称为不可能事件。子集，每次试验总是不发生，称为不可能事件。1.事件的包含与相等事件的包含与相等“A发生必导致B发生”，即A中的样本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。A与B两个事件相等：AB AB且BA。例例1.21.2四、事件之间的关系四、事件之间的关系ABAB2n个事件个事件A1,A2,An至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作iniA12”可列个事件可列个事件A1,A2,An 至少有一个发生，记至少有一个发生，记作作inA13.积事件积事件:A与与B同时发生，记作同时发生，记作 ABAB3n个事件个事件A1,A2,An同时发生，记作同时发生，记作nniiAAAA2113”可列个事件可列个事件A1,A2,An,同时发生，记作同时发生，记作nniAAAA2114.差事件差事件：AB称为称为A与与B的差事件的差事件,表示事件表示事件A发生而发生而B不发生，不发生，它是由属于它是由属于A而不属于而不属于B的样本点所构成的事件。的样本点所构成的事件。5.互互斥的事件斥的事件：AB=,指事件指事件A与与B不能同时发生。不能同时发生。又称又称A与与B互不相容。互不相容。基本事件是基本事件是两两互不相容的两两互不相容的6.互逆的互逆的事件事件 AB ,且且AB ;BAAABAB记作，称为 的补事件 易见A与与B互逆：互逆：事件事件A与与B既不能同既不能同时发生，又不能同时时发生，又不能同时不发生。即在每次试不发生。即在每次试验中，验中，A与与B有且仅有且仅有一个发生。有一个发生。五、事件的运算五、事件的运算1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2、结合律结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶对偶(De Morgan)律律：.,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广1.2 频率与概率频率与概率 一、频率一、频率定义定义1.1.设在相同的条件下，进行了设在相同的条件下，进行了n次试验。次试验。若随机事件若随机事件A在这在这n次试验中发生了次试验中发生了nA次次,则比值则比值nnA称为事件称为事件A在这在这n次试验中发生的频率，次试验中发生的频率，记作记作fn(A)，即即fn(A)=nnA实践证明：当试验次数实践证明：当试验次数n增大时，增大时，随机事随机事件件A的频率的频率fn(A)逐渐趋向一个稳定值逐渐趋向一个稳定值。这是随机现象固有的性质，即频率的稳这是随机现象固有的性质，即频率的稳定性，也就是我们所说的随机现象的统定性，也就是我们所说的随机现象的统计规律性。计规律性。二、概率二、概率从直观上来看，事件从直观上来看，事件A A的概率是指事件的概率是指事件A A发发生的可能性生的可能性1、概率的统计定义、概率的统计定义设随机事件设随机事件A在在n次重复试验中发生的次数为次重复试验中发生的次数为nA，若当试验次数若当试验次数n很大时，频率很大时，频率nA/n稳定地在某稳定地在某一数值一数值p的附近摆动，且随着试验次数的附近摆动，且随着试验次数n的增加，的增加，其摆动的幅度越来越小，则称数其摆动的幅度越来越小，则称数p为随机事件为随机事件A的概率，记为的概率，记为P(A)=p。由定义，显然有由定义，显然有00P(A)1,)1,P(S)=1，P()=0。设设E是随机试验，是随机试验，S是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于E的每一个的每一个事件事件A，赋予一个实数赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合与之对应，如果集合函数函数P()具有如下性质：具有如下性质：非负性：对任意一个事件非负性：对任意一个事件A，均有均有P(A)0；规范性：规范性：P(S)=1；可列可加性：若可列可加性：若A1，A2，An，是两两互不相是两两互不相容的事件序列，即容的事件序列，即AiAj=(ij,i,j=1,2,)，有有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)+则称则称P(A)为事件为事件A的概率。的概率。2、概率的公理化定义、概率的公理化定义3、概率的性质、概率的性质 不可能事件的概率为零，即不可能事件的概率为零，即P()=0；概率具有概率具有，即若事件即若事件A1，A2，An两两互不两两互不相容，则必有相容，则必有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)设设A，B是两个事件，则是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)特别地，若特别地，若A B，则则AB=B，有有P(A-B)=P(A)-P(B)，且且P(A)P(B)，此性质称为此性质称为。)(1)(APAP对任一事件对任一事件A，有有对任意两个事件对任意两个事件A，B，有有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)可推广可推广(P.13)P.13)。对任意两事件对任意两事件A，B，有有)()()(BAPABPAP第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量随机变量 离散型随机变量离散型随机变量 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 连续型随机变量连续型随机变量 利用随机事件来表示随机试验的各种可能结果，这种表示利用随机事件来表示随机试验的各种可能结果，这种表示方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用都有方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限。下面，我们将用实数来表示随机试验的各种结果，较大的局限。下面，我们将用实数来表示随机试验的各种结果，即引入随机变量的概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验即引入随机变量的概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性，而且可使我们用（数学分析）微积的客观存在的统计规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法来讨论随机试验。分的方法来讨论随机试验。在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来，在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来，即建立对应关系即建立对应关系X，使其对试验的每个结果使其对试验的每个结果e，都有一个实数都有一个实数X(e)与之对应，与之对应，试验的结果试验的结果e实数实数X(e)对应关系对应关系X 则则X的取值随着试验的重复而不同，的取值随着试验的重复而不同，X是一个变量，且在是一个变量，且在每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是一个是一个随机取值的变量。由此，我们很自然地称随机取值的变量。由此，我们很自然地称X为随机变量。为随机变量。关于随机变量关于随机变量(及向量及向量)的研究，是概率论的的研究，是概率论的中心内容中心内容对于一个随机试验，我们所关心的往往是与对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量这些量就是随机变量随机事件是从静态的观点来研究随机现象，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点而随机变量则是一种动态的观点2.12.1随机变量的概念随机变量的概念定义定义2.1 2.1 设设E是一个随机试验，是一个随机试验，S=e 是试验是试验E的样的样本空间，如果对于本空间，如果对于S中的每一个样本点中的每一个样本点e，有一实有一实数数X(e)与之对应，这个定义在与之对应，这个定义在S上的实值函数上的实值函数X(e)就称为就称为随机变量随机变量。由定义可知，随机变量由定义可知，随机变量X(e)是以样本空间是以样本空间S为定为定义域的一个单值实值函数。义域的一个单值实值函数。有关随机变量定义的几点说明：有关随机变量定义的几点说明：(1)随机变量随机变量X是样本点是样本点e的函数，的函数，常用大写字母常用大写字母X、Y、Z 或小写希腊字母或小写希腊字母、等表示等表示。(2)随机变量随机变量X随着试验结果而取不同的值，因而在试验随着试验结果而取不同的值，因而在试验结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预知它取什么值，对任意实数区间知它取什么值，对任意实数区间(a,b)，“aXb”的的概率是确定的；概率是确定的；(3)(3)随机变量随机变量X(e)的值域即为其一切可能取值的全体构的值域即为其一切可能取值的全体构成的集合；成的集合；(4)(4)引入随机变量后，就可以用随机变量描述事件，而引入随机变量后，就可以用随机变量描述事件，而且事件的讨论，可以纳入随机变量的讨论中。且事件的讨论，可以纳入随机变量的讨论中。离 散 型连 续 型混 合 型随机变量的分类随机变量的分类：随机变量随机变量2.2 2.2 离散型随机变量离散型随机变量 一、一、离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律1 1、离散型随机变量的概念、离散型随机变量的概念 若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为可列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变离散型随机变量量。讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知的统计规律必须且只须知道道X的所有可能取值以及的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。取每一个可能值的概率。2 2、分布律、分布律 设离散型随机变量设离散型随机变量X，其所有可能其所有可能取值为取值为x1,x2,xk,且取这些值的概率依次为且取这些值的概率依次为p1,p2,pk,即即则称则称P(X=xk)=pk(k=1,2,)为随机变量为随机变量X 的概率分布的概率分布律（律（列列），简称，简称分布分布律律。分布分布律律可用表格形式表示为：可用表格形式表示为：11)(kkkkpxXP1 1P(X=xk)=pk,(k=1,2,)而且满足而且满足（1 1）P(X=xk)=pk0，(k=1,2,)（2）Xx1x2x3xkPp1p2p3pk二、二、几个常用的离散型随机变量的概率分布律几个常用的离散型随机变量的概率分布律1、(0-1)分布分布 若随机变量若随机变量X的分布律为：的分布律为：P(X=k)=pk(1-p)1-k，k=0，1，(0p1)则称则称X服从以服从以p为参数的为参数的0-1分布，记为分布，记为XB(1,p)。0-1分布的分布律也可写成分布的分布律也可写成X1 10 0Pp1-1-p即随机变量只可能取即随机变量只可能取0 0，1 1两个值，且取两个值，且取1 1的概率为的概率为p，取取0 0的概率为的概率为1-1-p(0p00是常数，则称是常数，则称X服从参数为服从参数为 的泊松分的泊松分布，记为布，记为XP()。,2,1,0,!)(kekkXPk4、几何分布几何分布 设随机变量设随机变量X的可能取值是的可能取值是1,2,3,1,2,3,且且P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3，,其中其中0p1是参数，则称随机变量是参数，则称随机变量X服从参数服从参数p为的几何分布。为的几何分布。几何分布背景：几何分布背景：随机试验的可能结果只有随机试验的可能结果只有2 2种，种，A与与试验进行到试验进行到A发生为止的概率发生为止的概率P(X=k)，即即k次次试验，前试验，前k-1次失败，第次失败，第k次成功。次成功。A2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 离散型随机变量，我们可用分布律来完整地描离散型随机变量，我们可用分布律来完整地描述。而对于非离散型随机变量，由于其取值不可能述。而对于非离散型随机变量，由于其取值不可能一个一个列举出来，而且它们取某个值的概率可能一个一个列举出来，而且它们取某个值的概率可能是零。例如：灯泡的寿命是零。例如：灯泡的寿命 由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概率来表示，因此我们往往关心随机变量某个值的概率来表示，因此我们往往关心随机变量X取值落在某区间取值落在某区间(a,b 上的概率上的概率(ab)。由于由于 a xb=xb-xa,(,(ab)，因此对因此对任意任意xR，只要知道事件只要知道事件 Xx 发生的概率，则发生的概率，则X落在落在(a,b 的概率就立刻可得。因此我们用的概率就立刻可得。因此我们用P(Xx)来讨论随机变量来讨论随机变量X的概率分布情况。的概率分布情况。P(Xx)：“随随机变量机变量X取值不超过取值不超过x的概率的概率”。定义定义 设设X是一是一随机变量，随机变量，X是任意实数是任意实数，则，则实值实值函数函数F(x)P X x，x(-(-，+)+)称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。有了分布函数定义，任意有了分布函数定义，任意x1，x2R，x1x2，随随机变量机变量X落在落在(x1,x2 里的概率可用分布函数来计算：里的概率可用分布函数来计算：P x1X x2PX x2PX x1 F(x2)F(x1).xX 在这个意义上可以说，在这个意义上可以说，分布函数完整地描述了随分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性机变量的统计规律性，或者说，或者说，分布函数完整地表示分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况了随机变量的概率分布情况。一、分布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2,则则F(x1)F(x2)；2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x)1，且且 ;1)(lim)(,0)(lim)(xFFxFFxx)()(lim)0(000 xFxFxFxx3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质数的充分必要性质。2.4 连续型随机变量1 1、概念概念 设设F(X)是是随机变量随机变量X的分布函数，的分布函数，若若存在非负可积函数存在非负可积函数f(x)，(-x+)，使对一切使对一切实数实数x，均均有有xdttfxXPxF)()()(则称则称X为连续型随机变量，且称为连续型随机变量，且称f(x)为随机变为随机变量量X的的概率密度函数概率密度函数，简称密度。常记为，简称密度。常记为X f(x),(-x+)一、连续型随机变量及其概率密度函数一、连续型随机变量及其概率密度函数X连续型随机变量，则连续型随机变量，则X的分布函数必是连续函数。的分布函数必是连续函数。(1)非负性非负性 f(x)0，(-x0）f(x)的图像为的图像为22()21(),(,)2xf xex (1)单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=对称对称，即f(+x)=f(-x)，x(-,+)21正态分布密度函数正态分布密度函数f(x)的性质的性质(2)x=时，时，f(x)取得最大值取得最大值f()=；(3)x=处有拐点；处有拐点；(4)的大小直接影响概率的分布，的大小直接影响概率的分布，越大，曲线越越大，曲线越平坦平坦，越小，曲线越陡峭越小，曲线越陡峭。（如图）。（如图）正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)Gauss)分布分布(5)曲线曲线f(x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。正态分布随机变量正态分布随机变量X的分布函数为的分布函数为xtdtexF222)(21)(其图像为其图像为O xF(x)1标准正态分布标准正态分布 当参数当参数 0，21时，称随机变量时，称随机变量X服从服从标准正标准正态分布，记作态分布，记作XN(0,1)。.,21)(22xexx分布函数表示为分布函数表示为xdtexXPxxt,21)(22其其密度函数密度函数表示为表示为O x211(x)标准正态分布的密标准正态分布的密度函数与分布函数度函数与分布函数的图像分别为的图像分别为可得可得)()(xx1)()(xx正态随机变量的正态随机变量的3 3 原则：原则：设设X N(,2)在工程应用中，通常认为在工程应用中，通常认为 ，忽略忽略 的值。质量控制中，常用标准指标值的值。质量控制中，常用标准指标值3 3 作两条线，当生产过作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。6827.01)1(21)(XPXP9545.01)2(22)2(XPXP(3)32(3)10.9974XP XP 在一次试验中，正态分布的随机变量在一次试验中，正态分布的随机变量X落在以落在以 为中心，为中心，3 3 为半为半径的区间径的区间(-3,+3)内的概率相当大内的概率相当大(0.9974)，即，即X几乎必然几乎必然落在上述区间内，或者说在一般情形下，落在上述区间内，或者说在一般情形下，X在一次试验中落在在一次试验中落在(-3,+3)以外的概率可以忽略不计。以外的概率可以忽略不计。31XP3X3、指数分布、指数分布设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度0001)(xxexfx则称则称X服从参数为服从参数为的指数分布。的指数分布。其分布函数为其分布函数为 0001)()()(xxedttfxXPxFxx指数分布的另一种表示形式指数分布的另一种表示形式 0,00,)(xxexfXx则称则称X服从参数为服从参数为 0的的指数分布。指数分布。其分布函数为其分布函数为)(xfxO0,0()1,0 xxF xex第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 二维随机变量二维随机变量 随机变量的独立性随机变量的独立性3.1 3.1 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布1 1、二维随机变量、二维随机变量设设S=e是随机试验是随机试验E的样本空间，的样本空间，X=X(e)，Y=Y(e)是定义在是定义在S上的随机变量，则由它们构成的一上的随机变量，则由它们构成的一个二维向量个二维向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。称为二维随机变量或二维随机向量。二维随机变量二维随机变量(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与X及及Y有关，而有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，单独且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，单独讨论讨论X和和Y的性质是不够的，需要把的性质是不够的，需要把(X,Y)作为一个整作为一个整体来讨论。体来讨论。一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 定义定义3.13.1 设设(X,Y)是二维随机变量，二元是二维随机变量，二元实值函数实值函数F(x,y)=P(X xY y)=P(X x,Y y)x(-,+),y(-,+)称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)的的分布函数分布函数，或称，或称X与与Y的联合分布函数。的联合分布函数。即即F(x,y)为事件为事件X x与与Y y同时发生的概率。同时发生的概率。2 2、二维随机变量的联合分布函数、二维随机变量的联合分布函数几何意义：几何意义：若把二维随机变量若把二维随机变量(X,Y)看成平面上随机点的坐标，看成平面上随机点的坐标，则分布函数则分布函数F(x,y)在在(x,y)处的函数值处的函数值F(x0,y0)就表示就表示随机点随机点(X,Y)落在区域落在区域 -X x0，-Y y0中的概率。如图阴影部分：中的概率。如图阴影部分：(x0,y0)xyO对于对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1x2，y1y2)，则随机点则随机点(X,Y)落在矩形区域落在矩形区域x1X x2，y1Y y2内的概率可用分内的概率可用分布函数表示为布函数表示为P(x1X x2，y1Y y2)F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)(x1,y1)(x2,y2)O x1 x2 xy1y2y分布函数分布函数F(x,y)具有如下性质：具有如下性质：(p67)(p67)(,)lim(,)0 xyFF x y 1),(lim),(yxFFyx0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)对任意对任意(x,y)R2,0 F(x,y)1。(2)F(x,y)是变量是变量x或或y的非降函数，即的非降函数，即 对任意对任意y R,当当x1x2时，时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意对任意x R,当当y1y2时，时，F(x,y1)F(x,y2)。(3),(),(lim),0(000yxFyxFyxFxx),(),(lim)0,(000yxFyxFyxFyy(4)函数函数F(x,y)关于关于x是右连续的，关于是右连续的，关于y也也是右连续的，是右连续的，即即对任意对任意x R，y R，有有(5)对于任意对于任意(x1,y1)，(x2,y2)R2，(x1x2，y10,1|1|lim1 niinXnP2 大数定律以严格的数学形式表达了随大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性平均结果的稳定性5.2 中心极限定理中心极限定理 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见人们发现，正态分布在自然界中极为常见.观察表明，如果一个量是由大量相互独立观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服则这种量一般都服从或近似服从正态分布从或近似服从正态分布.定理：（定理：（独立同分布下的中心极限定理）独立同分布下的中心极限定理）它表明，当它表明，当n充分大时，充分大时，n个具有期望和方差个具有期望和方差的独立同分布的的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布之和近似服从正态分布.设设X1,X2,是独立同分布的随机是独立同分布的随机变量序列，且变量序列，且E(Xi)=Var(Xi)=，i=1,2,，则，则2 lim1xnnXPniinx-2t-dte212