解析几何参数范围的解题技巧

解析几何中参数范围的解题技巧 解析几何求参数范围的问题是常考内容，解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等式关系，但根据目标函数和不等式求范围正是求解这类问题的难点。建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题。建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特性、点的有界性、判别式法、数形结合或者基本不等式等灵活处理。一、利用圆锥曲线的几何性质建立不等式例1、（12北京理）（本小题共14分）已知曲线.（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；解：（1）原曲线方程可化简得：由题意可得：，解得：例2、（11天津理）设，若直线与圆相切，则的取值范围是（A） （）（）（）解：直线与圆相切，圆心到直线的距离为，所以，设，则，解得.二、由数形结合思想确定参数的范围例3、 （11江西理）若曲线：与曲线：有4个不同的交点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】这道题是典型的运用数形结合的思想来解决的；曲线：，图像为圆心为（1,0），半径为1的圆；曲线：，或者，直线恒过定点，即曲线图像为轴与恒过定点的两条直线。作图分析：Oxy1，又直线（或直线）、轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知三、利用题目给定条件建立不等式例4、（12四川理）(本小题满分12分) 如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。解：（I）综上可知，轨迹的方程为 （II）由消去，可得 （*）由题意，方程（*）有两根且均在内，设所以解得，且设的坐标分别为，由有所以由，且，有且所以的取值范围是四、由基本不等式确定参数范围例5、（11北京理）已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。（2）将表示为m的函数，并求的最大值。解：（2）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=1时，同理可得当时，设切线l的方程为由；设A、B两点的坐标分别为，则；又由l与圆所以由于当时，因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.例6、（11湖南文）已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值解析：（I）动点P的轨迹C的方程为（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为由，得设则是上述方程的两个实根，于是 因为，所以的斜率为设则同理可得：故当且仅当即时，取最小值16说明：在近两年高考中，利用基本不等式求参数范围这种方法考查的题目较多，所以应引起大家的重视五、巧构方程，利用判别式来求参数范围例7、（11山东文）（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（）求的最小值；（I）解：设直线，由题意，由方程组得，由题意，所以设，由韦达定理得所以由于E为线段AB的中点，因此此时所以OE所在直线方程为又由题设知D（-3，m），令x=-3，得，即mk=1，所以当且仅当m=k=1时上式等号成立，此时 由得因此 当时，取最小值2。例8、（11广东文）（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPO=AOP（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。解：（1）点M轨迹E的方程为 （3）由图3知，直线的斜率不可能为零。设故的方程得：因判别式所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。又由E2和的方程可知，若与E2有交点，则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。因此，直线的取值范围是六、利用点的有界性建立不等式例9、（11上海文）（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆（常数），是曲线上的动点，是曲线上的右顶点，定点的坐标为（3）若的最小值为，求实数的取值范围.解： 设动点，则 当时，取最小值，且， 且解得。1. （2004全国卷IV）双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（1，0）到直线l的距离之和，求双曲线的离心率e的取值范围。解析：直线l的方程为，即由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线l的距离同理得到点（1，0）到直线l的距离由，即于是得即解得由于，所以e的取值范围是，。2. （2005年全国卷III）设，两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线。当直线l的斜率为2时，求直线l在y轴上截距的取值范围。解析：设直线l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为过点A、B的直线方程可写为由，消y得即是方程的两个不同的解，得，且设AB的中点N的坐标为（），则，。由，于是。即得直线l在y轴上截距的取值范围为。3. （2004年辽宁卷）设椭圆方程，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为。当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值。解析：（1）动点P的轨迹方程是即（1）由点P的轨迹方程知，即。所以，故当时，取得最小值，最小值为；当时，取得最大值，最大值为。4. （2002年京皖）已知某椭圆的焦点是，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且。椭圆上不同的两点A（）、满足条件：成等差数列。（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围。解析：（1）椭圆方程为。（2）设弦AC中点，可得。（3）由在椭圆上，得两式相减得，即将，代入上式，得9425即（当k0时也成立）。由点P（4，）在弦AC的垂直平分线上，得，即。由P（）在线段BB”上（B”与B关于轴对称），得所以。5. （2005年浙江卷）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线l与x轴的交点为M，。（1）求椭圆的方程；（2）若点P在直线l上运动，求F1PF2的最大值。解析：（1）求得椭圆的方程为（2）设P，则直线的斜率，直线PF2的斜率。因为，所以为锐角。所以。当时，tanF1PF2取得最大值，此时F1PF2最大，故F1PF2的最大值为。02