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2 2.2 椭圆的简单几何性质 第一课时 椭圆的简单几何性质 学习目标 1 掌握椭圆的简单几何性质 2理解离心率对椭圆扁平程度的影响 课前自主学案 温故夯基 1平面内与两个定点 F1， F2的距离的和等于常 数 (大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做 _这两个定 点叫做椭圆的 _，两焦点间的距离叫做椭圆 的 _ 椭圆 焦点 焦距 2写出椭圆的标准方程 焦点在 x轴上时是 _ 焦点在 y轴上时是 _ 3到两定点 F1(0， 1)， F2(0,1)的距离的和等于 4的动点 M的轨迹方程是 _. x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a b 0 ) y 2 a 2 x 2 b 2 1 ( a b 0 ) y 2 4 x 2 3 1 椭圆的几何性质 知新益能 焦点的位置 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上 图形 标准方程 范围 _ _ x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a b 0 ) y 2 a 2 x 2 b 2 1 ( a b 0 ) |x| a， |y| b |x| b， |y| a 焦点的位置 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上 顶点 _ _ 轴长 长轴 A1A2，长度为 2a， 短轴 B 1B2，长度为 2b 焦点 F1( c,0)， F2(c,0) _ 焦距 |F1F2| 2c 对称性 对称轴： _，对称中心： _ 离心率 椭圆的焦距与实轴长的比，即 e _ ( a,0)， (0， b) ( b,0)， (0， a) F1(0， c)， F2(0， c) 坐标轴 (0,0) c a 问题探究 如图所示椭圆中的 OF2B2，能否找出 a， b， c对 应的线段？ 提示： a |B2F2|， b |OB2|， c |OF2|. 课堂互动讲练 椭圆的简单几何性质 考点突破 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的 方程化成标准形式，找准 a与 b，才能正确地写 出其相关性质在求顶点坐标和焦点坐标时， 应注意焦点所在的坐标轴 求椭圆 4x2 9y2 36的长轴长、焦距、焦点 坐标、顶点坐标和离心率 例 1 【思路点拨】 化为标准形式 确定焦点位置 求 a ， b ， c 求椭圆几何性质 【解】 将椭圆方程变形为 x 2 9 y 2 4 1 ， a 3 ， b 2 ， c a 2 b 2 9 4 5 . 椭圆的长轴长和焦距分别为 2 a 6 , 2 c 2 5 ； 焦点坐标为 F 1 ( 5 ， 0 ) ， F 2 ( 5 ， 0 ) ；顶点坐标 为 A 1 ( 3 , 0 ) ， A 2 ( 3 , 0 ) ， B 1 ( 0 ， 2 ) ， B 2 ( 0 , 2 ) ；离 心率 e c a 5 3 . 互动探究 1 若本例中椭圆方程变为： “ 4x2 y2 1” ，试求解 解： 已知方程为 y 2 1 x 2 1 4 1 ，所以 a 1 ， b 1 2 ， c 1 1 4 3 2 ，因此，椭圆的长轴的长和短轴的 长分 别为 2 a 2 , 2 b 1 ，离心率 e c a 3 2 ，两个 焦点分别为 F 1 0 ， 3 2 ， F 2 0 ， 3 2 ，椭圆的四 个顶点是 A 1 ( 0 ， 1 ) ， A 2 ( 0 , 1 ) ， B 1 1 2 ， 0 ， B 2 1 2 ， 0 . (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待 定系数法 (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是 “ 选标准，定参数 ” ，一般步骤是： 求出 a2， b2的值； 确定焦点所在的坐标轴； 写出标 准方程 利用椭圆的几何性质求标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程 ： ( 1 ) 长轴长是 6 ， 离心率是 2 3 ； ( 2 ) 在 x 轴上的一个焦点 ， 与短轴的两个端点的连 线互相垂直 ， 且焦距为 6. 例 2 【思路点拨】 因为要求的是椭圆的标准方程， 故可以先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数 法求参数 a， b， c. 【解】 ( 1 ) 设椭圆方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a b 0 ) 或 y 2 a 2 x 2 b 2 1 ( a b 0 ) 由已知得 2 a 6 ， a 3. 又 e c a 2 3 ， c 2. b 2 a 2 c 2 9 4 5. 椭圆的标准方程为 x 2 9 y 2 5 1 或 y 2 9 x 2 5 1. ( 2 ) 由题意知焦点在 x 轴上， 故可设椭圆的标准方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a b 0 ) ，且两 焦点为 F ( 3 , 0 ) ， F ( 3 , 0 ) 如图所示， A 1 FA 2 为等腰直角三角形， OF 为斜边 A 1 A 2 的中线，且 | OF | c ， | A 1 A 2 | 2 b ， c b 3. a 2 b 2 c 2 18. 所求椭圆的标准方程为 x 2 18 y 2 9 1. 互动探究 2 本例中， (1)中条件 “ 长轴长是 6” 改 为 “ 短轴长为 8” ； (2)中焦距是 “6”改为 “8” 结果如何？ 解： ( 1 ) 设椭圆的标准方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a b 0 ) 或 y 2 a 2 x 2 b 2 1 ( a b 0 ) 由已知得 e c a 2 3 ， 2 b 8 5 ， c 2 a 2 a 2 b 2 a 2 4 9 ， b 2 80 . a 2 144 . 所求椭圆的标准方程为 x 2 144 y 2 80 1 或 y 2 144 x 2 80 1. (2 ) 设椭圆方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 如图所示， A 1 FA 2 为 等腰直角三角形， OF 为斜边 A 1 A 2 的中线 ( 高 ) ，且 | OF | c ， | A 1 A 2 | 2 b ， c b 4 ， a 2 b 2 c 2 32 ，故所求椭圆 的方程为 x 2 32 y 2 16 1. 求椭圆的离心率的常见思路：一是先求 a， c， 再计算 e；二是依据条件中的关系，结合有关 知识和 a、 b、 c的关系，构造关于 e的方程，再 求解注意 e的范围： 0e b 0) 的左焦点 F 1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ， F 2 为右焦点，若 F 1 PF 2 60 ，则椭圆的离心率为 ( ) A. 2 2 B. 3 3 C. 1 2 D. 1 3 例 3 【 思路点拨 】 本题先求得 P点坐标 ， 再利用 直角三角形 ， 得出 a， b， c的关系 【解析】 由题意知点 P 的坐标为 ( c ， b 2 a ) 或 ( c ， b 2 a ) ， F 1 PF 2 60 ， 2 c b 2 a 3 ，即 2 ac 3 b 2 3 ( a 2 c 2 ) 3 e 2 2 e 3 0 ， e 3 3 或 e 3 ( 舍去 ) 【 答案 】 B 【 名师点评 】 变式训练 3 已知椭圆的两个焦点为 F1、 F2， A为 椭圆上一点，且 AF1 AF2， AF2F1 60 ，求 该椭圆的离心率 解： 不妨设椭圆的焦点在 x轴上，画出草图如图所 示 由 AF 1 AF 2 知 AF 1 F 2 为直角三角形，且 AF 2 F 1 6 0 . 由椭圆定义，知 | AF 1 | | AF 2 | 2 a ， | F 1 F 2 | 2 c . 则 在 Rt AF 1 F 2 中，由 AF 2 F 1 60 得 | AF 2 | c ， | AF 1 | 3 c ，所以 | AF 1 | | AF 2 | 2 a ( 3 1) c ， 所以离心率 e c a 3 1. 1 椭圆的几何性质的作用 椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大 小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭 圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是 椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则 根据 a、 b的值可确定其性质 2椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个 量，其取值范围是 0e1.离心率越大，椭圆越扁 ; 离心率越小，椭圆越接近于圆 方法感悟
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