任意角的三角函数(三角函数线).ppt

1.2.1任意角的三角函数 sin y c o s x t an y x 设 是一个任意角 ,它的终边与单位圆交 于点 P(x,y)则 : y 叫 的正弦 x叫 的余弦 叫 的正切 x y y O ( , )P x y x 一、任意角的三角函数的定义 1: 一、任意角的三角函数的定义 2: O x r y ),( yxP :),0( ),)(,( , 22 那么 它与原点的距离是除端点外 任意一点的终边上是一个任意角设 yxr ryxP x y x y t a n,t a n,)3( 即记为的正切叫做比值 r x r x c os,c os,)2( 即记为的余弦叫做比值 r y r y s i n,s i n,)1( 即记为的正弦叫做比值 s iny c o sy ta ny 三角函数的定义域 : 三角函数 定义域 R R , 2 | Zkk 终边相同的角的同一三角函数值相等： 0 0 0 si n 360 si n c os 360 c os , t a n 360 t a n k k k Z k 公 式 一 公式一的作用： 把求任意角的三角函数值转化为求 00到 3600角的三角函数值。 三角函数的符号 三角函数在各象限内的符号： 1 si n y r 、 正 弦 函 数 值 ,0 0, yry r 第 一 象 限 ： 故 为 正 值 ； ,0 0, yry r 第 二 象 限 ： 故 为 正 值 ； o x y ,0 0, y r y r 第 三 象 限 ： 故 为 负 值 ； ,0 0, yry r 第 四 象 限 ： 故 为 负 值 ； 上正下负横为 0 2 c os x r 、 余 弦 函 数 值 ,0 0, xrx r 第 一 象 限 ： 故 为 正 值 ； ,0 0, xrx r 第 二 象 限 ： 故 为 负 值 ； ,0 0, x r x r 第 三 象 限 ： 故 为 负 值 ； ,0 0, xrx r 第 四 象 限 ： 故 为 正 值 ； o x y 三角函数在各象限内的符号： 左负右正纵为 0 00, yxy x第 一 象 限 ： 故 为 正 值 ； 00, yxy x第 二 象 限 ： 故 为 负 值 ；o x y 00, yxy x第 三 象 限 ： 故 为 正 值 ； 00, yxy x第 四 象 限 ： 故 为 负 值 ； 3 t a n y x 、 正 切 函 数 值 三角函数在各象限内的符号： 交叉正负 y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P 的 终边 的 终边 的 终边 的 终边 A(1,0 ) A(1,0 ) A(1,0 ) A(1,0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 角 的终边与单位圆 交于点 P.过点 P作 x轴 的垂线 ,垂足为 M. |MP|=|y|=|sin| |OM|=|x|=|cos| 三角函数线 正弦线和余弦线 【 思考 】 为了去掉 上述等式中的绝对值 符号 ,能否给线段 OM、 MP规定一个适当的方 向 ,使它们的取值与点 P的坐标一致 ? 【 定义 】 有向线段 * 带有方向的线段叫有向线段 . *有向线段的大小称为它的数量 . 在坐标系中 ,规定 : 有向线段的方向与坐标系的方向相同 . 即同向时 ,数量为正 ;反向时 ,数量为负 . y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P 的 终边 的 终边 的 终边 的 终边 A(1,0 ) A(1,0 ) A(1,0 ) A(1,0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 当角 的终边不在坐 标轴上时 ,以 M为始点、 P为终点 ,规定 : 当线段 MP与 y轴 同向 时 ,MP的方向为 正向 , 且有 正值 y; 当线段 MP与 y轴 反向 时 MP的 方向 为 负向 , 且有 负值 y. MP=y=sin 有 向线段 MP叫角 的 正 弦线 y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P 的 终边 的 终边 的 终边 的 终边 A(1,0 ) A(1,0 ) A(1,0 ) A(1,0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) |MP|=|y|=|sin| |OM|=|x|=|cos| 当角 的终边不在坐 标轴上时 ,以 O为始点、 M为终点 ,规定 : 当线段 OM与 x轴 同向 时 ,OM的方向为 正向 ,且 有 正值 x; 当线段 OM与 x轴 反向 时 ,OM的方向为 负向 ,且 有 负值 x. OM=x=cos 有 向线段 OM叫角 的 余弦 线 T T T y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P 的 终边 的 终边 的 终边 的 终边 A(1,0 ) A(1,0 ) A(1,0 ) A(1,0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) T 过点 A(1,0)作单位 圆的切线 ,设它与 的终边或其反向延 长线相交于点 T. t a n MPOM AT yATOA x 有向线段 AT叫 角 的 正切线 这三条与单位圆有关的有向线段 MP、 OM、 AT,分别叫做角 的 正弦线、余弦线、正切 线 ,统称为 三角函数线 y x T M O P 的 终边 A(1,0 ) 当角 的终边与 x轴重合时 ,正弦线、正切 线 ,分别变成一个点 ,此时角 的 正弦值和正 切值都为 0; 当角 的终边与 y轴重合时 ,余 弦线变成一个点 ,正切线不存 在 ,此时角 的 正切值不存在 . 三角函数线的意义：方向表示三角函数值 符号，长度表示三角函数值的绝对值 . x y o x y o x y o x y o 的终边 的终边 的终边 的终边 T P M P M P M P M T A A T A T A ( ) ( ) ( ) ( ) 同学们实践： 例 1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线 3 3 2（ 1） ；（ 2） 例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边 : ;21s in x O y -1 -1 1 1 2 1y 角的终边 P M 例题 1( 2 ) s i n ; 2 )(265,26 Zkkk -1 x y 1 1 -1 O 例 :在单位圆中作出符合条件的角的终边 : 2 1 c o s2 2 1x 3 3 5 Zkkk 3 52, 3 2 变式： 写出满足条件 cos 的角 的集合 . 2 1 2 3 x O y -1 -1 1 1 6 6 11 3 2 3 4 62| k ，或 3 22 k 3 42 k Zkk ， 6 112 Zkkkkk ) 6 112, 3 42 3 22, 6 2( 课堂 练习 1.已知 是第三象限且 ，问 是第几象 限角？ 02co s 2 2.若 在第四象限，试判 sin(cos)cos(sin)的符号 课堂 练习 3 .若 lg(sintan)有意义，则 是（ ） A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或 x轴的正半轴 C 4. 已知 的终边过点 (3a-9,a+2),且 cos0,则 a的取值范围是 。 -2a3 5.利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的 取值范围： (1)sin cos ; 课堂 练习 1. 内容总结： (1)三角函数的概念 . (2)三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号 (3)诱导公式一 . (4)三角函数线 运用了定义法、公式法、数形结合法解题 . 划归的思想，数形结合的思想 . 归纳 总结 2 .方法总结： 3 .体现的数学思想：