241抛物线及其标准方程

复习回顾：复习回顾：我们知道我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：椭圆、双曲线的有共同的几何特征：都可以看作是都可以看作是,在平面内与一个在平面内与一个定点定点的距离和一条的距离和一条定直线定直线的距离的比是的距离的比是常数常数e的点的轨迹的点的轨迹.MFl0e 1(2)当当e1时，是双曲线时，是双曲线;(1)当当0e0)想一想想一想?这种坐标这种坐标系下的抛物系下的抛物线方程形式线方程形式怎样怎样?设设KF=p则则F（，0），），l：x=-p2p2设点设点M的坐标为（的坐标为（x，y），），由定义可知由定义可知|MF|=|MN|即：即：22)2(pxypx2解：设取过焦点解：设取过焦点F F且垂直于准线且垂直于准线l的的直线为直线为x x轴轴，线段，线段KFKF的中垂线为的中垂线为y y轴轴 化简得化简得 y2=2px（p0）yoxNFMKly y轴轴x x轴轴y y2,0py yy yx xx xy yy2=2px(p0)0(22ppyx 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式种形式.图图 像像方方 程程焦焦 点点 准准 线线 220ypxp 220ypxp 220 xpyp 220 xpyp)0 ,2(pF)2 ,0(pF)0 ,2(pF)2 ,0(pF2px2px 2py2py xOyFxyOFxylOFxFylOxOyF 220ypxpxyOF 220ypxpxFylO 220 xpypxylOF 220 xpyp相同点：相同点：（1）顶点为原点）顶点为原点;（2）对称轴为坐标轴）对称轴为坐标轴;（3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p/2.不同点：不同点：（1）一次项变量为）一次项变量为x(y)，则对称轴为，则对称轴为x(y)轴轴;（2）一次项系数为正（负），则开口方向坐标轴的正（负）方向）一次项系数为正（负），则开口方向坐标轴的正（负）方向.记忆方法：记忆方法：P永正，一次变量定焦点，永正，一次变量定焦点，开口方向看负正开口方向看负正（三）例题讲解（三）例题讲解例例1.(1)已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方求它的焦点坐标和准线方程程;(2)已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程。，求它的标准方程。解解:(1)(1)由方程可知由方程可知,焦点在焦点在x轴正半轴上，坐标为轴正半轴上，坐标为 ，2 2p=6=6，所以焦点坐标是所以焦点坐标是 ，准线方程是，准线方程是 .(,0)2p3(,0)232x (2)抛物线焦点坐标为抛物线焦点坐标为F(0,-2)(0,-2)，抛物线焦点在抛物线焦点在y轴负半轴上，设标准方程为轴负半轴上，设标准方程为x2=-2 2py,并且并且 2 2p=8=8，抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2=-8=-8y.22p变式训练1.根据下列条件写出抛物线的标准方程根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点是（0，-3）；(2)准线是 ；2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程求下列抛物线的焦点坐标与准线方程.(1)y=8x2 ；(2)x2+8y=0；12x x2=-12yy2=2x焦点 ，准线1(0,)32132y 焦点 ，准线(0,2)2y 感悟感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物抛物线的标准方程。线的标准方程。感悟感悟：用用待定系数法待定系数法求抛物线标准方程应求抛物线标准方程应先确定抛物先确定抛物线的形式线的形式，再求再求p p值。值。强化提高根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点到准线的距离是2；(2)焦点在直线3x-4y-12=0上。关键：理解关键：理解p的几何意义，的几何意义，熟记标准方程四种形式熟记标准方程四种形式关键：标准方程表示的关键：标准方程表示的是顶点在原点，对称轴是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线为坐标轴的抛物线解：解：焦点到准线的距离为焦点到准线的距离为2 p=2 又又焦点的位置不确定焦点的位置不确定 该抛物线标准方程有四种形式该抛物线标准方程有四种形式 y2=2px ，x2=2py 此抛物线的标准方程有四种情况：此抛物线的标准方程有四种情况：y2=4x ，x2=4y 解：解：标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴上；上；又又抛物线的焦点在直线抛物线的焦点在直线3x-4y-12=0上，上，焦点就是直线与坐标轴的交点，直线焦点就是直线与坐标轴的交点，直线3x-4y-12=0与与x轴的交点是轴的交点是（4，0），），与与y轴的交点是轴的交点是（0，3），），焦点坐标为焦点坐标为（4，0）或或（0，3）；）；当焦点为当焦点为（4，0）时标准方程为时标准方程为y2=16x,当焦点为当焦点为（0，3）时标准方程为时标准方程为x2=12y,综上，抛物线标准方程为综上，抛物线标准方程为 y2=16x或或 x2=12y（四）课堂小结（四）课堂小结平面内与一个定点平面内与一个定点F的距离和一条定直线的距离和一条定直线l 的距离的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。相等的点的轨迹叫做抛物线。一个定义：两类问题：三项注意：四种形式：求抛物线标准方程；求抛物线标准方程；已知方程求焦点坐标和准线方程。已知方程求焦点坐标和准线方程。定义的前提条件：直线定义的前提条件：直线l 不经过点不经过点F;p的几何意义：焦点到准线的距离；的几何意义：焦点到准线的距离；标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。的抛物线。抛物线的标准方程有四种：抛物线的标准方程有四种：y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)回顾复习回顾复习平面内与一个定点平面内与一个定点F的距离和一条定直线的距离和一条定直线l 的距离的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。相等的点的轨迹叫做抛物线。一个定义：两类问题：三项注意：四种形式：求抛物线标准方程；求抛物线标准方程；已知方程求焦点坐标和准线方程。已知方程求焦点坐标和准线方程。定义的前提条件：直线定义的前提条件：直线l 不经过点不经过点F;p的几何意义：焦点到准线的距离；的几何意义：焦点到准线的距离；标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。的抛物线。抛物线的标准方程有四种：抛物线的标准方程有四种：y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0,2p2px0,2p2px 2,0p2py2,0p2py 记忆方法：记忆方法：P永正，一次变量定焦点，开口方向看负正永正，一次变量定焦点，开口方向看负正例例1:已知抛物线方程为已知抛物线方程为x=ay2（a0)，讨论抛物，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？线的开口方向、焦点坐标和准线方程？解：抛物线的方程化为：解：抛物线的方程化为：y2=x1a即2p=1 a4a1焦点坐标是（，0），准线方程是：x=4a1当当a0时时,抛物线的开口向右抛物线的开口向右p2=14a抛物线标准方程的统一形式：抛物线标准方程的统一形式：)0(2)1(2mmxyx轴上，可设为焦点在)0(2)2(2mmyxy轴上，可设为焦点在练习：练习：P73 4.(1)例例2.设设P是抛物线是抛物线y24x上的一个动点上的一个动点(1)求点求点P到点到点A(1,1)的距离与点的距离与点P到直线到直线x1的距离之和的最小值；的距离之和的最小值；(2)若若B(3,2)，求，求|PB|PF|的最小值的最小值例例2.设设P是抛物线是抛物线y24x上的一个动点上的一个动点(1)求点求点P到点到点A(1,1)的距离与点的距离与点P到直线到直线x1的距离之和的最的距离之和的最小值；小值；(2)若若B(3,2)，求，求|PB|PF|的最小值的最小值注意判断点注意判断点A与抛物线的位置关系与抛物线的位置关系(2)如图，自点如图，自点B作作BQ垂直准线于垂直准线于Q，交抛物线于点交抛物线于点P1，则，则|P1Q|P1F|.则有则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即即|PB|PF|的最小值为的最小值为4.例例2.设设P是抛物线是抛物线y24x上的一个动点上的一个动点(1)求点求点P到点到点A(1,1)的距离与点的距离与点P到直线到直线x1的距离之和的最的距离之和的最小值；小值；(2)若若B(3,2)，求，求|PB|PF|的最小值的最小值若将本例若将本例(2)中的中的B点坐标点坐标改为改为(3，4)，则如何求，则如何求|PB|PF|的最小值的最小值.例例2.设设P是抛物线是抛物线y24x上的一个动点上的一个动点(1)求点求点P到点到点A(1,1)的距离与点的距离与点P到直线到直线x1的距离之和的最的距离之和的最小值；小值；(2)若若B(3,2)，求，求|PB|PF|的最小值的最小值练习：练习：创新方案创新方案 变式变式2 2例例3.一种卫星接收天线的轴截面如图所示卫一种卫星接收天线的轴截面如图所示卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处已知接收天接收天线，经反射聚集到焦点处已知接收天线的口径为线的口径为4.8m，深度为，深度为0.5m，求抛物线的标，求抛物线的标准方程和焦点坐标准方程和焦点坐标oyxABFoyxABF解：如图，建立直角坐标系，解：如图，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程是设抛物线的标准方程是 y2=2px(p0).易知易知A(0.5,2.4)，代入方程得，代入方程得p=5.76.2.42=2p0.5所以，所求抛物线为所以，所求抛物线为y2=11.52x,焦点坐标为焦点坐标为(2.88,0).例例4.4.已知点已知点H H（-3-3，0 0），点），点P P在在y y轴上，点轴上，点Q Q在在x x轴正半轴上，点轴正半轴上，点M M在在直线直线PQPQ上，且上，且当点当点P P在在y y轴上移动时，求点轴上移动时，求点M M的轨的轨迹迹C C的方程。的方程。MQPMPMHP23,0y2=4x(x0)2M解：因为点与点F(4,0)的距离比 它到直线L:x+6=0的距离小，M所以点到点F的距离与它到直线L:x=-4的距离相等.由抛物线的定义知，p=8216.yx所以点M的轨迹方程为xy6xF4,04x M,x yNK1.M2,M.已知点到点F 4,0 的距离比它到直线 L:x+6=0的距离小 求点的轨迹方程6x 2