考研数二真题及解析

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上.)(1) lim x In x =.x tO+(2) 函数 y = y(x)由方程sin(x2 + y2) + e -xy2 = 0 所确定，则 dy =.dx 0),则函数F(x)的单调减少区间是.设 F(x) = Jx (2 -1tan x(4) J / dx =.cos x 已知曲线y = f (x)过点(0,-2),且其上任一点(x, y)处的切线斜率为xln(l+ x2),则二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)ll(1)当x T 0时，变量一；sm是x2x(A)无穷小(B)无穷大(C)有界的，但不是无穷小(D)有界的，但不是无穷大1 x 2 - 1|(2)设f (x) = x-1 则在点x =1处函数f (x)2, x =1,(A) 不连续(C) 可导,但导数不连续(B)连续，但不可导(D)可导，且导数连续已知念)=,1:;: 2,设F(x)=J ;f (t)dt (0 x 2)，则F(x)为(A)ix3,0 x 1Q 3(B)1-x3 - Q 33,o x 1x,1 x 2x,1 x 2(C)1一 x3,0 x 1 Q 3(D)1-x3 -Q 33,o x 1x-1,1x2x-1,1x 0，函数f (x) = In x- + k在(0, +8)内零点个数为e(A) 3(B) 2(C) 1(D) 0 假设 f (x) = -f (-x),在(0, +8)内 f(x) 0,f(x) 0 ,则 f (x)在(8,0)内( )(A) f(x) 0,f(x) 0(B) f(x) 0(C) f (x) 0, f (x) 0,f (x) 0三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.)(1) 设y二sin f (x2),其中f具有二阶导数，求竽.dx2(2) 求 lim xG. x2 +100 + x).x T-8(3)求f4x1 + cos 2 xdx .求扁3 dx - 求微分方程(x2 - 1)dy + (2xy - cos x)dx二0满足初始条件y|= 1的特解.x=0四、(此题总分值9分)设二阶常系数线性微分方程y + ay +卩y =丫ex的一个特解为y = e2x + (1+ x)ex，试确定常数a,卩,Y ,并求该方程的通解.五、(此题总分值9分)设平面图形A由x2 + y2 x所确定，求图形A绕直线x = 2旋转一周所得旋 转体的体积.六、(此题总分值9分)作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h为何值时,其体积V最小，并求出该最小值.七、(此题总分值6分)设x0，常数a e,证明(a + x)a a+x.八、(此题总分值6分)设广(x)在0,a上连续，且f (0) = 0,证明:Jaf (x)dx0 Ma 2，其中 M = max | f (x)|.0xa1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题解析一、填空题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.)(1)【答案】 0g【解析】这是个0 .g型未定式，可将其等价变换成一型，从而利用洛必达法则进行求解. glim x ln x = limx tO+x tO+ln x 洛 limxtO+=-lim x = 0.xtO+(2)【答案】y2 -ex -2xcos(x2+ y2)2 y cos( x* 2 + y2) - 2xyx2【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程sin(x2 + y2) + e -xy2 = 0两边对x求导，得cos(x2 + y2) - (2x + 2yy) + ex 一 y2 一 2xyy = 0 ,化简得y=2 y cos( x2 + y2)- 2xyy2 -ex - 2x cos( x2 + y2)【相关知识点】复合函数求导法则：如果u = g(x)在点x可导，而y = f (x)在点u = g(x)可导，则复合函数y = f g(x)dy dy du .dx du dx在点x可导，且其导数为孚=f(u) - g(x)或 dx1(3)【答案】0 x 4解析】由连续可导函数的导数与0 的关系判别函数的单调性.将函数F(x) = fx(211)dt,两边对x求导，得F(x) = 2-丄.x0,即任解析】tan xJ .- dx =cos xsin xcos xcos xdx =I* .一 3J sin x cos一2 xdxf- 3_ 1二 _J cos_2 xd cos x 二 2cos _2 x + C .【答案】2(1+ x2)ln(1 + x2) 2x2 _22 2 2 【解析】这是微分方程的简单应用.由题知 dy = xln(1+ x2)，别离变量得dy = xln(1+ x2)dx，两边对x积分有 dxy = J x ln(1+ x 2)dx = J ln(1+ x 2)d (x 2 +1).2由分部积分法得因为曲线y = f (x)过点(o,-2)，故c = _ 2，所以所求曲线为 y =1(1+ x2)ln(1 + x2) 一 x2 一 .2 2 2二、选择题(此题共5 小题，每题 3分，总分值 15分.)(D)(1)【答案】解析】因为当x T0时，sin-是振荡函数，所以可用反证法.x假设取x1kx=2k1 1 1 ,贝ysin= (k兀)2 sin kx = 0,x1k1 1 1 sin一 = (2k + )2兀 2,(k = 1,2,.x22kx21k，则x22k因此，当k十时，有%T0，但变量 sin-或等于0或趋于，这说x 2xT 0及x2k明当x T 0时它是无界的，但不是无穷大量，即(D)选项正确. 【答案】(A)【解析】利用函数连续定义判定,即如果函数在xo处连续,则有xlTimx + f (x) = xlTimx _ f (x) = f(x0). xTx0 +xTx0 _由题可知lim f (x) = lim 空11 = lim _1 = lim( x +1) = 2,xT1+xT1+ x _ 1xT1+ x _ 1 xT1+lim f (x) = lim= lim= lim( x +1) = 2.xT1_xT1_ x _ 1xT1_ x _ 1xT1_因f (x)在x = 1处左右极限不相等，故在x = 1处不连续,因此选(A). 【答案】(D)【解析】这是分段函数求定积分.当 0 x 1 时，0 x t 1，故 f (t) = 12，所以F ( x) = J xf (t )dt = J xt 2 dt = 113 = 1( x 3 1).1 1 1当 1 x 2 时，1 t X 0,0 x e; f (x)严格单调增加f( x) 0, e x 0. exlim f (x) = lim(lnx一一 + K) = g又因为V XT0+X t0+exlim f ( x) = lim (ln x + K) = g、XT+gX T+ge由连续函数的介值定理知在(0,e)与(e, +g)各有且仅有一个零点(不相同).x故函数f (x) =lnx一 + K在(0, +g)内零点个数为2,选项(B)正确. e【答案】(C)【解析】方法一：由几何图形推断.由f (X)= f (X),知f (X)为奇函数,图形关于原点对称；在(0, +g)内f(x) 0,f(x) 0, f (x)图形单调增加且向上凹,依据图可以看出f ( x)在(g,0)内增加而凸，f(x) 0,f(x) 0, f x) = -f (-x) 0 ,故应选(c).三、(此题共5 小题,每题5分,总分值 25分.)(1)【解析】y二inf (x2)= cosf (x2) - f (x2) -2x,+ cos f (x 2) - f (x2) - 2.【相关知识点】复合函数求导法则:如果u = g(x)在点x可导，而y = f (x)在点u = g(x)可导，则复合函数y = f g(x)在点x可导，且其导数为dy _ f (u) - g (x) 或 dx(2)【解析】应先化简再求函数的极限，dy _ dydx dududx100x_ lim _xTg)0 x100因为x0，所以limx T8100100_ 100 _50._ _ lim x2 + 100 1 xT8-；_ + 100x2 一 11 1x(3)【解析】先进行恒等变形，再利用根本积分公式和分部积分法求解.上 + _ln(cos 1) In(cosO)上 + _点上-_ln282482284(4)【解析】用极限法求广义积分._hm2bL+_ 0+_ bT+s 2(b +1)2222(5)【解析】所给方程是一阶线性非齐次微分方程，其标准形式是2 xcos xy + y _，x2 1 丰 0,x2 1x2 1通解为x2 1y _ e莒dx卩叱e1莒叫x + C x2 1sin x + C代入初始条件y|_ 1，得x _0J cos xdx + C _x 2 1Lsin0+Csin x1_1，所以C_1 所求特解为y_02 1x2 1x2 1【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程y + p(x)y = q(x)的通解公式为:y _ ep(x)dx (J q(x)eJp(x)dxdx + C)，其中 C 为常数.四、(此题总分值9分)【解析】要确定常数a,卩,Y ,只需将特解代入原微分方程后,用比拟系数法即得.对于特解y二e2x + (1+ x)ex,有y = 2e2x + ex + (1+ x)ex = 2e2x + (2 + x)ex,y = 2e 2 x + (2 + x)ex=4e 2 x + ex + (2 + x )ex = 4e 2 x + (3 + x )ex,代入方程y+a y +卩y二丫 ex,得恒等式x + (3 + x)ex + a2e2x + (2 + x)ex + p e2x + (1+ x)ex=Y ex,化简得(4 + 2a + p )e 2 x + (3 + 2a + p )ex + (1+a + p) xex = y ex,比拟同类项系数，得4 + 2a + p = 03 + 2a + p = y ,1+a + p = 0解之得 a = 3,p = 2, y = 1于是原方程为y- 3y+ 2y - -ex,所对应的齐次微分方程y 3y+ 2y = 0的特征方程为讥-3r + 2 = 0，解之得r1 -1，丁 2所以微分方程y 3y + 2y二e的通解为y = c ex + c e2x + y* = c ex + c e2x + e2x + (1+ x)ex = c ex + c e2x + xex.121212五、(此题总分值9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积，用微元法.x2 + y2 2x 等价于(x 1)2 + y2 1.解法一：考虑对y的积分，则边界线为如右图所示.当y t y + dy时,x1 = 1 L 与 3 二 y (0 y 1),所以对于 j ：1 y2 dy,令 y = sin t，则 dy = cos tdt,所以j1J1 - y2 dy = j 2 cos2 tdt = j 2 (1+ cos 2t)dt = t + sin 2t 0 0 2 0 2对于j 1(1 y )2 dy = j 1(1 y )2 d (1 y)=0 0(1 y )3所以y2 - (1_ y)2 dy解法二:取x为积分变量，则边界线为y = J2x - x2 与 y2 = x(0 x 1),1 2 如右图所示.当 x T x + dx 时，所以 V = 2q j 1(2 x)( 2x x 2 x)dx.0令 x 1 二 t，则 x = 1 +1, dx = dt，所以旳0(1 t) J2(l+1) - (1+1 )2 (1+1) dt =J0 71 12 N1t2 +12 1 dt.1再令 t = sin9，贝y dt = cos9d9 ,j J1 t2 t J1 t2 +12 1 dt =所以1L兀114兀1=+ + 1 =43343j0 (cos9 sin 9 cos9 + sin2 9 1)cos 9 d0Q2所以V = 2qj 1(2 x)( 2x x2 x)dx = 2兀(_兀一一).o43六、(此题总分值9分)【解析】这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题 设圆锥底半径为R ,如图，BC = R, AC = h,OD = r .BC oD花=-,AD-OA2-OD2，有Rrhr=n R =-h(h r )2 r 2h 2 2hrV =兀 R 2 h =兀 r 233(2 r h )h 2r于是圆锥体积对上式两端对h求导，并令V = 0，得“12h(h - 2r) - h 21h(h - 4r)MV 二兀 r 2二兀 r 2二 0h3(h - 2r )23(h - 2r )2得唯一驻点h二4r，且J 2r h 4r, V 04r h 08 所以h = 4r为极小值点也是最小值点，最小体积V(4r) = 3兀r3.七、(此题总分值9 分)【解析】首先应简化不等式，从中发觉规律.当x 0,常数a e时，原不等式两边取自然对数可化为ln(a+ x) lnaa ln(a + x) (a + x)ln a 或 e, x 0,知 ln a 1,a 0(x 0). a+x从而f (x)为严格单调递增函数，且即(a+ x)ln a-aln(a+ x) 0，所以(a + x)a a e 时，有 f (x) = a e为严格单调递减函数，即f (x + a) f (a)，ln(a + x) lna所以有，a+ x a即(a + x)a aa+ x .八、(此题总分值9 分) 【解析】证法一：用微分中值定理.对任意给定的x w 0,a，由拉格朗日中值定理，得由 f (0) = 0，知f (x) = f(g )x.因为M = maxi f (x) I，所以0 x aI f (x) I=I f (g) I x Mx，将两边从0 T a做x的定积分，有Jal f (x) I dx M Ja0 0 2由定积分的根本性质可知I Ja f (x)dx I Jal f (x) I dx 0 0 2证法二：用牛顿-莱布尼茨公式.对任意给定的Xe 0,a,以及f (0) = 0,可知j xf(t)dt 二 f (x)- f (0)二 f (x),0从而 I f (x) I jx I f(t) I dt Mx ,0 以下同证法一.证法三：分部积分法.ja(a 一 x) f (x)dx .0-f (a )(a - a) f (0)(0 a) + Ja (a 一 x) f (x) dx =0所以1ax 一 x 2=1 Ma 2假设函数F(x)严格单调减少，则F(x) = 2 -丄x所以函数f (x)单调减少区间为0 x 0,那么函数y = f (x)在a,b上单调增加;(2)如果在(a,b)内f(x) 0,那么函数y = f (x)在a,b上单调减少.(4)【答案】 2cos -1/2 x+C