线代期末复习课件

线性代数期末复习线性代数期末复习1线代期末复习题型分析：题型分析：填空题、选择题填空题、选择题 15-3015-30%基本计算题基本计算题 75-5075-50%证明题证明题 10-2010-20%2线代期末复习务必掌握的计算：务必掌握的计算：1 1、三、四阶行列式、三、四阶行列式、n n 阶行列式、阶行列式、箭形行列式箭形行列式、范德蒙行列式的计算。范德蒙行列式的计算。2 2、解非齐次线性方程组（含参数）。、解非齐次线性方程组（含参数）。或向量组的线性表出问题。或向量组的线性表出问题。3 3、求矩阵的秩（向量组的秩与最大无关组）、求矩阵的秩（向量组的秩与最大无关组）、求矩阵的逆（如求矩阵的逆（如 解矩阵方程）。解矩阵方程）。4 4、求平面与直线的方程及位置关系。、求平面与直线的方程及位置关系。5 5、用正交变换化实二次型为标准形。、用正交变换化实二次型为标准形。或化二次方程为标准方程或化二次方程为标准方程 或或(用正交矩阵将实对称用正交矩阵将实对称)矩阵对角化矩阵对角化(方阵的方阵的k k次幂）。次幂）。或已知实对称阵或已知实对称阵A A的特征值、特征向量，求的特征值、特征向量，求A A。或判定实二次型的正定性。或判定实二次型的正定性。3线代期末复习证明题：证明题：1 1、向量组的线性相关性、向量组的线性相关性.2 2、矩阵的可逆性、矩阵的可逆性.3 3、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的特征值与特征向量.4 4、其它。、其它。4线代期末复习n n 阶方阵阶方阵A A可逆的充要条件：可逆的充要条件：ABI A A可可逆逆R An（）A的的列列（行行）向向量量组组线线性性无无关关0AXAXb 只只有有零零解解或或只只有有唯唯一一解解；0 A AAI与与 行行等等价价；A可可表表示示为为有有限限个个初初等等矩矩阵阵的的乘乘积积；A的的特特征征值值非非零零；5线代期末复习设设n n阶方阵阶方阵A A满足：满足：则则（2 2）kAkA的特征值为（的特征值为（）；）；（3 3）A Ak k的特征值为（的特征值为（）；）；（1 1）A AT T的特征值为（的特征值为（）；）；（4 4）A A可逆时，可逆时，A A-1-1的特征值为（的特征值为（）；）；（5 5）A A可逆时，可逆时，A A*的特征值为（的特征值为（）；）；（6 6）设）设则则f(A)f(A)的特征值为（的特征值为（）k k A()f ,0 A特征向量为特征向量为 矩阵的特征值与特征向量：矩阵的特征值与特征向量：1 01()kkf Aa Ia Aa A 1 32IAA 例例如如：的特征值（的特征值（）1 132 6线代期末复习特征向量的性质：特征向量的性质：1 1 111,.(0)rrrAkkA若是的对应于 的特征向量则也是 对应于 的特征向量。2 2 矩阵矩阵 A A 不同特征值对应的特征向量线性无关不同特征值对应的特征向量线性无关.3 3 实对称矩阵实对称矩阵 A A 不同特征值对应的特征向量相互正不同特征值对应的特征向量相互正交。交。.21An nnnaaa 221121 7线代期末复习向量组的线性相关性：向量组的线性相关性：1 1、若、若 1 1,2 2,s s线性无关，线性无关，,1 1,2 2,s s线线性相关，则性相关，则 可由可由 1 1,2 2,s s线性表出，且表达式线性表出，且表达式唯一。唯一。2 2、若向量组、若向量组()()可由组可由组()()线性表出，则线性表出，则 R(R(）R()R()3 3、若向量个数、若向量个数“多多”的向量组可由个数的向量组可由个数“少少”的线性表出，的线性表出，则则“多多”的向量组必线性相关。的向量组必线性相关。4 4、整体无关，则部分无关。（部分相关则整体相关）。、整体无关，则部分无关。（部分相关则整体相关）。5 5、维数小于个数的向量组必线性相关。、维数小于个数的向量组必线性相关。8线代期末复习 1 1,2 2,n n线性无关线性无关 AXAX=0 0 只只有零解有零解.R(1 1,2 2,n n)=n;)=n;R An（）,若若x x1 1 1 1+x x2 2 2 2+x xm m m m=0=0，则则有有 x x1 1=x x2 2=x xm m=0=0 A=(A=(1 1,2 2,n n)9线代期末复习1 1、AXAX=0 0 有非零解有非零解 A A的的列向量组列向量组 1 1,2 2,n n线性相线性相关关 ()R An设设A A=(=(1 1,2 2,n n),),线性方程组解的存在性：线性方程组解的存在性：2.AX2.AX=0 0 只有零解只有零解A A的的列向量组列向量组 1 1,2 2,n n线性无线性无关关 ()R An(n(n为为A A的列数！的列数！n n亦为方程未知量的个数！）亦为方程未知量的个数！）10线代期末复习3 3、AXAX=b b 有解有解 b b可由可由 1 1,2 2,n n线性表出线性表出 r rA AR RA AR R )()(r nrn 此此时时当当时时，有有无无穷穷多多个个解解；当当时时有有唯唯一一解解）11线代期末复习2 2、平面及直线的方程及位置关系。、平面及直线的方程及位置关系。1 1、向量的加、减、数乘、内积、外积、混合积。、向量的加、减、数乘、内积、外积、混合积。空间解析几何：空间解析几何：3 3、三类二次曲面的标准方程及图形、三类二次曲面的标准方程及图形,柱面方程柱面方程与旋转面方程及图形与旋转面方程及图形.12线代期末复习实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 .,AC定理:对任一实对称矩阵都存在正交矩阵使121nC AC.,21的的特特征征值值是是矩矩阵阵其其中中An 即即:实对称阵必可对角化！实对称阵必可对角化！TC AC 实对称阵实对称阵A A与与 既相似又合同！既相似又合同！12(,)ndiag 13线代期末复习用正交变换化实二次型为标准形用正交变换化实二次型为标准形Tf(X)X AX X=CY2221122nnyyy 对任实二次型对任实二次型f(X),f(X),都存在正交变换都存在正交变换X=CYX=CY,使使其中其中 1 1，2 2 ，n n是是A A 的特征值的特征值.定理定理:注：注：1.1.可逆变换不改变二次型的正、负惯性指数，可逆变换不改变二次型的正、负惯性指数，因此因此可逆变换也不改变二次型的正定性可逆变换也不改变二次型的正定性.2.2.可逆变换不改变二次型的秩。可逆变换不改变二次型的秩。14线代期末复习223,50,AAAA 设设 是是秩秩为为 的的 阶阶实实对对称称矩矩阵阵 且且则则 的的特特征征值值为为055 ，(2002(2002级期末考试题级期末考试题)填空题填空题:15线代期末复习()A 椭椭圆圆线线()B双双 曲曲 线线2222221xyxyR+-在在 中中表表示示的的图图形形是是()()C椭椭 圆圆 柱柱 面面()D双双 曲曲 柱柱 面面A.答答案案：（）222122212xyxy二次型+-的矩阵为二次型+-的矩阵为 是一个正定矩阵是一个正定矩阵选择题选择题:-16线代期末复习A A ABAB=O设，为满足的任意两个非零矩阵，则必有（）。（20042004年考研题一）年考研题一）()AA的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；()AB的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关；()AC的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关；()AD的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关；选择题选择题:17线代期末复习A A122.(1,0,2),(0,1,1)TTAXOA设都是线性 方程组的解，则（）。()-21 1A；20-1()011B；（20032003级期末考题）级期末考题）-102()01-1C；01-1()4-2-2011D；（9292年考研一）年考研一）选择题选择题18线代期末复习()m nAR Amn 6.6.设的秩,下述结论中正确的是(）设的秩,下述结论中正确的是(）()A Am的的任任意意个个列列向向量量必必线线性性无无关关；()B Am的的任任意意一一个个 阶阶子子式式不不等等于于零零；()0CAx 齐齐次次线线性性方方程程组组只只有有零零解解；()DAxb 非非齐齐次次线线性性方方程程组组必必有有无无穷穷多多解解；D D选择题选择题19线代期末复习D D AB设，为n阶实对称矩阵，则 A与B合同的充要条件为（）。（线性代数单元检测题三）（线性代数单元检测题三）()AA与B有相同的特征值；()AB与B有相同的秩；()AC与B有相同的行列式；()AD与B有相同的正,负惯性指数；选择题选择题20线代期末复习.,.0,.,0,:.12nn1223n-1nnA nnAAAAA 七七设设 为为 阶阶矩矩阵阵为为 唯唯列列向向量量,求求证证不不能能对对角角化化,.12n 第第1 1步步:证证明明线线性性无无关关:,.,0,1223n-1nnAAAA 分分析析 由由B第第2 2步步:矩矩阵阵A A与与 相相似似，所所以以它它们们有有相相同同的的特特征征值值及及秩秩。B010(,.)(,.)11012n12nA 得得0An 是是 的的 重重特特征征根根。（线性代数单元检测题三）（线性代数单元检测题三）21线代期末复习1211112,=,niiiinAnnAA 设 是 阶方阵是一组 维向量,满足,+(i=2,3.n)，其中0(i=1,2,3.n),证明：线性无关。（20092009年期末考题年期末考题1010分）分）0122线代期末复习,A BnAnAABBA 设都是 阶矩阵，有 个互不相同的特征值，证明：的特征向量也是B的特征向量的充分必要条件是 例例(2005年数学竞赛题10分),ABBA解：（充分性）若,0,BOBB （2 2）当当时时是是 的的特特征征向向量量B从而 是 的特征向量。ABB ,BBABABBA必必要要性性：A则则 可可对对角角化化,A 是 的单特征根12,nAnP PP若 有 个线性无关的特征向量:若 有 个线性无关的特征向量:12,nBnP PP也也有有 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量:(1)BOBA当当时时，是是 对对应应于于 的的特特征征向向量量.0A设B也可对角化,也可对角化,(2015(2015年期末考试题年期末考试题8 8分）分）23线代期末复习r1 1、证证明明：秩秩为为r r的的对对称称矩矩阵阵可可以以表表示示成成 个个秩秩等等于于1 1 的的对对称称矩矩阵阵之之和和证证明明：100rTddAPP 243PAr设设对对称称矩矩阵阵 的的秩秩为为，则则有有可可逆逆矩矩阵阵P P使使得得：1121200000rTTTrnnn rdPP PdPPdP 01,idir 其其 中中(见见P212P212定理定理1 1）24线代期末复习222123121323222312312342222,(,),(,),3 .TTfxxxx xx xx xfyyXx x xYy yyC 、设设二二次次型型经经正正交交变变换换X X=C CY Y化化为为其其中中是是 阶阶正正交交矩矩阵阵，求求常常数数，111,11A解：012又，为其特征值，于是：011111kkIAkk（注意：此题没要求求正交变换！）（注意：此题没要求求正交变换！）322(1)2(1)(1)kk22221 2(1)00201 2(1)0 设实二次型设实二次型25线代期末复习T7AnABAB+B、设设 为为 阶阶实实对对称称矩矩阵阵，证证明明：满满秩秩的的充充要要条条件件是是存存在在实实矩矩阵阵，使使 A A为为正正定定矩矩阵阵。证明：TABB A若正定，0AX 即只有零解()TTxABB A x0,Ax x0,()()TTAxBxBxAx从而A是可逆的（即满秩）A“”若 满秩，-1B=A令，TAB+B A=2I此时是正定矩阵TTTx ABxx B Ax0,()TBxAx即0,0 则 x26线代期末复习9AB0 、设设、是是同同阶阶正正定定矩矩阵阵，证证明明：d de et t(A A-B B)的的根根都都是是正正根根。证明：0由A-B0TI-P BPB 是正定，0T即 I-P BP的根全为正数APITA正定，存在可逆阵P，使 P0TPAP-BTP BP也是正定的27线代期末复习22101522190 xyzyxyz 2 2、求求圆圆 的的圆圆心心和和半半径径。2210A(0,5,0)5xyzy 2 2解解：表表示示以以为为球球心心，为为半半径径的的球球面面。联联立立此此直直线线方方程程和和平平面面方方程程可可求求得得交交点点即即为为待待求求之之圆圆心心：A22190 xyz 过过 点点做做一一条条直直线线和和所所表表平平面面垂垂直直，522xyz 此直线方程为：此直线方程为：1 1 22190522xyzxyz 1 11,7,2xyz 解解之之，得得：22217523圆心到球面球心距离为：圆心到球面球心距离为：22534于于是是圆圆半半径径为为 28线代期末复习xyz1DSS29线代期末复习2222219222444,CxayzbxyxzyzxyCza b 、已已知知二二次次曲曲面面方方程程 可可以以经经过过正正交交变变换换化化为为椭椭圆圆柱柱面面方方程程求求的的值值和和正正交交矩矩阵阵111111bAba 解：该二次曲面对应二次型的矩阵为：解：该二次曲面对应二次型的矩阵为：0 1 4A的特征值为，的特征值为，111131,0 1 4111 此此时时A A=下下面面分分别别计计算算特特征征值值，所所对对应应的的单单位位特特征征向向量量：2014det()0 1 4aA 由题意可知由题意可知31ab .30线代期末复习谢谢大家！31线代期末复习123 ,(1,2,3)iiiia xa ya zbi选择题：设有三张不同平面的方程它们组成的 线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩 为2，则这三平面可能的位置关系为（）。（年考研一）（年考研一）(A)三平面交于一点；(B)三平面交于一条直线；(C)两两相交（三条交线不同）；(D)两两相交于二条直线；32线代期末复习下列矩阵中，正定矩阵是（下列矩阵中，正定矩阵是（）.（A A）（B B）；（C C）；（；（D D）123275350123245357520262024520263031C选择题选择题:33线代期末复习P208P208，1818、某生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的、某生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，人数统计，然后然后将将1/61/6熟练工支援其它部门，其缺额熟练工支援其它部门，其缺额由招收新的非熟练工补充。新老非熟练工经培训及由招收新的非熟练工补充。新老非熟练工经培训及年终考核有年终考核有2/52/5成为熟练工。设第成为熟练工。设第n n 年一月份统计的年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为熟练工和非熟练工所占百分比分别为x xn n,y,yn n,记为记为 nnxy（1 1）求）求 与与 的关系，并写成矩阵形式。的关系，并写成矩阵形式。11nnxy解：解：116nnnxxx21()56nnyx92105nnxy1ny13105nnxy31()56nnyxnnxy34线代期末复习192105nnnxxy113105nnnyxy119210513105nnnnxxyy9210513105A令11nnnnxxAyy35线代期末复习1112312xy（）当时，求11nnxy1241(2)11A 验证，是 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值。11nnnnxxAyy（3）9210513105A11 1222AA，解：（2）由，2121831211023()2nn（）11可求得，11nxAy36线代期末复习111112111112111,11(1)2nnnnnnnnnHHHHHHHHHHHHHHHH22设确定矩阵的阶,并计算和;(2)证明（20102010年期末考题年期末考题1010分）分）37线代期末复习谢谢大家！谢谢大家！38线代期末复习