《MATLAB矩阵及运算》PPT课件.ppt

第二章 矩阵及其运算 2.1 表达式（语句） 2.2 矩阵的产生与操作 2.3 矩阵的基本运算 2.4 高维矩阵 2.5 特殊符号 2.6 基本数学函数 2.1表达式 MATLAB采用 表达式语言形式， 语句常用的形式： 例 ： 1.3+2*0.9 %值存放在默认变量 ans中 a=1.3+2*0.9 x=rand(2,4) %产生 2*4大小的随机矩阵 如果表达式过长，可分装在几行，行末加三个点 ， 表示下一行是续行。 z=3*(1-x).2.*exp(-(x.2)-(y+1).2)-10*(x/5-x.3-y.5). .*exp(-x.2-y.2)- 1/3*exp(-(x+1).2 - y.2); 2.1表达式 表达式的组成： 1） 数值 2） 变量 3） 操作符 4） 函数 2.1.1 数值 在 MATLAB中，所有的数都用浮点双精度类型来存 储和运算。 （实矩阵的每个元素占 8个字节，复矩阵的 每个元素占 16个字节） 缺点： 浪费内存、降低运算的速度。 优点： 省略了定义数据类型的语句，而且编程时 无须考虑数据类型的匹配问题，减少了出错的可能。 这种战略取得了成功：使人们不在编程细节上化 精力， 把注意力集中到科学计算的方法和建模合理性等 大问题上。 重点 2.1.1 数值 MATLAB采用十进制表示形式 合法的数值形式举例： 3 -99 0.001 .19 -5.1+6.8i 7.8-6j （ 虚数 ） 9.4e6 1.3e-3 -4.5E33 （ 科学表示法 ） 2e3.4 e后面不允许小数形式 2.1.2 变量 变量的命名规则： 1）变量名、函数名对字母的 大、小写敏感 。 2）变量名由 字母、数字和下划线 构成。第一个 字母 必须是英文字母 。 3）有字符个数限制（版本 5.0 ：最多 31个字符） 2.1.2 变量 MATLAB系统默认变量 （注意大小写！） i 或 j : 虚单元 正确： 5+7j 错误： 5 j7 pi : 圆周率 ans : 计算机结果的缺省变量名 eps ： 机器的零阈值 2.2204e-016 Inf 或 inf : 正无穷大 NaN 或 nan : 不定值（即无效数据） 重点 可以表示 无穷大 、 不定值 ，说明 matlab容错性强 运算优先级： 算术运算符 关系运算符 逻辑运算符 圆括号可以改变其顺序 ! 2.1.3 操作符 MATLAB操作符包括： 算术运算 关系运算 逻辑运算 位运算 其他操作符 重点 一 )算术运算符 ：加法 ：减法 * ：矩阵乘法（叉乘） .* ：矩阵元素乘法 / ：矩阵右除法 ./ ：矩阵元素右除法 ：矩阵左除法 . ：矩阵元素左除法 ：矩阵指数 . ：矩阵元素指数 ：复共轭转置 . ：非共轭转置 二）逻辑运算符 针对元素 注释 行末的 ; 用于 抑制 结果在屏幕上显示 例如 ： sin(a)， sin(b) ， a+b 同在一行的表达式，必须用 ， 分开 可通过 输入每个元素的方式 产生 可以通过 数据文件 产生 可以通过 MATLAB提供的 标准函数 产生 直接调用其他 M文件 ，即可使用 已有的矩阵变 量 2.2 矩阵的产生与操作 矩阵的产生： 在 MATLAB中， 矩阵 放在 中，行元素用 ， 或 用空格分开，一行元素输入结束后，用 ； 或用回车 隔开。 如： a=1 4 6;5 8 9;6 3 2 当矩阵中某些元素之间数值连续时 如： a=1 2 3 4 5 可用冒号（ :）操作符使输入简化 即 a= 1:5 通过直接输入元素的方式产生矩阵 输入方法一： a= 1 2 3 ； 5 6 7 输入方法二： a= 1 , 2 , 3 5 , 6 , 7 因为数值连续，所 以有方法三： a= 1:3 ; 5:7 举例： 通过数据文件产生矩阵 例如，我们已经得到一个数据文件，名为 mydata.dat，里面存放一个 5*3的数组，则可 用命令： load mydata.dat 得到矩阵 mydata。 应用：可以和其它语言程序进行数据通信。 举例： 通过 MATLAB提供的函数产生矩阵 用内部函数可生成一些特殊矩阵 （函数见书上 P50） 重点 1、单位矩阵（ E方阵）和广义单位矩阵的 产生 重点 通过 MATLAB提供的函数产生矩阵 2、 随机数矩阵的产生 随机数的产生常常用在控制系统仿真以 及信号分析，是一个非常重要的手段。 MATLAB提供了很好的随机数产生函数： rand（） randn（） 通过 MATLAB提供的函数产生矩阵 1）产生 0， 1之间的均匀分布的随机数 : 重点 通过 MATLAB提供的函数产生随机矩阵 2）产生元素在 m， n间分布的随机数： 重点 通过 MATLAB提供的函数产生随机矩阵 3）产生均值为 0，方差为 1的标准正态分布随机数： 重点 问题：为什么这 5个随机数相加均值不等于 0？ 该函数是产生了随机数，但是可能个数为 10000或更多，均值为 0。 该函数仅仅是从中抽取了几个显示给用户。 通过 MATLAB提供的函数产生随机矩阵 4）产生均值为 m，方差为 q2的正态分布随机数： 通过 MATLAB提供的函数产生随机矩阵 3、 对角矩阵的产生 第一步： 给出对角线上的元素，放在一个向量 V中。 第二步： 用函数 A=diag(V); 可产生相应的对角矩阵。 通过 MATLAB提供的函数产生矩阵 4、用其它函数也可间接产生用户想要的矩阵 通过 MATLAB提供的函数产生矩阵 通过用户编写 M文件的方式产生矩阵 例 : A， B， C矩阵是用户自定义的大矩阵，经常 要用到，就应编写一个 M文件保存。 要使用这些矩阵时，执行所在 M文件。 演示 旋转 重新排列 复制 翻转 拼接 行列删除 2.2 矩阵的产生与操作 重点 矩阵的操作 1）矩阵的旋转 矩阵元素的排列旋转 90度： B=rot90(A) 逆时针旋转 90度 2）矩阵的重新排列 将矩阵的元素重新排列： reshape（矩阵，行数，列数） 按原矩阵的列 顺序 重点 3）矩阵的复制 将矩阵元素复制： repmat(原矩阵 ,行复制数 ,列复制数 ) 重点 4）矩阵的翻转 fliplr( ) 将矩阵左右镜像翻转 flipud( ) 将矩阵上下镜像翻转 A = 9 6 8 4 2 4 7 0 c1 = fliplr(A) 4 8 6 9 0 7 4 2 C2 = flipud(A) 2 4 7 0 9 6 8 4 5）矩阵的拼接 通过连接符 ，可将小矩阵拼接成大矩阵 注意： 横拼接 : ， 纵拼接 : ; 例 1 例 3 例 2 重点 6）矩阵的行列删除 利用空矩阵 可从矩阵中删除指定的行或列 重点 思考： size（ ） 2.3 矩阵的基本运算 复习 线性代数 基础知识： 1)加、减法： 同尺寸矩阵 A+B=(aij+bij) m n 2)数乘：设 Am n，则 kA=(kaij)m n。 3)矩阵 乘法：设 Am k， Bk n 矩阵 A的列数要等于矩阵 B的行数 则 AB=Cm n cij=ai1b1j+ai2b2j+ 矩阵乘法不满足交换律，即一般 AB BA。 复习线性代数基础知识： 4)转置：把矩阵的行换成列 （ Am n） = An m 5）逆阵： 对 n阶 方阵 A（ 必须是方阵 ） ，如果有一个 n阶方阵 B， 使得 : AB=BA=E 则称 : 方阵 A是可逆的， 方阵 B是为 A的逆阵， 记为 B=A-1 2.3 矩阵的基本运算 选择矩阵元素 a(i,j)表示矩阵 a的第 i行第 j列的元素。 a(i,： )表示矩阵 a的第 i行所有列的元素 例 1 例 3 重点 例 2 2.3 矩阵的基本运算 矩阵元素的运算 ：加法 ：减法 .* ：矩阵元素乘法（点乘） ./ ：矩阵元素右除法 . ：矩阵元素左除法 . ：矩阵元素指数 ：复共轭转置 . ：非共轭转置 矩阵的运算 * ：矩阵乘法（叉乘） / ：矩阵右除法 ：矩阵左除法 1、算术运算 重点 加、减 对应的矩阵元素相运算 点乘 元素对元素乘法 叉乘 矩阵对矩阵乘法 对比举例 矩阵的右除、左除 MATLAB的基本处理单元是复数矩阵 (标量是一 个 1*1的矩阵 )。而在 线性代数 理论中没有除 法运算。所以定义了除法为乘法的逆运算。 注意：因为矩阵乘法不满足交换律，即一般 A*B B*A，所以除法要考虑 “ 右除 ” 、 “ 左除 ” 。 ）视作推出： 则有如果： 左除推导： ）视作推出： 则有如果： 右除推导： AABC ABCBAC BBAC BABBCABC B(* *B*,*B /A(* *,* 1 11 1 11 1*/ BABA BABA * 1 重点 矩阵的右除、左除 Matlab右除法表示形式： C=A/B 或 C=A * i n v ( B ) Matlab左除法表示形式： C=AB 或 C=i n v ( A ) * B 注意：只有行列式不为 0的方阵才存在逆阵！ 则在 MATLAB中运行结果： 43 21 aa aa A 43 21 bb bb B 1 1 2 2 3 3 4 4 / . / . / a b a b A B B A a b a b AB abab abab BA /. / / . 4433 2211 重点 矩阵元素的右除、左除 分析： K/N K*inv(N) 因为 N不是方阵，没有 逆阵，所以报告错误。 KN inv(K)*N 因为 K的逆阵尺寸 2 2， N的尺寸 2 3，所以结 果矩阵 2 3。 则 MATLAB中 A.B的结果： 43 21 aa aa A 43 21 bb bb B 43 21 43 21. bb bb aa aa BA 矩阵元素的指数运算 %复共轭转置 %非共轭转置 . 矩阵元素的复共轭转置和非共轭转置 2、 关系运算 : 小于 : 大于 = : 大于等于 = : 等于 = : 不等于 注意： 两个矩阵的尺寸应相同 分别比较对应位置上的元素 比较结果为 1或 0 重点 2、 关系运算 00 10 98 03 15 40 BA B A 11 01 BA 3、逻辑运算 运算符： % eps0 B 0 2 4 1.2; C=xor(A,B) C= 0 1 0 0 重点 2） all(x) 1）函数作用在向量上时： 判别向量的元素是否 全部非 0。 2） 函数作用在矩阵上时： 判别矩阵的每列是否 全部非 0。 函数的返回值为 0（假）或 1（真） 重点 3） any(x) 1）函数作用在向量上时： 判别向量是否 有非 0的元素 2） 函数作用在矩阵上时： 判别矩阵的每列是否 有非 0的元素 函数的返回值为 0（假）或 1（真）。 重点 4） find(x) 函数功能：找出矩阵 x中的非 0元素及其下标 1)函数输出 1个变量 2)函数输出 2个变量 3)函数输出 3个变量 注意：按照竖列的搜索顺序 ! 重点 函数输出 1个变量时： 返回值： 非 0元素的搜索次序 函数输出 2个变量时： 返回值： 非 0元素的行下标、 列下标 函数输出 3个变量时： 返回值： 行下标、列下标、非 0元素值 5） isnan(x) 找出矩阵 x中含有的 Nan数据 （无效数据的来源 ： 0/0， Inf/Inf） 应用举例： 每一列是一个采样样本，请删除含有无效数据的样本。 (1) 找到无效数据 的位置 (2) 进行数据的再处 理（删除无效数据 ） 重点 其他常见函数 sum（） 对矩阵按列求和 或对向量求和 length( ) 测出向量长度 size( ) 测出矩阵大小 det( ) 求矩阵对应的行列式 重点 length 功能：求向量长度 格式： n length(x) 当 x为向量时，它等于向量的长度。当 X 是矩阵时，可得到 X的 最长维 尺寸。 X 5， 7， 9， 0； n length(X) 思考： n？ X 5,7,1;9,11,0； n length(X) 思考： n？ X rand(5， 12， 3)； n length(X) 思考： n？ size 功能：求阵列维大小 x rand(2,4,8) ； d= size(x) m size(x,2) 思考： d？ m？ d=2 4 8 m=4 x 1,2,4 0,8,9 2,3,7 1,4,2 ； d= size(x) m size(x,2) 思考： d？ m？ d=4 3 m=3 2.4 高维矩阵 大于 2维的矩阵称为高维矩阵。 习惯上称三维矩阵的第一维为 行 ，第二维 为 列 ，第三维为 页 。 访问矩阵 A中第 2页中的第三行第四列的元素， 使用下标 A（ 3， 4， 2） 2.4.1 高维矩阵的产生 方法一：直接对高维 赋值 （注意：自动补零） 重点 2.4.1 高维矩阵的产生 方法二：用拼接函数 cat，用低维矩阵拼成高维矩阵 回忆：通过连接符 ，可将小二维矩阵拼接成大二维 矩阵。（，表示横拼接 ；表示纵拼接） 有相似功能的函数： cat（拼接模式 ,矩阵 1，矩阵 2） 拼接模式： 1 纵拼 2 横拼 3 层拼 重点 等价为 A;B 等价为 A,B 或 A B 利用 cat函数产生 2.4.1 高维矩阵的产生 方法三：用函数 reshape 例： A=1:18; reshape(A,2,3,3); 表示把向量 A中的 118的数 放在一个 2*3*3的矩阵中。 注意排列次序！ 2.4.2 高维矩阵的标识 1、 函数： ndims( ) 得到多维矩阵的维数 2.4.2 高维矩阵的标识 2、 函数： size( ) 得到各维的尺寸 2.4.2 高维矩阵的标识 3、 函数： length( ) 得到向量的长度 或 得到矩阵的维数中 最大的那个 2.4.4 高维矩阵的应用 图像处理 1.真彩色位图文件的读入函数 x=imread( test.bmp ); 得到一个 8位的 m*n*3的数组； x(:,:,1)：为红色分量 x(:,:,2): 为绿色分量 x(:,:,3): 为蓝色分量 因为在 MATLAB中 unit8型数据不能直接运算 ; 所以如果需要运算的话，必须先转换数据类型。 x=double(x); 2.4.4 高维矩阵的应用 图像处理 2.真彩色位图文件的写回函数 imwrite(x, test.bmp ); 3.真彩色位图显示函数 imagesc(x); 图象处理通常是先读入图像文件，作了滤镜效果后， （每一种滤镜都代表着一种数学处理方法），显示在屏幕 上，如果保留则写回文件。 思考：如何实现 红色滤镜效果 clear all %先清空工作空间 x=imread(苹果 1.bmp);%读入图像数据 figure(1);%设置 1号图形窗口 imagesc(x);%显示苹果图像 y=double(x);%将 unit8型转换为双精度型 y(:,:,1)=0;%设置红色分量为 0 y=uint8(y);%转换为 unit8型 figure(2);%设置 2号图形窗口 imagesc(y);%显示苹果图像 %去红色 y(:,:,1)=0 %去绿色 y(:,:,2)=0 %去蓝色 y(:,:,3)=0 思考：如何将图片旋转 90度显示？ 感兴趣的同学可以尝试： 用 MATLAB可以自己实现 photoshop中 的各种滤镜功能，关键是数学算法！ 比如：如何将图片左右镜像翻转显示？ 如何提高图片的亮度？ 如何对图片去噪？ 2.5 特殊符号 1） 符号的作用是： a. 用来生成一个向量 /矩阵 例如： a= b, b+3; 2*b,6-b; b. 空矩阵（可以删除矩阵中不需要的部分） 例如： a(:,3)= ; a(3,:)= ; c. 可以作为多输出函数的输出变量的列表 例如： i, j, s =find(any(x); 重点 2.5 特殊符号 2） . 符号的作用是： a. 用来表示一个小数点 例如： a = 10. 32 ; b. 用来表示矩阵元素对元素的运算 例如： c = a . * b ; c. 可以用来对结构的域进行访问 例如： a . field; （面向对象） 重点 2.5 特殊符号 3） ： 符号的作用是： 例子 等价为 A=1:4 A=1,2,3,4 A=1:0.5:4 A=1.0,1.5,2.0,2.5.3.0,3.5,4 A（ 1,: ) A的第 1行的所有元素 A=( 1, :， 4 ) A的第 1行、第 4页上的所有元素 A（：） 将 A的所有元素排成列向量 4)% 符号的作用是：注释符 重点 P15：常用标点的功能 2.6 基本数学函数 基本数学函数是 MATLAB系统提供给用户进行 基本数学运算的函数。 基本数学函数均是对阵列中的 元素 作用。 2.6.1 三角函数 1）正弦函数和双曲正弦函数： Y=sin(X); Y=sinh(X); 2) 余弦函数和双曲余弦函数： Y=cos(X); Y=cosh(X); 3）反正弦函数和反双曲正弦函数： Y=asin(X); Y=asinh(X); 4）反余弦函数和反双曲余弦函数： Y=acos(X); Y=acosh(X); 重点 2.6.1 三角函数 5）正切函数和双曲正切函数： Y=tan(X); Y=tanh(X); 6）反正切函数和反双曲正切函数： Y=atan(X); Y=atanh(X); 其它三角函数请同学自己看书 2.6.2 指数和对数函数 1）指数函数 Y=exp(X);如果 x=a+jb,则 : 2）对数函数 自然对数： Y=log(X); 常用对数： Y=log10(X); 以 2为底的对数： Y=log2(X); 如果 x=a+jb,则： log(x)=log(abs(x)+j*atan2(b,a) 重点 2.6.2 指数和对数函数 4) 平方根函数 y=sqrt(x); 思考：复数的平方根 3) 以 2为指的函数： pow2是 log2的逆函数 ， y=pow2(x)可得 到 2的 x次幂。 重点 2.6.3 复数函数 1）实数的绝对值和复数的模 y=abs(x) 2) 求相角函数 y=angle(x) 3) 复共轭函数 y=conj(x) 4）取实部函数 y=real(x) 取虚部函数 y=imag(x) 重点 2.6.4 取整和求余函数 1) 四舍五入取整函数 y=round(x) 2）符号函数 y=sign(x); 2.6.4 取整和求余函数 3)取余函数 z=mod(x,y); x：被除数； y：除数 z是 x/y后的余数 注意： x的元素可是小数，不能是复数 y的元素可是小数 本 章 总 结 表达式 1、数值 2、变量（ 命名规则，默认变量 ） 3、操作符（ 算术，关系，逻辑等 ） 4、函数（ 分类，用法 ） 总 结 矩阵 1、表示 2、产生（ 直接输入，文件，系统函数产生，用户程序 ） 3、操作（ 6种 ） 矩阵运算 （ 算术，关系，逻辑和常用函数 ） 测试 生成 -2， 2之间的均匀分布的随机数数组 ， 其 命令为： ； 生成均值为 5， 方差为 9的正态分布的随机数数 组 ， 其命令为： 。 A=1 2 3;4 5 6;3 2 1; B=A ; C=A.*B; C(: , 1)=_ 已知 A=1 2 5 6; D=diag(A,-1); D= _。 测试 已知 A=1， 2， 3； 4， 5， 6； 7， 8， 9， B=3， C=A+B， 令 C（ 2： 2： 8） = ， 则 C= 。 已知 A=eye(2,3); C=A ; B=reshape(1:6, 3,2); 则 B+C=_。 编程：产生一个（ 0， 1）间随 机分布的 10 5矩阵 a，然后统 计 a中大于 0.6且小于 0.7的元 素个数 number，如果 number 小于 10，向用户报告 符合条 件的元素太少！ 。 参考程序 ： a=rand(10,5); N=a0.6&a0.7 number=sum(sum(N) if number10 disp(符合条件的元素太少！ ) end END Y=sin(X) Y=sinh(X) Y=exp(X) Y=log(X)