向量及其代数运算课件

1/281机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束用代数的方法来研究几何问题用代数的方法来研究几何问题2/282机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、向量概念一、向量概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影六、小结六、小结 思考题思考题3/283机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束向量：向量：既有大小又有方向的量。既有大小又有方向的量。如位移、速度、加速度、力等。如位移、速度、加速度、力等。向量表示：向量表示：1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量.21MM00a模长为模长为0 0 的向量的向量.0|a21MM|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.或或或或或或1 1、概念概念单位向量：单位向量：零向量零向量自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.ab负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.a a a向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点M M与原点构成的向量与原点构成的向量.OM4/284机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2 2、两非零向量的关系、两非零向量的关系相等：相等：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.abba 记记平行或共线：平行或共线：方向相同或相反的两个非零向量方向相同或相反的两个非零向量.ba/记记垂直：垂直：方向成方向成9090夹角的两个非零向量夹角的两个非零向量.ba 记记【注意注意】由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为零向量与任何向量都零向量与任何向量都平行平行或或垂直垂直。共面：共面：把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.向量的夹角向量的夹角5/285机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1 1、向量的加减法、向量的加减法 加法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac （平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）6/286机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：交换律：交换律：.abba 结合律：结合律：cbacba )().(cba 加负律：加负律：.0)(aa 减法减法)(baba abb b cbabac )(ba ba ab7/287机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2 2、向量与数的乘法、向量与数的乘法 定义：定义：,0)i|aa ,0)ii0 a,0)iii|aa aa2a21 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：结合律：结合律：)()(aa a)(分配律：分配律：aaa )(baba )(线性运算：线性运算：向量的加法及数乘统称为向量的向量的加法及数乘统称为向量的线性运算线性运算。8/288机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例1 1】化简化简 53215abbba【解解】53215abbbaba 551251)31(.252ba 【例例2 2】试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形平行四边形.【证证】AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证.ABCDMab课本【例课本【例1】9/289机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束ea设 表示与非零向量同方向的单位向量，按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，|aa e.|aea上式表明上式表明一个非零向量除以它的模的结果是一个与一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量原向量同方向的单位向量.单位向量的表示单位向量的表示【注意注意】与三个坐标轴同向的单位向量的记法与三个坐标轴同向的单位向量的记法.,kji10/2810机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束.0ababa ，使，使是：存在唯一的实数是：存在唯一的实数的充分必要条件的充分必要条件平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理两个向量的平行关系两个向量的平行关系【证证】充分性显然；充分性显然；下面证明必要性下面证明必要性,/ab设设,ab 取取取正值，取正值，同向时同向时与与当当 ab取取负负值值，反反向向时时与与当当 ab.ab 即即有有.同同向向与与此此时时ab aa 且且aab.b.的的唯唯一一性性再再证证明明，设设ab ，又又设设ab 两式相减，得两式相减，得，0)(a ，即即0 a ，0 a，故故0 .即即11/2811机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【注注】此定理是建立数轴的理论依据此定理是建立数轴的理论依据.,OxiO确确定定了了数数轴轴及及单单位位向向量量设设点点 Oix,P对于轴上任一点对于轴上任一点P,OP对应一个向量对应一个向量,/xiOP数数所所以以，必必存存在在唯唯一一的的实实由由于于.,一一对应一一对应与实数与实数并且并且使使xOPi xOP 向向量量点点Pi xOP x实数实数 (的坐标）的坐标）P.i xOPxP 的的坐坐标标为为1x12/2812机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz坐标系坐标系或或 O;i,j,k 坐标系坐标系三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.1 1、坐标系的构成、坐标系的构成 坐标轴：坐标轴：横轴、纵轴、竖轴横轴、纵轴、竖轴 坐标面：坐标面：xOy面、面、yOz面、面、zOx面面 卦限：卦限：、13/2813机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限14/2814机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束空间的点空间的点M M有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0,0,0(O),(zyxM xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C2 2、点、向量与坐标、点、向量与坐标 11kzj yi xOMr 向向量量的的坐坐标标分分解解式式15/2815机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束加法加法),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 1 1、向量的加减法与数乘、向量的加减法与数乘;kajaiazyx ;kbjbibzyx 减法减法数乘数乘2 2、平行向量的坐标表示式、平行向量的坐标表示式abba /),(),(zyxzyxaaabbb zzyyxxababab 16/2816机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例2.求解以向量为未知元的线性方程组解解:2 3,得)10,1,7(代入得)16,2,11(ayx35byx23.211,212），（），（其中babax32)3(21bxy17/2817机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解解】【例例3 3】求解以向量为未知元的线性方程组求解以向量为未知元的线性方程组 byxayx232).4,1,5(),2,1,3(ba其其中中解二元一次方程组，易得解二元一次方程组，易得).(21,2bayabx 得得的的坐坐标标表表示示式式代代入入以以,ba),6,3,7()2,1,3()4,1,5(2 x).1,1,1()4,1,5(21)2,1,3(21 y【例例4 4】已知两点已知两点A(x1,y1,z1)和和B(x2,y2,z2)以及实数以及实数-1 1，在，在直线直线AB上求点上求点M，使，使.MBAM 【解解】),(111zzyyxxAM ),(222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，ABMxyzo18/2818机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束由题意知：由题意知：MBAM ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzz,221xxx ,221yyy .221zzz 19/2819机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束向量的模向量的模:1 1、向量的模与两点间的距离公式、向量的模与两点间的距离公式:有有如如下下图图所所示示作作设设向向量量,),(rOMzyxr ),(zyxMxyzoPQRNKHOROQOPOMr 按勾股定理可得按勾股定理可得.|222OROQOPOMr|,|,|,|zORyOQxOP 有有,kzORj yOQi xOP 由由 .|222zyxr 式式示示于是得向量模的坐标表于是得向量模的坐标表两点间的距离公式两点间的距离公式:),(),(222111zyxBzyxA和和点点设设有有点点由由的的模模即即向向量量的的距距离离和和点点则则点点.|ABABBA),(),(111222zyxzyxOAOBAB ),(121212zzyyxx ,两两点点间间的的距距离离即即得得BA.)()()(|212212212zzyyxxABAB 20/2820机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解解】221MM,14)12()31()47(222 232MM,6)23()12()75(222 213MM,6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.【例例6 6】已知两点已知两点A(5,3,1)和和B(1,0,5),求与求与.eAB共共线线的的单单位位向向量量【解】【解】OAOBAB )1,3,5()5,0,1().4,3,4(.414)3()4(|222 AB).4,3,4(411|ABABe于是于是21/2821机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例.在在 z 轴上求与两点轴上求与两点)7,1,4(A等距解解:设该点为,),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B.),0,0(914M思考思考:(1)如何求在 xOy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?离的点.22/2822机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束(1)如何求在 xOy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?)7,1,4(A)2,5,3(B提示:(1)设动点为,)0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2)设动点为,),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z23/2823机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解解】设设P P点坐标为点坐标为),0,0,(x 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x,22 x 1PP,22PP112 x222 x,1 x所求点为所求点为).0,0,1(),0,0,1(24/2824机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2 2、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦空间两向量的夹角的概念空间两向量的夹角的概念:,0 a,0 bab),(ba ),(ab 类似地类似地，可定义，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0 0与与 之间任意取值之间任意取值.0()25/2825机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角方向角.方向角方向角显然有显然有xyzo 1M 2M PQR.,的的三三个个方方向向角角为为记记非非零零向向量量 r,0 ,0 .0 方向余弦方向余弦由图分析可知由图分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz 方向余弦通常用来表示方向余弦通常用来表示向量的方向向量的方向.),(zyxr 令令向量的向量的方向余弦方向余弦方向余弦的特征方向余弦的特征1coscoscos222 re|rr).cos,cos,(cos 特殊地：特殊地：单位向量的方向余弦为单位向量的方向余弦为26/2826机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例7.已知两点已知两点)2,2,2(1M和,)0,3,1(2M的模、方向余弦和方向角.解解:,21,23)20计算向量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM27/2827机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例8.设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解:已知角依次为,43求点 A 的坐标.,4,3则222coscos1cos41因点 A 在第一卦限,故,21cos于是6,cos,coscos)3,23,3(故点 A 的坐标为.)3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,6AO且OA第二节 OAeAO6,21,222128/2828机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3 3、向量在轴上的投影、向量在轴上的投影PxM交交点点为为轴轴垂垂直直的的平平面面作作与与过过点点如如图图,OzxyMNP x轴与向量轴与向量 的关系的关系OMr ,i xOPxrOP 进而由进而由轴上的分向量轴上的分向量在在为为则则.cos|,rxxx 且且轴轴上上的的坐坐标标可可得得向向量量在在向量在向量在u轴上投影轴上投影uMOM e).(,如图如图轴轴确定确定及单位向量及单位向量设点设点一般地一般地ueO.)(Pr,),(,uurrjureMOurMOuMMMuuMrOMr或或记记作作轴轴上上的的投投影影在在称称为为则则数数设设轴轴上上的的分分向向量量在在称称为为则则向向量量轴轴上上的的投投影影在在叫叫轴轴于于点点垂垂直直的的平平面面交交轴轴作作与与再再过过点点作作任任给给向向量量 29/2829机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束即即的的投投影影在在三三坐坐标标轴轴上上即即中中的的坐坐标标在在直直角角坐坐标标系系,aaaaOxyzazyx向量在三坐标轴上的投影向量在三坐标轴上的投影ajaajaajazzyyxxPr,Pr,Pr zzyyxxaaaaaa ,或或记记作作向量投影的性质向量投影的性质 ),cos(|)uaaaiu .)uuubabaii .)uuaaiii 30/2830机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解解】pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 31/2831机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束例9.第二节 设立方体的一条对角线为OM,一条棱为 OA,且,aOA 求OA 在 OM 方向上的投影.解解:如图所示,记 MOA=,cosAOMOMOA313aacosPrjOAOAOM32/2832机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、向量概念一、向量概念1 1、概念、概念2 2、两非零向量的关系、两非零向量的关系二、向量的线性运算二、向量的线性运算1 1、向量的加减法、向量的加减法2 2、向量与数的乘法、向量与数的乘法三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系1 1、坐标系的构成、坐标系的构成2 2、点、向量与坐标、点、向量与坐标四、利用坐标作向量的线四、利用坐标作向量的线性运算性运算1 1、向量的加减法与数乘、向量的加减法与数乘2 2、平行向量的坐标表示式、平行向量的坐标表示式五、向量的模五、向量的模,方向角方向角,投影投影1 1、向量的模与两点间的距离、向量的模与两点间的距离公式公式2 2、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦3 3、向量在轴上的投影、向量在轴上的投影六、小结六、小结思考题思考题在空间直角坐标系中，指在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？出下列各点在哪个卦限？,)3,2,1(A,)4,3,2(B,)4,3,2(C.)1,3,2(D1 1、向量的加减法与数乘、向量的加减法与数乘2 2、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦A:;B:;C:;D:;