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抽样分布根据样本统计量去估计总体参数,必须知道样本统计量分布。定义6.2 某个样本统计量的抽样分布,从理论上说就是在重复选取容量为 n 的样本时,由每一个样本算出的该统计量数值的相对数频数分布或概率分布。由于现实中我们不可能将所有的样本都抽出来,因此,统计的抽样分布实际 上是一种理论分布。(一)样本均值的抽样分布从单位数为 N 的总体中抽取样本容量为 n 的随机样本,在重复抽样的条件下共有Nn个可能的样本,在不重复抽样条件下,共有Cn =N! 个可能样本。N n!(N - n)!对于每一个样本,我们都可以计算出样本的均值X(或S2或p),因此,样本均值是 一个随机变量。所有的样本均值形成的分布就是样本均值的抽样分布。例64设一个总体含有4个个体(元素),即N=4,取值分别为:x = 1 x = 2 x = 3 x = 41234总体分布为均匀分布,如图 6.1 所示。0.30.250.20.10 1 2 3图 61总体均值:参考一一页眉页脚可删除总体方差:b 2 / (X X)2 二 1.25n若重复抽样,n=2则共有42 = 16个可能样本。具体列示如表5.1.1。表 6.1 可能的样本及其均值样本均值X抽样分布的形状与原有总体的分布有关,如果原有总体是正态分 布,样本均值也服从正态分布。如果总体分布是非正态分布,当x为大样本(n 30 )时,样本均值的分布 趋于服从正态分布;当 x 为小样本时,其分布不是正态分布。下面再让我们来看看样本均值X抽样分布的特征:数学期望和方差。设总体共有N个元素,其均值为卩,方差为b 2,从中抽取容量为n的样本。E(X) = X = X =卩(6.1)b2b2 =_ (重复抽样)(62)x nb2 =21 (Nn)(不重复抽样)(63)X n N -1对于无限总体,样本均值的方差,不重复抽样也可按重复抽样来处理;对于 有限总体,当N很大,而n / N又很小,修正系数N-n会趋于1,不重复抽样也 N -1可按重复抽样来处理。一参考页眉页脚可删除-样本均值X抽样分布的特征一数学期望和方差的计算公式,可以通过例6.4 加以验证。16样本均值的均值X二10+15 + 35 + 4.0二40二2.5二卩16样本均值的方差c2 =工(无_卩)2 =10 =125 =兰X n 16 2 np ( X )0.30.20.1ABC1Xfr?=w121.010.062531.520.125042.030.187552.540.250063(30.187573.520.125084.010.0625.9合计1.0000表 6.2 样本均值的抽样分布01.01.52.02.53.03.54.0图 6.2样本均值的抽样分布二)抽样比例的抽样分布比例即结构相对数,即成数。总体比例兀二NNN1 兀二一0-N样本比例p二ninn1 p = 0 n当 n 很大时,样本比例 p 的抽样分布可用正态分布近似。参考一一页眉页脚可删除对于样本比例P,若np 5和n(l-p) 5,就可以认为样本容量足够大了。E (P)=兀(6.4)c2 =旦匕巴(重复抽样)(65)Pnc2 = 吐巴GNn)(不重复抽样)(66)p nN -1与样本均值分布的方差一样,样本比例的方差,对于无限总体,不重复抽样也可按重复抽样来处理;对于有限总体,当N很大,而n/N 5%,修正系数NN -1会趋于 1,不重复抽样也可按重复抽样来处理。
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