样本均值的抽样分布

抽样分布根据样本统计量去估计总体参数，必须知道样本统计量分布。定义6.2 某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为 n 的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对数频数分布或概率分布。由于现实中我们不可能将所有的样本都抽出来，因此，统计的抽样分布实际 上是一种理论分布。（一）样本均值的抽样分布从单位数为 N 的总体中抽取样本容量为 n 的随机样本，在重复抽样的条件下共有Nn个可能的样本，在不重复抽样条件下，共有Cn =N! 个可能样本。N n!（N - n）!对于每一个样本，我们都可以计算出样本的均值X（或S2或p）,因此，样本均值是 一个随机变量。所有的样本均值形成的分布就是样本均值的抽样分布。例64设一个总体含有4个个体（元素），即N=4,取值分别为：x = 1 x = 2 x = 3 x = 41234总体分布为均匀分布，如图 6.1 所示。0.30.250.20.10 1 2 3图 61总体均值：参考一一页眉页脚可删除总体方差：b 2 / （X X）2 二 1.25n若重复抽样，n=2则共有42 = 16个可能样本。具体列示如表5.1.1。表 6.1 可能的样本及其均值样本均值X抽样分布的形状与原有总体的分布有关，如果原有总体是正态分 布，样本均值也服从正态分布。如果总体分布是非正态分布，当x为大样本（n 30 ）时，样本均值的分布 趋于服从正态分布；当 x 为小样本时，其分布不是正态分布。下面再让我们来看看样本均值X抽样分布的特征：数学期望和方差。设总体共有N个元素，其均值为卩，方差为b 2，从中抽取容量为n的样本。E（X） = X = X =卩（6.1）b2b2 =_ （重复抽样）（62）x nb2 =21 （Nn）（不重复抽样）（63）X n N -1对于无限总体，样本均值的方差，不重复抽样也可按重复抽样来处理；对于 有限总体，当N很大，而n / N又很小，修正系数N-n会趋于1,不重复抽样也 N -1可按重复抽样来处理。一参考页眉页脚可删除-样本均值X抽样分布的特征一数学期望和方差的计算公式，可以通过例6.4 加以验证。16样本均值的均值X二10+15 + 35 + 4.0二40二2.5二卩16样本均值的方差c2 =工（无_卩）2 =10 =125 =兰X n 16 2 np ( X )0.30.20.1ABC1Xfr?=w121.010.062531.520.125042.030.187552.540.250063(30.187573.520.125084.010.0625.9合计1.0000表 6.2 样本均值的抽样分布01.01.52.02.53.03.54.0图 6.2样本均值的抽样分布二）抽样比例的抽样分布比例即结构相对数，即成数。总体比例兀二NNN1 兀二一0-N样本比例p二ninn1 p = 0 n当 n 很大时，样本比例 p 的抽样分布可用正态分布近似。参考一一页眉页脚可删除对于样本比例P，若np 5和n（l-p） 5，就可以认为样本容量足够大了。E （P）=兀（6.4）c2 =旦匕巴（重复抽样）（65）Pnc2 = 吐巴GNn）（不重复抽样）（66）p nN -1与样本均值分布的方差一样，样本比例的方差，对于无限总体，不重复抽样也可按重复抽样来处理;对于有限总体，当N很大，而n/N 5%，修正系数NN -1会趋于 1，不重复抽样也可按重复抽样来处理。