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第第2424章章 圆圆知识体系复习知识体系复习湖北郧县城关一中湖北郧县城关一中 熊勇熊勇本章知识结构图圆的基本性质圆的基本性质圆圆圆的对称性圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系正多边形和圆正多边形和圆有关圆的计算有关圆的计算点和圆的位置关系点和圆的位置关系切线切线直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形的外接圆三角形内切圆三角形内切圆等分圆等分圆圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系弧长弧长扇形的面积扇形的面积圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积第第1部分部分 圆的基本性质圆的基本性质第第2部分部分 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系本本章章重重点点内内容容第第3部分部分 正多边形和圆正多边形和圆第第4部分部分 弧长和面积的计算弧长和面积的计算第第5部分部分 有关作图有关作图一一.圆的基本概念圆的基本概念:1.圆的定义圆的定义:到到 的距离等于的距离等于 的点的的点的集合叫做圆集合叫做圆.2.有关概念有关概念:(1)弦、直径弦、直径(圆中最长的弦圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、弧、优弧、劣弧、等弧等弧（能能完全重合的弧，完全重合的弧，只能只能在在同圆或等圆同圆或等圆中出现中出现）(3)弦心距弦心距O定点定点定长定长二二.圆的基本性质圆的基本性质1.圆的对称性圆的对称性:(1)圆是圆是 图形图形,都是它的对称轴都是它的对称轴.圆有圆有 条对称轴条对称轴.(2)圆是圆是 图形图形,并且绕圆心旋转并且绕圆心旋转 都能与自身重合。都能与自身重合。经过圆心的每一条直线经过圆心的每一条直线无数无数中心对称中心对称任何角度任何角度轴对称轴对称2.垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦,并并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧.ADBPCCD是圆是圆O的直的直径径,CDABAP=BP,ACBC=ADBD=垂径定理的推论：垂径定理的推论：判断：平分弦的直径垂直于弦（判断：平分弦的直径垂直于弦（）ADBPC 平分弦平分弦（非直径）（非直径）的直径垂直于的直径垂直于弦弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.ODCBA1、如图、如图,已知已知 O的半径的半径OA长长为为5,弦弦AB的长的长8,OCAB于于C,则则OC的长为的长为 _.OABC3AC=BC弦心距弦心距半径半径半弦长半弦长垂径定理垂径定理的应用的应用方法：方法：在在 O中，若中，若 O的的半径半径r、圆心距圆心距d、弦长弦长a中，中，任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据定理构造定理构造直角三角形直角三角形求求出第三个量。出第三个量。垂径垂径2：如图，圆：如图，圆O的弦的弦AB8 ，直径直径CEAB于于D，DC2，求半径求半径OC的长。的长。DCEOAB垂径定理的垂径定理的应用应用方法：方法：在在应用垂径定理进行计算时（多数在求半径应用垂径定理进行计算时（多数在求半径时）经常需要时）经常需要列方程。列方程。3、如图，、如图，P为为 O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点，PAAB2，PO5，求，求 O的半径。的半径。关于弦的问题，常常关于弦的问题，常常需要需要过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的这是一条非常重要的辅助辅助线线。把圆心到弦的把圆心到弦的垂线段垂线段、半径半径、一半弦长一半弦长构成直角构成直角三角形，便将问题转化为三角形，便将问题转化为直角三角形的问题直角三角形的问题。MAPBOA方法、技方法、技巧巧3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)在在同圆或等圆同圆或等圆中中,如果圆心角相等如果圆心角相等,那么它所那么它所对的弧相等对的弧相等,所对的弦相等所对的弦相等.(2)在在圆圆中中,如果弧相等如果弧相等,那么它所对的圆心角相那么它所对的圆心角相等等,所对的弦相等所对的弦相等.(3)在在同圆或等圆同圆或等圆中中,如果弦相等如果弦相等,那么它所对那么它所对的的劣弧与优弧分别相等劣弧与优弧分别相等,所对的圆心角相等所对的圆心角相等.ABDCO COD=AOBABCD=AB=CD 4.圆周角圆周角:定义定义:顶点在圆周上，两边和圆相顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做交的角，叫做圆周角圆周角.性质性质(1)：在同一个圆中在同一个圆中,同弧所对同弧所对的圆周角等于它所对的的圆周角等于它所对的圆心角圆心角的的 .OABCBAC=BOC12一半一半OBADEC 在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有同弧或等弧所对的所有的圆周角相等的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.圆周角的性质圆周角的性质(2)ADB与与AEB、ACB 是同弧所对的圆周角是同弧所对的圆周角ADB=AEB=ACB性质性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于都等于 。性质性质4:90900 0的圆周角所对的弦是圆的的圆周角所对的弦是圆的 .OABCAB是是 O的直径的直径 ACB=900圆周角的性质圆周角的性质:90900 0(直角直角)直径直径.ABCOD3.6 作作圆的直径圆的直径找找90900 0的圆周角的圆周角也是圆里常用的辅助线也是圆里常用的辅助线技巧：技巧：例例2.在在 O中，弦中，弦AB所对的圆心角所对的圆心角AOB=100，则弦则弦AB所对的圆周角为所对的圆周角为_.500或或1300切记：切记：一条弦一条弦所对的所对的圆心角圆心角只有只有一个一个，但所对的，但所对的圆周角圆周角却有却有两类两类，是是互补互补的。的。P2P1BAO(2)点在圆上点在圆上(3)点在圆外点在圆外(1)点在圆内点在圆内1.点和圆的位置关系点和圆的位置关系ACB如果规定点与圆心的距离为如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径圆的半径为为r,则则d与与r的大小关系为的大小关系为:点与圆的位置关系点与圆的位置关系 d d与与r r的关系的关系 点在圆内点在圆内点在圆上点在圆上点在圆外点在圆外drdrdr三三.与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系:2.直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系:OOOl ll ll l(1)相离相离:(2)相切相切:(3)相交相交:一条直线与一个圆一条直线与一个圆没有公共点没有公共点,叫做叫做直线与这个圆直线与这个圆相离相离.一条直线与一个圆一条直线与一个圆只有一个公共点只有一个公共点,叫叫做直线与这个圆做直线与这个圆相切相切.一条直线与一个圆一条直线与一个圆有两个公共点有两个公共点,叫叫做直线与这个圆做直线与这个圆相交相交.OOl l(1)当直线与圆当直线与圆相离相离时时(2)当直线与圆当直线与圆相切相切时时;(3)当直线与圆当直线与圆相交相交时时.直线与圆位置关系的识别直线与圆位置关系的识别:drl ldrOl ldr设圆的半径为设圆的半径为r,圆心到直线的距离为圆心到直线的距离为d,则则:drd=rdr.1.与圆只有与圆只有一个公共点一个公共点的直线。的直线。2.2.圆心到直线的距离等于圆的圆心到直线的距离等于圆的半径半径的直线是圆的切线的直线是圆的切线。3.经过半径的经过半径的外端外端且且垂直于这条半径垂直于这条半径的直线是圆的切线的直线是圆的切线。OAl lOAOA是半径是半径,OA,OA l l直线直线l l是是OO的切线的切线.例例1 1 ABAB在在O O的直径，点的直径，点D D在在ABAB的延长线的延长线上上,且且BDBD=OBOB,点点C C在在O O上上,CABCAB=30=30证明：证明：CDCD是是O O的切线的切线 A B C D O 只要只要连接连接OCOC，然然后证明后证明OCOCCDCD方法：方法：条件：已经知道要证的条件：已经知道要证的直线经过了圆上直线经过了圆上的一点的一点。过圆心过圆心D D点作点作DFDFACAC于于F F，然后证明然后证明垂线段垂线段DFDF半径半径BDBD即可。即可。技巧：技巧：条件中不知道要证的条件中不知道要证的切线切线是否经过了圆上的点是否经过了圆上的点。切线的性质切线的性质:圆的切线垂直于圆的切线垂直于 .OAl OA l l直线直线l l是是 O的切线的切线,切切点为点为A过切点的半径过切点的半径.切线长定理：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们从圆外一点引圆的两条切线，它们的的切线长相等切线长相等；这点与圆心的连线；这点与圆心的连线平分平分这两条切线的夹角这两条切线的夹角。BAPOPA、PB为为 O的切线的切线PA=PB,APO=BPO二、过三点的圆及外接圆1.1.怎样的三点确定一个圆？怎样的三点确定一个圆？三点确定一个圆三点确定一个圆 2.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）？村庄距离相等）？不在同一直线上不在同一直线上OCAB 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接外接圆圆，外接圆的圆心叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的外心外心，三角形叫做，三角形叫做圆的圆的内接三角形内接三角形。问题问题1 1：如何作三角形的外接圆？：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？如何找三角形的外心？OCBA三角形的外接圆三角形的外接圆 三角形的三角形的外心外心就是三角形就是三角形 的的交点交点.外心到三角形外心到三角形 的距离相等。的距离相等。三个顶点三个顶点三边垂直平分线三边垂直平分线OCAB思考：思考：三角形的外心一定在三角形内吗？三角形的外心一定在三角形内吗？OCABABCABC是直角三角形是直角三角形OCABABC是锐角三角形是锐角三角形OCABABC是钝角三角形是钝角三角形内内外外在斜边的中点处在斜边的中点处 锐角三角形锐角三角形的外心在三角形的外心在三角形_，直角三角形直角三角形的外心在三角形的外心在三角形_ _ _，钝角三角形钝角三角形的外心在三角形的外心在三角形_。三角形的外心位置：三角形的外心位置：三角形的内切圆三角形的内切圆:OABC 三角形的三角形的内心内心就是三角形就是三角形 的的交点交点.内心到三角形内心到三角形 的距离相等。的距离相等。三内角平分线三内角平分线三边三边等边三角形的外心与内心等边三角形的外心与内心 .重要结论重要结论内切圆半径与外接圆半径的比是内切圆半径与外接圆半径的比是 。OABCD1:2.1:2.重合重合.OABCOABCDFEDFE若若 ABC各边分别切圆各边分别切圆O于点于点D、E、F.(2)DEF=900-A21(3)S ABC=(a+b+c)r21重要结论重要结论(1)D0F=1800-AABCOEFD 在在Rt ABC中中,ACB=900,三边三边分别是分别是a、b、c,内切圆半径是内切圆半径是r,则则:内切圆半径内切圆半径r=a+b-c2重要结论重要结论ab求得求得r=S ABC=(a+b+c)r=ab2121a+b+c或者由或者由ECBAOD常见的基本图形及结论常见的基本图形及结论:1.如图如图,在以在以O为圆心的为圆心的两个同心圆中两个同心圆中,大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C、D,则则:AC=BD若大圆的弦切小圆于若大圆的弦切小圆于C,则则OACBAC=BC两圆之间的环形面积两圆之间的环形面积S=AB241与圆有关的辅助线的作法：与圆有关的辅助线的作法：辅助线，辅助线，莫乱添，莫乱添，规律方法记心间；规律方法记心间；圆半径，圆半径，不起眼，不起眼，角的计算常要连，角的计算常要连，构成等腰解疑难；构成等腰解疑难；切点和圆心切点和圆心，连结要领先连结要领先；遇到直径想直角，遇到直径想直角，灵活应用才方便。灵活应用才方便。弦与弦心距弦与弦心距，亲密紧相连；亲密紧相连；EF HG3.如图，如图，O为为ABC的内切圆，切点分的内切圆，切点分别为别为D，E，F，P是弧是弧FDE上的一点，若上的一点，若A+C=110度，则度，则FPE=_度度CoDEABFP4 4如图，已知如图，已知ABC的三边长分别为的三边长分别为AB=4cm，BC=5cm，AC=6cm，O是是ABC的内切圆，切点分的内切圆，切点分别是别是E、F、G，则，则AE=，BF=，CG=。圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系:.外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含O1O2O1O2O1O2O2O1O1O2 两圆的位置关系数量关系及识别方法 外离 外切 相交 内切 内含dR+rd=R+rd=R-rdR-rR-rdR+r三三.正多边形正多边形:2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径个正多边形的半径.中心：一个正多边形外接圆的圆心中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心叫做这个正多边形的中心3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角的圆心角叫做这个正多边形的中心角4.边心距：中心到正多边形一边的距离边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距叫做这个正多边形的边心距OABFDCEG3 正多边形和圆正多边形和圆（1）.有关概念有关概念（2）.常用的方法常用的方法（3）.正多边形的作图正多边形的作图EFCD.边心距r中心角边OABCRd12a2221()2adRa1.1.圆的周长和面积公式圆的周长和面积公式2.2.弧长的计算公式弧长的计算公式3.3.扇形的面积公式扇形的面积公式S=360nr2L L=180nr=12l lr rS或或四四.圆中的有关计算圆中的有关计算:周长周长C=2r面积面积s=r2Or4.圆锥的展开图圆锥的展开图:底面底面侧面侧面aahrS侧侧=r aS全全=r a+r21、如图如图,当半径为当半径为30cm的转动轮转过的转动轮转过120时时,传送带上的物体传送带上的物体A平移的距离为平移的距离为_.AlA BC l分析分析：以以ABAB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。就是求两个圆锥的侧面积。D C B A4.如图，圆锥的底面半径为如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为，母线长为8cm，一只蚂蚁从底面圆周上一点，一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发，出发，沿圆锥侧面爬行一周回到沿圆锥侧面爬行一周回到A点，求蚂蚁爬点，求蚂蚁爬行的最短路线长是多少？行的最短路线长是多少？BAOAOPBADC3.如图如图,已知已知PA、PB切圆切圆O于点于点A,B,过弧过弧AB上任一点上任一点E作圆作圆O的切线的切线,交交PA,PB于点于点C,D,则则:(1)PCD的周长的周长=2PA(2)COD=900-APB21E
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