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2014年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷学校 姓名 准考证号 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1下列分数中，能化为有限小数的是（ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) 【B】2下列命题中，真命题是（ ）(A)周长相等的锐角三角形都全等； (B) 周长相等的直角三角形都全等；(C)周长相等的钝角三角形都全等； (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等D3. 在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图像与反比例函数y= 的图像没有公共点， 则 (A) k1+k20 (C) k1k20【C】4. 如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂 有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是(A)(B)(C)(D)【B】5.如图5，四边形ABCD是梯形，ADBC，CA是的平分线，且则=（ ） A B C D【B】6. 如图，在ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE若BD平分ABC，则下列结论不一定成立的是A.BDAC B.AC2=2ABAE C.ADE是等腰三角形 D. BC2AD.【D】7两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，那么六条直线最多有（ ）A21个交点 B18个交点 C15个交点 D10个交点答案：C8如图，A与B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若CED，ECD，B的半径为R，则的长度是（ ）A B C D 答案：B二、填空题（本题共16分，每小题4分）9RtABC中，已知C90，B50，点D在边BC上，BD2CD（图4）把ABC绕着点D逆时针旋转m（0m180）度后，如果点B恰好落在初始RtABC的边上，那么m_80或120ABCDB1CD10. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形ABCD的位置， 旋转角为a (0a90)。若1=110，则a= 。【20】11. 如右图，直线AB交双曲线于、B，交x轴于点C,B为线段AC的中点，过点B作BMx轴于M，连结OA.若OM=2MC,SOAC=12.则k的值为_.【8】12如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 答案：三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.计算： .14.已知，关于x的方程的两个实数根、满足，求实数的值. 15已知，求代数式的值（1）（本小题满分4分）（2）（本小题满分6分）解：原方程可变形为：. 5分、是方程的两个根，0,即：4（m +1）2-4m20, 8m+40, m.又、满足,=或=- , 即=0或+=0, 8分由=0,即8m+4=0,得m=.由+=0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意，舍去)所以,当时，m的值为. 10分16已知：如图，点在同一条直线上，求证：.17如图，在平面直角坐标系中，RtABC的三个顶点分别是A（3，2），B（0，4），C（0，2）（1）将ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的C；平移ABC，若A的对应点的坐标为（0，4），画出平移后对应的；（2）若将C绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标；（3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标解析：（1）画出A1B1C如图所示：（2）旋转中心坐标（，）；（3）点P的坐标（2，0）18. (9分) 某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机 抽取了150名学生进行抽样调查。整体样本数据，得到下列图表：某校150名学生上学方式频数分布表方式划记频数步行正正正15骑车正正正正正正正正正正正51乘公共交通工具正正正正正正正正正45乘私家车正正正正正正30其它正正9合计150某校150名学生上学方式扇形统计图其它步行骑车乘私家车乘公共交通工具6%10%34%30%20% (1) 理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽 样是否合理？请说明理由： (2) 根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计700人数某校2000名学生上学方式条形统计图600500400300200100步行骑车乘公共交通工具乘私家车其它上学方式 图； (3) 该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议。如：骑车上学的学 生数约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地。请你结合上述统计的全过 程，再提出一条合理化建议： 。21. (本题9分) 解：(1) 不合理。因为如果150名学生全部在同一个年级抽取，那么全校每个学生被抽到 的机会不相等，样本不具有代表性。 (2分)700人数某校2000名学生上学方式条形统计图600500400300200100步行骑车乘公共交通工具乘私家车其它上学方式 (3) 本题答案不唯一，下列解法供参考。 乘私家车上学的学生约400人，建议学校与交通部门协商安排停车区域。 (9分)四、解答题（本题共20分，每小题5分）19(本题满分10分) 某地下车库出口处”两段式栏杆”如图71所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图72所示，其示意图如图73所示，其中AB上BC，EFBC，EAB=143，AB=AE=12米求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度(即直线EF上任意一点到直线BC的距离)。(结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计)参考数据：sin370.60，cos37080，tan370.7522、解：分别延长BA和FE交于点M.EFBC，ABBC，AME=90。EAB=143，MAE=37。在RtAME中，MA=AEMB=MA+AB0.96MB=MA+AB2.2.所以，当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度为2.2米。20. （本题满分10分）问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B,连接A B与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用： 如图(b)，已知，O的直径CD为4，点A 在O 上，ACD=30，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为_ （2）知识拓展：如图(c)，在RtABC中，AB=10，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程 20.(本题满分10分) 4分（2）解：如图，在斜边AC上截取AB=AB,连结BB. AD平分BAC，点B与点B关于直线AD对称. 6分过点B作BFAB,垂足为F,交AD于E，连结BE,则线段BF的长即为所求.(点到直线的距离最短) 8分在RtAFB/中，BAC=450, AB/=AB= 10，BE+EF的最小值为. 10分21. “端午”节前，小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为；妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为（1）请你用所学知识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算）19.(本题满分10分)解：（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子分别为x只、y只， 1分根据题意得： 4分解得： 经检验符合题意，所以爸爸买了火腿粽子5只、豆沙粽子10只. 6分（2）由题可知，盒中剩余的火腿粽子和豆沙粽子分别为2只、3只，我们不妨把两只火腿粽子记为a1、a2；3只豆沙粽子记为b1、b2、b3,则可列出表格如下：a1a2b1b2b3a1a1 a2a1b1a1b2a1b3a2a2 a1a2 b1a2 b2a2 b3b1b1 a1b1a2b1 b2b1 b3b2b2 a1b2a2b2b1b2 b3b3b3 a1b3a2b3b1b3b28分 10分ABCDOMP22. 如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O 的弦。过点B作BC/AD，交圆O于点C，连接AC，过 点C作CD/AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC 于点M，交过点C的直线于点P，且BCP=ACD。 (1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由： (2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。25. (本题8分) 解法一：(1) 直线PC与圆O相切。jABCDOMPN 如图j，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。 AB/CD，BAC=ACD。 BAC=BNC，BNC=ACD。 BCP=ACD，BNC=BCP。 CN是圆O的直径，CBN=90。 BNC+BCN=90，BCP+BCN=90。 PCO=90，即PCOC。 又点C在圆O上，直线PC与圆O相切。 (4分) (2) AD是圆O的切线，ADOA，即OAD=90。 BC/AD，OMC=180-OAD=90，即OMBC。 MC=MB。AB=AC。 在RtAMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC= BC=3， 由勾股定理，得AM=6。 设圆O的半径为r。 在RtOMC中，OMC=90，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(6-r)2+32=r2。解得r= 。 在OMC和OCP中， OMC=OCP，MOC=COP， OMCOCP。 = ，即 = 。 PC= 。(8分)ABCDOMPk 解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图k，连接OC。 AD是圆O的切线，ADOA， 即OAD=90。 BC/AD，OMC=180-OAD=90， 即OMBC。 MC=MB。AB=AC。MAB=MAC。 BAC=2MAC。又MOC=2MAC，MOC=BAC。 AB/CD，BAC=ACD。MOC=ACD。又BCP=ACD， MOC=BCP。MOC+OCM=90，BCP+OCM=90。 PCO=90，即PCOC。又点C在圆O上，直线PC与圆O相切。 (2) 在RtAMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC= BC=3， 由勾股定理，得AM=6。 设圆O的半径为r。 在RtOMC中，OMC=90，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(6-r)2+32=r2。解得r= 。 在OMC和OCP中，OMC=OCP，MOC=COP， OMCOCP， = ，即 = 。 PC= 。(8分)五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.如图9，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=BO=2，AOB=120。 (1)求这条抛物线的表达式； (2)联结OM，求AOM的大小； (3)如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标24.解：（1）过点A作AH垂直于x轴，垂足为H，AOB=120，AO=2，点A的坐标为（-1，）.由题意得，点B的坐标为（2,0）抛物线y=ax2+bx经过点A和点B，这条抛物线的表达式是（2）由题意得，顶点M的坐标为（1，），OM=，BOM=30。AOM=AOB+BOM=150。（3）BOM=150，OAM30，AOM30，AO=BO,AOB=120，ABO=30。ABC与AOM相似，点C应在线段OB的延长线上。ABC=150，即AOM=ABC.由点A和点B的坐标可得，AB=。分两种情况讨论：综上所述，ABC与AOM相似时，点C的坐标为（4，0）或（8,0）24（本题满分10分）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G （1）如图，若四边形ABCD是矩形，且DECF，求证； （2）如图，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当B与EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； （3）如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，BAD90，DECF，请直接写出的值解析：（1）证明：四边形ABCD是矩形，AADC90， DECF，ADEDCF，ADEDCF，（2）当B+EGC180时，成立，证明如下： 在AD的延长线上取点M，使CMCF，则CMFCFM ABCD，ACDM， B+EGC180，AEDFCB，CMFAED ADEDCM，即（3）25（本题满分12分）如图，点P是直线：上的点，过点P的另一条直线交抛物线于A、B两点（1）若直线的解析式为，求A、B两点的坐标； （2）若点P的坐标为（2，），当PAAB时，请直接写出点A的坐标；来源%:中教网# 试证明：对于直线上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PAAB成立（3）设直线交轴于点C，若AOB的外心在边AB上，且BPCOCP，求点P的坐标解析：（1）依题意，得解得， A（，），B（1，1）（2）A1（1，1），A2（3，9） 过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线，垂足分别为G、H. 设P（，），A（，），PAPB，PAGBAH，AGAH，PGBH，B（，），将点B坐标代入抛物线，得，无论为何值时，关于的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A（3）设直线：交y轴于D，设A（，），B（，）过A、B两点分别作AG、BH垂直轴于G、HAOB的外心在AB上，AOB90，由AGOOHB，得，联立得，依题意，得、是方程的两根，即D（0，1）BPCOCP，DPDC3P设P（，），过点P作PQ轴于Q，在RtPDQ中，（舍去），P（，）PN平分MNQ，PTNT， 来#源:中国教育出版&网来#源:%zzste9某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_20%18如图5，在ABC中，AB=AC，BC=8， tanC=，如果将ABC沿直线l翻折后，点B落在AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 【18.】13. OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形。若OAB的 一个内角为70，则该正多边形的边数为 。【9】xyABCDPO15. 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，AC与BD相交 于点P。已知A(2, 3)，B(1, 1)，D(4, 3)，则点P的坐标为 。【(3,7/3)】16. 计算(1-)(+)-(1-)(+)的结果是 。【1/6】16.如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_.【】
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