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第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【知识梳理【知识梳理】1.1.必会知识教材回扣填一填必会知识教材回扣填一填(1)(1)命题命题:用语言、符号或式子表达的用语言、符号或式子表达的,可以可以_的陈述句叫做命题的陈述句叫做命题.其中其中_的语句叫做真命题的语句叫做真命题,_,_的语句叫做假命题的语句叫做假命题.判断真假判断真假判断为真判断为真判断为假判断为假(2)(2)四种命题及其相互关系四种命题及其相互关系:qp若，则pq若，则qp若，则(3)(3)充要条件充要条件:若若p pq q,则则p p是是q q的的_条件条件,q,q是是p p的的_条件条件p p是是q q的的_条件条件p pq q且且q pq pp p是是q q的的_条件条件p qp q且且q qp pp p是是q q的的_条件条件p pq qp p是是q q的的_条件条件p qp q且且q pq p充分充分必要必要充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分充要充要既不充分也不必要既不充分也不必要 2.2.必备结论教材提炼记一记必备结论教材提炼记一记(1)(1)四种命题中的等价关系四种命题中的等价关系:原命题等价于原命题等价于_,_,否命题等价于否命题等价于_,_,在四种形式的命题在四种形式的命题中真命题的个数只能是中真命题的个数只能是0 0或或2 2或或4.4.(2)(2)等价转化法判断充分条件、必要条件等价转化法判断充分条件、必要条件:p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件,等价于等价于q q是是p p的的_条件条件.其他其他情况依次类推情况依次类推.逆否命题逆否命题逆命题逆命题充分不必要充分不必要(3)(3)用集合的关系判断充分条件、必要条件用集合的关系判断充分条件、必要条件:p p成立的对象构成的集合为成立的对象构成的集合为A,A,q q成立的对象构成的集合为成立的对象构成的集合为B Bp p是是q q的充分条件的充分条件_p p是是q q的必要条件的必要条件_p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件_p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件_p p是是q q的充要条件的充要条件_A AB BB BA AA A B BB B A AA=BA=B3.3.必用技法核心总结看一看必用技法核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法:充分条件、必要条件的判断方法充分条件、必要条件的判断方法:定义法、集合法、等定义法、集合法、等价转化法价转化法.(2)(2)数学思想数学思想:化归与转化思想化归与转化思想.(3)(3)记忆口诀记忆口诀:真假能判是命题真假能判是命题,条件结论很清楚条件结论很清楚.命题形式有四种命题形式有四种,分成两双同真假分成两双同真假.若若p p则则q q真命题真命题,p,p是是q q充分条件充分条件,q q是是p p必要条件必要条件,原逆皆真称充要原逆皆真称充要.【小题快练【小题快练】1.1.思考辨析静心思考判一判思考辨析静心思考判一判(1)(1)语句语句x x2 2-3x+2=0-3x+2=0是命题是命题.(.()(2)(2)一个命题的逆命题与否命题一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系它们的真假没有关系.(.()(3)(3)命题命题“如果如果p p不成立不成立,则则q q不成立不成立”等价于等价于“如果如果q q成立成立,则则p p成成立立”.(.()(4)“p(4)“p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件”与与“p p的充分不必要条件是的充分不必要条件是q”q”表达的表达的意义相同意义相同.(.()【解析【解析】(1)(1)错误错误.无法判断真假无法判断真假,故不是命题故不是命题.(2)(2)错误错误.一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题,它们的真假性它们的真假性相同相同.(3)(3)正确正确.一个命题与其逆否命题等价一个命题与其逆否命题等价.(4)(4)错误错误.“p.“p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件”即为即为“p pq q且且q p”,“pq p”,“p的充的充分不必要条件是分不必要条件是q”q”即为即为“q qp p且且p q”.p q”.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.教材改编链接教材练一练教材改编链接教材练一练(1)(1)(选修选修1-1P8T2(1)1-1P8T2(1)改编改编)命题命题“若若a,ba,b都是偶数都是偶数,则则a+ba+b是偶数是偶数”的逆的逆否命题为否命题为.【解析【解析】“a,ba,b都是偶数都是偶数”的否定为的否定为“a,ba,b不都是偶数不都是偶数,”“a+b,”“a+b是偶数是偶数”的否定为的否定为“a+ba+b不是偶数不是偶数”,故其逆否命题为故其逆否命题为“若若a+ba+b不是偶数不是偶数,则则a,ba,b不都是偶数不都是偶数”.答案答案:若若a+ba+b不是偶数不是偶数,则则a,ba,b不都是偶数不都是偶数(2)(2)(选修选修1-1P10T3(2)1-1P10T3(2)改编改编)“(x-a)(x-b)“(x-a)(x-b)=0”)=0”是是“x=a”x=a”的的条件条件.【解析【解析】x=ax=a(x-a)(x-b(x-a)(x-b)=0,)=0,反之不一定成立反之不一定成立,因此因此“(x-a)(x-b(x-a)(x-b)=0”=0”是是“x=ax=a”的必要不充分条件的必要不充分条件.答案答案:必要不充分必要不充分3.3.真题小试感悟考题试一试真题小试感悟考题试一试(1)(2014(1)(2014北京高考北京高考)设设a,ba,b是实数是实数,则则“ab”ab”是是“a a2 2bb2 2”的的()A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解题提示【解题提示】验证充分性与必要性验证充分性与必要性.【解析【解析】选选D.D.“a abb”推不出推不出“a a2 2bb2 2”,”,例如例如,2-3,2-3,但但49;4bb2 2”也推不出也推不出“ab”,ab”,例如例如,94,94,但但-32.-32.(2)(2014(2)(2014浙江高考浙江高考)设四边形设四边形ABCDABCD的两条对角线为的两条对角线为AC,BD,AC,BD,则则“四边四边形形ABCDABCD为菱形为菱形”是是“ACBD”ACBD”的的()A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析【解析】选选A.A.“四边形四边形ABCDABCD为菱形为菱形”“ACACBDBD”,“ACACBDBD”推不推不出出“四边形四边形ABCDABCD为菱形为菱形”,所以所以“四边形四边形ABCDABCD为菱形为菱形”是是“ACACBDBD”的充分不必要条件的充分不必要条件.(3)(2015(3)(2015焦作模拟焦作模拟)已知命题已知命题:如果如果x3,x3,那么那么x5;x1”m1”是真是真命题命题B.B.逆命题是逆命题是“若若m1,m1,则函数则函数f(xf(x)=e)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数”是假是假命题命题C.C.逆否命题是逆否命题是“若若m1,m1,则函数则函数f(xf(x)=e)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数”是是真命题真命题D.D.逆否命题是逆否命题是“若若m1,m1,则函数则函数f(xf(x)=e)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上不是增函数上不是增函数”是真命题是真命题(2)(2014(2)(2014陕西高考陕西高考)原命题为原命题为“若若 nNnN+,则则aan n 为递为递减数列减数列”,关于其逆命题关于其逆命题,否命题否命题,逆否命题真假性的判断依次如下逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是正确的是()A.A.真真,真真,真真B.B.假假,假假,真真C.C.真真,真真,假假D.D.假假,假假,假假nn 1naaa,2【解题提示【解题提示】(1)(1)先判断否命题先判断否命题,逆命题、逆否命题是否正确逆命题、逆否命题是否正确,再判断再判断其真假其真假.(2)(2)写出逆命题写出逆命题,利用原命题与逆否命题利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题等价来判断逆命题与否命题等价来判断.【规范解答【规范解答】(1)(1)选选D.f(xD.f(x)=e)=ex x-m,-m,由由f(xf(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数知上是增函数知f(x)0,f(x)0,即即memex x在在x(0,+)x(0,+)上恒成立上恒成立,又又e ex x1,1,从而从而m1,m1,则原命则原命题是真命题题是真命题.对于对于A,A,否命题写错否命题写错,故故A A错错;对于对于B,B,逆命题写对逆命题写对,但逆命题但逆命题是真命题是真命题,故故B B错错;对于对于C,C,逆否命题写错逆否命题写错,故故C C错错;对于对于D.D.逆否命题写对逆否命题写对,且为真命题且为真命题,故选故选D.D.(2)(2)选选A.A.由已知条件可以判断原命题为真由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真所以它的逆否命题也是真;而它的逆命题为真而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真所以它的否命题亦为真,故选故选A.A.【易错警示【易错警示】解答本例题解答本例题(1)(1)有两点容易出错有两点容易出错:(1)(1)根据根据f(xf(x)是增函数求错是增函数求错m m的取值范围的取值范围.(2)(2)把把“f(xf(x)是增函数是增函数”的否定错误地认为是的否定错误地认为是“f(xf(x)是减函数是减函数”.【规律方法【规律方法】1.1.书写否命题和逆否命题的关注点书写否命题和逆否命题的关注点(1)(1)一些常见词语及其否定表示一些常见词语及其否定表示:词语词语是是都是都是都不是都不是等于等于大于大于否定否定不是不是不都是不都是至少一个是至少一个是不等于不等于不大于不大于(2)(2)构造否命题和逆否命题的方法、注意点构造否命题和逆否命题的方法、注意点:方法方法:首先要把条件和结论分清楚首先要把条件和结论分清楚,其次把其中的关键词搞清楚其次把其中的关键词搞清楚.注意点注意点:注意其中易混的关键词注意其中易混的关键词,如如“都不是都不是”和和“不都是不都是”,其中其中“都不是都不是”是指的一个也不是是指的一个也不是,“,“不都是不都是”指的是其中有些不是指的是其中有些不是.2.2.命题真假的判断方法命题真假的判断方法(1)(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.(2)(2)利用原命题与逆否命题利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断逆命题与否命题的等价关系进行判断.【变式训练【变式训练】命题命题“若若f(xf(x)是奇函数是奇函数,则则f(-xf(-x)是奇函数是奇函数”的否命题是的否命题是()A.A.若若f(xf(x)是偶函数是偶函数,则则f(-xf(-x)是偶函数是偶函数B.B.若若f(xf(x)不是奇函数不是奇函数,则则f(-xf(-x)不是奇函数不是奇函数C.C.若若f(-xf(-x)是奇函数是奇函数,则则f(xf(x)是奇函数是奇函数D.D.若若f(-xf(-x)不是奇函数不是奇函数,则则f(xf(x)不是奇函数不是奇函数【解析【解析】选选B.B.条件的否定是条件的否定是“f(xf(x)不是奇函数不是奇函数”,结论的否定是结论的否定是“f(-f(-x x)不是奇函数不是奇函数”,故该命题的否命题是故该命题的否命题是“若若f(xf(x)不是奇函数不是奇函数,则则f(-xf(-x)不是奇函数不是奇函数”.【加固训练【加固训练】1.1.命题命题“若若=,=,则则tantan=1”=1”的逆否命题是的逆否命题是()A.A.若若 ,则则tan1tan1B.B.若若=,=,则则tan1tan1C.C.若若tan1,tan1,则则 D.D.若若tan1,tan1,则则=【解析【解析】选选C.C.原命题的逆否命题是原命题的逆否命题是“若若tantan1,1,则则 ”,故选故选C.C.4444442.2.关于命题关于命题“若抛物线若抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的开口向下的开口向下,则则x|axx|ax2 2+bx+c0+bx+c0 ”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性的逆命题、否命题、逆否命题的真假性,下列结论成立的是下列结论成立的是()A.A.都真都真B.B.都假都假C.C.否命题真否命题真D.D.逆否命题真逆否命题真【解析【解析】选选D.D.原命题为真命题原命题为真命题,则其逆否命题为真命题则其逆否命题为真命题.考点考点2 2充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断知知考情考情充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点,常以选择题的形常以选择题的形式出现式出现,作为一个重要载体作为一个重要载体,考查的知识面很广考查的知识面很广,几乎涉及数学知识的几乎涉及数学知识的各个方面各个方面,如函数、不等式、三角函数、平面向量、解析几何、立体如函数、不等式、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何等知识几何等知识.明明角度角度命题角度命题角度1:1:定义法判断充分条件、必要条件定义法判断充分条件、必要条件【典例【典例2 2】(2014(2014湖北高考湖北高考)设设U U为全集为全集,A,B,A,B是集合是集合,则则“存在集合存在集合C C使使得得A AC,BC,B U UC”C”是是“AB=AB=”的的()A.A.充分而不必要的条件充分而不必要的条件B.B.必要而不充分的条件必要而不充分的条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要的条件既不充分也不必要的条件【解题提示【解题提示】考查集合与集合的关系、充分条件与必要条件的判断考查集合与集合的关系、充分条件与必要条件的判断.【规范解答【规范解答】选选C.C.依题意依题意,若若A AC,C,则则 U UC C U UA,A,当当B B U UC,C,可得可得AB=AB=;若若AB=AB=,不妨令不妨令C=A,C=A,显然满足显然满足A AC,BC,B U UC,C,故满足条件故满足条件的集合的集合C C是存在的是存在的.命题角度命题角度2:2:集合法判断充分条件、必要条件集合法判断充分条件、必要条件【典例【典例3 3】(2014(2014安徽高考安徽高考)“x0”)“x0”是是“l ln(x+1)0”n(x+1)0”的的()A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解题提示【解题提示】分清条件和结论分清条件和结论,根据充分条件、必要条件的定义判断根据充分条件、必要条件的定义判断.【解析【解析】选选B.B.由由ln(x+1)0,ln(x+1)0,得得0 x+11,0 x+11,即即-1x0,-1x0,由于由于x|-1x0 x|xx|-1x0 x|x0,0,故故“x0”x0”是是“ln(x+1)0”ln(x+1)0”的必要不充分条件的必要不充分条件.命题角度命题角度3:3:等价转化法判断充分条件、必要条件等价转化法判断充分条件、必要条件【典例【典例4 4】(2013(2013山东高考山东高考)给定两个命题给定两个命题p,qp,q.若若p p是是q q的必要而不的必要而不充分条件充分条件,则则p p是是q q的的()A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解题提示【解题提示】借助原命题与逆否命题等价判断借助原命题与逆否命题等价判断.【规范解答【规范解答】选选A.A.因为因为p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件,则则q qp p但但p pq,q,其逆否命题为其逆否命题为p pq q但但q p,q p,所以所以p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件.悟悟技法技法充要条件的三种判断方法充要条件的三种判断方法(1)(1)定义法定义法:根据根据p pq,qq,qp p进行判断进行判断.(2)(2)集合法集合法:根据根据p,qp,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)(3)等价转化法等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题把判断的命题转化为其逆否命题进行判断转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问这个方法特别适合以否定形式给出的问题题,如如“xy1”xy1”是是“x1x1或或y1”y1”的何种条件的何种条件,即可转化为判断即可转化为判断“x=1x=1且且y=1”y=1”是是“xyxy=1”=1”的何种条件的何种条件.通通一类一类1.(20141.(2014新课标全国卷新课标全国卷)函数函数f(xf(x)在在x=xx=x0 0处导数存在处导数存在,若若p:f(xp:f(x0 0)=0;q:x=x)=0;q:x=x0 0是是f(xf(x)的极值点的极值点,则则()A.pA.p是是q q的充分必要条件的充分必要条件B.pB.p是是q q的充分条件的充分条件,但不是但不是q q的必要条件的必要条件C.pC.p是是q q的必要条件的必要条件,但不是但不是q q的充分条件的充分条件D.pD.p既不是既不是q q的充分条件的充分条件,也不是也不是q q的必要条件的必要条件【解析【解析】选选C.C.因为若因为若f f(x(x0 0)=0,)=0,则则x x0 0不一定是极值点不一定是极值点,所以命题所以命题p p不是不是q q的充分条件的充分条件;因为若因为若x x0 0是极值点是极值点,则则f(xf(x0 0)=0,)=0,所以命题所以命题p p是是q q的必要条件的必要条件.2.(20132.(2013湖南高考湖南高考)“1x2”)“1x2”是是“x2”x2”成立的成立的()A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析【解析】选选A.A.因为集合因为集合(1,2)(1,2)是集合是集合(-(-,2),2)的真子集的真子集,所以所以“1x2”1x2”是是“x2x2”成立的充分不必要条件成立的充分不必要条件,故选故选A.A.3.(20133.(2013上海高考上海高考)钱大姐常说钱大姐常说“便宜没好货便宜没好货”,她这句话的意思她这句话的意思是是:“:“不便宜不便宜”是是“好货好货”的的()A.A.充分条件充分条件B.B.必要条件必要条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件【解析【解析】选选B.B.“便宜便宜没好货没好货”等价于等价于“好货好货不便宜不便宜”,故选故选B.B.考点考点3 3充分条件、必要条件的应用充分条件、必要条件的应用【典例【典例5 5】(1)(1)函数函数f(xf(x)=)=有且只有一个零点的充分不有且只有一个零点的充分不必要条件是必要条件是()A.a0A.a0B.0aB.0aC.a1C.a1a1(2)(2)设条件设条件p:2xp:2x2 2-3x+10;-3x+10;条件条件q:xq:x2 2-(2a+1)x+a(a+1)0,-(2a+1)x+a(a+1)0,若若p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是.12122xlog x,x0,2a,x0【解题提示【解题提示】(1)(1)先找出充要条件先找出充要条件,再根据集合之间的关系确定答案再根据集合之间的关系确定答案.(2)(2)先解不等式把条件先解不等式把条件p,qp,q具体化具体化,再由互为逆否命题的等价性确定再由互为逆否命题的等价性确定p,qp,q之间的关系之间的关系,最后根据集合间的关系列不等式组求解最后根据集合间的关系列不等式组求解.【规范解答【规范解答】(1)(1)选选A.A.因为函数因为函数f(xf(x)过点过点(1,0),(1,0),所以函数所以函数f(xf(x)有且只有且只有一个零点有一个零点函数函数y=-2y=-2x x+a(x0)+a(x0)没有零点没有零点函数函数y=2y=2x x(x0)(x0)与直线与直线y=ay=a无公共点无公共点.由数形结合由数形结合,可得可得a0a0或或a1.a1.观察选项观察选项,根据集合间关系根据集合间关系a|aa|a0 a|a01,a1,故选故选A.A.(2)(2)由由2x2x2 2-3x+10-3x+10得得 x1,x1,由由x x2 2-(2a+1)x+a(a+1)0-(2a+1)x+a(a+1)0得得axa+1.axa+1.由由p p是是q q的必要不充分条件知的必要不充分条件知,p,p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件,则有则有x|x1 x|axa+1,x|x1 x|axa+1,所以所以 解得解得0a .0a .答案答案:0,0,12121a,2a1 1,1212【规律方法【规律方法】1.1.与充要条件有关的参数问题的求解方法与充要条件有关的参数问题的求解方法解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此并由此列出关于参数的不等式列出关于参数的不等式(组组)求解求解.提醒提醒:求解时要注意区间端点值的检验求解时要注意区间端点值的检验.2.2.充要条件的证明方法充要条件的证明方法在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时,其基本方法是其基本方法是分分“充分性充分性”和和“必要性必要性”两个方面进行证明两个方面进行证明.这类试题一般有两种这类试题一般有两种设置格式设置格式.(1)(1)证明证明:A:A成立是成立是B B成立的充要条件成立的充要条件,其中充分性是其中充分性是A AB,B,必要性是必要性是B BA.A.(2)(2)证明证明:A:A成立的充要条件是成立的充要条件是B,B,此时的条件是此时的条件是B,B,故充分性是故充分性是B BA,A,必要必要性是性是A AB.B.提醒提醒:在分充分性与必要性分别进行证明的试题中在分充分性与必要性分别进行证明的试题中,需要分清命题的条需要分清命题的条件是什么件是什么,结论是什么结论是什么;在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明明,即用等价转化法进行推理证明即用等价转化法进行推理证明.【变式训练【变式训练】已知已知P=x|xP=x|x2 2-8x-200,S=x|1-mx1+m.-8x-200,S=x|1-mx1+m.(1)(1)是否存在实数是否存在实数m,m,使使xPxP是是xSxS的充要条件的充要条件,若存在若存在,求出求出m m的取值范的取值范围围.(2)(2)是否存在实数是否存在实数m,m,使使xPxP是是xSxS的必要条件的必要条件,若存在若存在,求出求出m m的取值范的取值范围围.【解析【解析】由由x x2 2-8x-20-8x-200 0得得-2-2x x10,10,所以所以P=x|-2x10,P=x|-2x10,(1)(1)因为因为xPxP是是xSxS的充要条件的充要条件,所以所以P=S,P=S,所以所以 所以所以 这样的这样的m m不存在不存在.(2)(2)由题意由题意xPxP是是xSxS的必要条件的必要条件,则则S SP,P,当当S=S=时时,1-m1+m,1-m1+m,解得解得m0,m1”1”是是“xa”x11得得x1x1或或x-1.x-1.由题意知由题意知x|xa x|xx|x11或或x-1,x-1,所以所以a-1,a-1,从而从而a a的最大值为的最大值为-1.-1.答案答案:-1-12.2.已知已知ab0,ab0,证明证明a+ba+b=1=1成立的充要条件是成立的充要条件是a a3 3+b+b3 3+ab-a+ab-a2 2-b-b2 2=0.=0.【证明【证明】先证充分性先证充分性:若若a a3 3+b+b3 3+ab-a+ab-a2 2-b-b2 2=0,=0,则则(a+b-1)(a(a+b-1)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)=0,)=0,所以所以(a+b-1)(a+b-1)=0,=0,由由ab0ab0得得a+b-1=0,a+b-1=0,所以所以a+ba+b=1=1成立成立,充分性得证充分性得证.再证必要性再证必要性:若若a+ba+b=1,=1,则由以上对充分性的证明知则由以上对充分性的证明知a a3 3+b+b3 3+ab-a+ab-a2 2-b-b2 2=(a+b-1)(a=(a+b-1)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)=0,)=0,故必要性得证故必要性得证.综上知综上知,a+b,a+b=1=1成立的充要条件是成立的充要条件是a a3 3+b+b3 3+ab-a+ab-a2 2-b-b2 2=0.=0.22b3(a)b 24自我纠错自我纠错1 1充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断【典例【典例】(2015(2015天津模拟天津模拟)设设a,bRa,bR,且且a0,a0,则则“(a-b)a(a-b)a2 20”0”是是“ab”ab”的的()()A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解题过程【解题过程】【错解分析【错解分析】分析上面解题过程分析上面解题过程,你知道错在哪里吗你知道错在哪里吗?提示提示:(1)(1)忽略忽略a0a0这一条件这一条件.(2)(2)只考虑了只考虑了abab(a-b)a(a-b)a2 200.0.由由(a-b)a(a-b)a2 200知知,a-b0,a-b0,即即ab.ab.所以所以“(a-b)a(a-b)a2 200”是是“ab”a0.0.因为因为ab,ab,即即a-b0,a-b0,所以所以(a-b)a(a-b)a2 20.0.所以所以“(a-b)a(a-b)a2 200”是是“ab”ab”的必要条件的必要条件.综上综上,应选应选C.C.
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