线面垂直与面面垂直

第 3 讲 线面垂直与面面垂直考试要求1空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，B级要求；2. 运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的 简单命题，B级要求.知识梳理1直线与平面垂直(1) 直线和平面垂直的定义如果一条直线l与一个平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面a互 相垂直(2) 判定定理与性质定理文字语言图形表小符号表小判定定理条直线与一个平 面内的两条相交直 线都垂直，那么该直 线与此平面垂直丨丄a丨丄b anb = O a?a b?a?l丄a性质定理两直线垂直于同一 个平面，那么这两条直线平行a丄a b丄a卜b2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表小符号表小判定定理个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直1丄a型2性质定理如果两个平面互相垂直，那么在个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面a丄” aG” 二a 1丄a 陞?1丄a诊断自测1 判断正误(在括号内打“V或“X)直线l与平面a内的无数条直线都垂直，那么l丄a.()(2) 垂直于同一个平面的两平面平行()(3) 假设两平面垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4) 假设平面a内的一条直线垂直于平面B内的无数条直线，那么a丄”.() 2给出以下命题： 如果平面a丄平面，那么平面a内一定存在直线平行于平面”； 如果平面a不垂直于平面，那么平面a内一定不存在直线垂直于平面”； 如果平面a丄平面儿 平面”丄平面儿aG”二I，那么l丄平面y ； 如果平面a丄平面，那么平面a内所有直线都垂直于平面其中错误的命题是(填序号)3. (2021朋卷改编)互相垂直的平面a,交于直线1,假设直线m, n满足m a， 口丄，给出以下结论： ml :mn :口丄丨；m丄n.其中正确的选项是（填序号）4. （2021XX模拟）设a,伏y为互不重合的三个平面，l为直线，给出以下命题： 假设a”，a丄Y，那么丄Y； 假设a丄Y，”丄Y，且aG”二1,那么l丄Y； 假设直线1与平面a内的无数条直线垂直，那么直线丨与平面a垂直； 假设a内存在不共线的三点到”的距离相等，那么平面a平行于平面几其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.5 .（必修2P42习题16）在三棱锥P - ABC中，点P在平面ABC中的射影为点0,假设PA=PB=PC,那么点0是4ABC的心.（2）假设PA丄PB, PB丄PC, PC丄PA,那么点0是4ABC的心.考点一线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD,AB 丄AD, AC丄CD,乙ABC二 60。，PA = AB=BC, E 是 PC 的中点证明：（1）CD 丄 AE ； （2）PD丄平面ABE.规律方法（1 ）证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性但b, a丄ab丄a）；面面平行的性质（a 丄a, a”?a丄”）；面面垂直的性质（a丄”，aG”二a,丨丄a,1?”?1丄a） (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直那么需借助线面垂直的 性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的根本思想.【训练1】(2021XX期末)如下图，AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点, 1 一且AD = 3DB,点C为圆O上一点，且BC二品AC, PD丄平面ABC, PD=DB.求证：PA丄CD.考点二面面垂直的判定与性质【例2】(2021 XX卷)如图，三棱台DEF-ABC中，2DE, G, H分别为AC, BC的中点.求证：BD平面FGH ；假设CF丄BC, AB丄BC,求证平面BCD丄平面EGH.AB 二规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的 判定定理.(2)两平面垂直时，一般要用性质定理进展转化，在一个平面内作交线的垂线, 转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB丄平面ABC, PA丄PB, M, N分别为AB, PA的中点.求证：PB平面MNC；(2)假设AC二BC,求证:PA丄平面MNC.考点三平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度一 平行与垂直关系的证明D【例3-1】(2021XX卷)如图，在直三棱柱ABC - AC】 中，D, E分别为AB, BC的中点，点F在侧棱BB上, 1且BD丄AF, AC丄AB.求证：1 1 11 11直线DE平面A1C1F ；平面B DE丄平面ACF.规律方法（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进展线线、线面、面面垂直间的转化.（2）垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 命题角度二 平行垂直中探索性问题设不存在，请说明理由.规律方法（1）求条件探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察与尝试给 出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充 分性.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜想点的位置再给出证明，探索 点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.【训练3】（2021 X调研）在如下图的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，ABCD, AC=/3, AB = 2BC=2, AC丄FB.求证：AC丄平面FBC ；A?求四面体FBCD的体积；线段AC上是否存在点M,使EA平面FDM假设存在，请说明其位置，并加 以证明；假设不存在，请说明理由思想方法1证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与a内任何直线都垂直?a丄a ；(2)判定定理1：m, n?a, mnn = AI丄m,丨丄n?l 丄 a ;判定定理2 : ab, a丄a?b丄a ;(4)面面垂直的性质：a丄”，an”=l, a?a, a丄l?a丄”；2证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交,所成的二面角是直二面角；判定定理：a?a, a丄“?a丄”.3转化思想：垂直关系的转化易错防范1证明线面垂直时,易无视面内两条线为相交线这一条件2面面垂直的判定定理中,直线在面内且垂直于另一平面易无视3面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误4在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.根底稳固题组(建议用时：40 分钟)、填空题1. （2021XX调研）对于直线l, m,平面a, m?a，那么l丄m是l丄a成立的 条件（从“充分不必要必要不充分“充要“既不充分也不必要中选 填一个）.2. （2021XX四校联考）假设平面a B满足a丄”，aG”二I, PEa, P?l,给出以 下命题： 过点P垂直于平面a的直线平行于平面”； 过点P垂直于直线l的直线在平面a内； 过点P垂直于平面”的直线在平面a内； 过点P且在平面a内垂直于丨的直线必垂直于平面几A其中假命题为（填序号）.3 如图，PA丄平面ABC, BC丄AC,那么图中直角三角形的个数为4 在正三棱锥（底面为正三角形且侧棱相等）P-ABC中，D, E分别是AB, BC的中点，有以下三个论断：AC丄PB ；AC平面PDE ；3AB丄平面PDE其中正确论断的序号为5. （2021苏北四市联考）a, ”是两个不同的平面，l, m是两条不同的直线，l丄a, m?“.给出以下命题： a”?ldm :a丄”?lm :ma?l丄”：l丄”?ma.其中正确的命题是（填序号）6 如下图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD,且底面各边都相等，M是可）7 . （2021XX检测）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕， 把厶ABD和厶ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下四个结论： BD丄AC ; ABAC是等边三角形； 三棱锥D - ABC是正三棱锥； 平面ADC丄平面ABC.其中正确的选项是（填序号）8.（2021全国II卷改编）a, B是两个平面，m， n是两条直线，有以下四个命题: 如果man, m丄a, n”，那么a丄”； 如果m丄a, na,那么man; 如果a”，m?a,那么m” ； 如果mn, a”，那么m与a所成的角和n与”所成的角相等.其中正确的命题有（填序号）.二、解答题9 . （2021XX调研）如图，AABC和ABCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD = 2,ZABC=ZDBC=120, E, F, G 分别为A求证：EF丄平面BCG ;求三棱锥D-BCG的体积.AC, DC, AD的中点.1O.（2O21XX模拟）如图，四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形，AB二2AD, PD丄底面ABCD, E, F分别为棱AB, PC的中占（1）求证：EF平面PAD ；求证：平面PDE丄平面PEC.能力提升题组（建议用时：20分钟）11. （2021苏、锡、常、镇四市调研）设m， n是两条不同的直线，a, B是两个 不同的平面： 假设mln, na,那么m丄a ; 假设m”，”丄a,那么m丄a； 假设ma”，n丄”，n丄a,那么m丄a ; 假设mln, n丄”，”丄a,那么m丄a.上述命题中为真命题的是（填序号）.12. （2021XX师大模拟）如图，在正方形ABCD中，E, F分别是BC, CD的中点, 沿AE, AF, EF把正方形折成一个四面体，使B, C, D三点重合，重合后的点记为P, P点在 AEF内的射影为O,给出以下结论：0是4 AEF的垂心；O是AAEF的内心；O是厶AEF的外心；O是AAEF的重心.其中结论正确的选项是（填序号）.13 如图，六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA丄平面ABC, PA=2AB, 那么以下结论中：PB丄AE ；平面ABC丄平面PBC ；直线BC平面PAE ; ZPDA=45.其中正确的有(填序号)14 .(2021XX 卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA丄 CD, ADBC, ZADC=ZPAB 1在平面PAD内找一点M,使得直线CM平面二90。，BC=CD = 2AD.PAB,并说明理由.证明：平面PAB丄平面PBD.