4 微分中值定理的应用

微分中值定理的应用：函数的单调性、凸凹性、极值这一节之所以称为微分中值定理的应用的应用是因为这一节的定理(费马定理除外)都可以用微分中值定理来完成证明，请完成定理的证明。一 函数的单调性(一)定理设f(x)在a,b连续，在(a,b)内可导则(1) 当f(x)0Vxe(a,b)时，f(x)严格单调增加(2) 当f(x)0Vxe(a,b)时，f(x)单调增加当f(x)0)()()22a3x2提示：D(f丿=(8,丿，y=则驻点为xa，不可导点为3(2x一a丿2(ax丿31xa,a，2yx3(若驻点两边符号相同则单调区间可以合并)1y-(注能否说函数在(8,0)u(0,+8)单调降)x练习求函数的单调区间(1) y2sinx+cos2x(0x0提示法(1x1+x11+l-Ix丿_x1+x_f(x)=令g(x)二In土-r1-,则x1+xg(x)=占-时0)故g(x)在(o,+8)是减的，又lim(ln士-丄xT+8x1+x)二o，故在(o,+8)函数g(x)0法二；讨论函数Inf(x)=xlnfl+-例3设在【0,1上广(x)0，则f(0)f(1),f(1)-f(0)的大小顺序2证明不等式(1)(若不等式两边能变得一样形式，根据这一形式构造函数，通常不等式含两个参lnba数)例1(1)证明ab1时lnab兀(2)0xx时xtanxg(x)xea,b,这时可构造函数F(x)二f(x)-g(x)，证明F(x)0,F(a)0且即可)例1x1时exexx2arctanx练习(1)当x0时xln(1+x)x-(2)ln(1+x)x021+x(3)x0时1+xln(x+1+x2)1一-2求两次导)练习(1)兀0x2x2(2)ln(1+x)0例3(x2-1)lnx(x-1)2x0x-1x-1提示.(x2-1)lnx(x-1)2olnx(x1),lnx(x1)x+1x+1令f(x)二君-lnx得f(x)=爲)，又f(1)=0(3)(若f(n)(x)0)则f(n-1)(x)是单减(增)的例：设函数f(X)在x0时二阶可微，且f(x)0f()二0证明对任意的正数X,x,f(x+x)f(x)+f(x)121212提示；由f(x)0是单减的。在x,x+x用中值定理：f(x+x)f(x)=f(g)xgw(x,x+x)212122111212在0,x用中值定理：f(x)f(0)=f(g)xge(0,x)，则f(g)f(g)11212121得f(x+x)f(x)f(x)=(f(g)f(g)x2)在(0,1)只有唯一实根。练习证明lnx=axa0方程有唯一实根提示令f(x)=lnxax/11fea=ea-10k丿练习f(x)在a,上连续可导,f(a)1。证明f(x)=0在(a,+a)只有一个实根。例2证明x3-5x一2=0只有一个正根提示f(x)=x35x2,f(x)=3x2-5,x=占是驻点2cosx(c兀)练习证明方程一-=一:一在0,丁有唯一实根兀一21-sinxk2丿例3方程2x4-x-1=0仅有两个实根提示f(x)=2x4-x1,f(1)=0则f(x)=(x1)(2x3+2x2+2x+1)二 例3讨论方程Inx二ax的实根的个数提示令f(x)=Inx-ax函数的凸凹性一)理论1定义1:设f(x)在区间I上连续，若对任I上任意两点x,x,恒有1212那么称f(x)在区间I的图形是凸的。若对任1上任意两点xi,x2恒有x+x122那么称f(x)在区间I的图形是凹的。注(1)f(x)在区间I的图形是凸的几何意义为：在这段弧任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段的下方；f(x)在区间I的图形是凹的几何意义为：在这段弧任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方；()x+x)f(x)+f(x)(2)f(x丿在区间I的图形是凸的f估咼一一-等价于I2丿2f(九x+(1一九)x(f)x+(14()fx1212()(x+xf(x)+f(x)f(x丿在区间I的图形是凹的f一=-等价于I2丿2f(九x+(1一九)x)f(x)+(1一九)f(x)(请证明)1212定义2：若一点两边的凸凹性不一致，称该点为拐点。2凸凹性的判定定理定理：设f(x)在区间I可微的且f(x)在区间I单减的(单增的)，则f(x)在区间I的图形是凸的(凹的)推论：若f(x)在区间I有f”(x)0在区间I则f(x)在区间I的图形是凹的(我们更多的应用该定理)故若一点它两边的二阶导数的符号改变则它是拐点。(二)举例1找出凸凹区间及拐点例1判断下列曲线的凸凹性(找出定义域，求出二阶导数，找出二阶导数的符号区间)y=xarctanx(2)y二x4(12lnx7)提示(1)对定义域为(一3,+8),y=arctanx+xy=21+x21+x2对定义域为(0,+8)，y=144x3Inx例2求曲线y二ln(x2+1)的凹凸区间及拐点x1例3证明y二有三个拐点位于同一直线上。x2+1例4求a,b,c,d使x=一2为函数f(x)二ax3+bx2+cx+d的驻点，且使曲线y二f(x)过(2,44)，并有拐点(1,10)例5设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，lim甲R二1，则xt0|x(A)f(o)是f(x)的极大值，(B)f(o)是f(x)的极大值(C) (0,f(0)是f(x)的拐点f(0)不是f(x)的极值，(0,f(0)也不是f(x)的拐点2证明不等式例(1)证明当x0,y0,x丰y,n1，有2(xn+yn)()nex+ey(2)证明当Vx,yeR,x丰y有e2函数的极值与最值(一)函数的极值与最值定义1：设函数f(x)在x的某个邻域U(x)满足对任意的xeU(x)有000f(x)f(x)(f(x)0,00(2)xe(x,x+5)时f(x)000注：也适合不可导点xe(x-5,x)时f(x)0，则x=x是极大值点0定理3：若函数f(x)，且f(x)二0。0若f(x0)0，则x二x0是极小值点若f(x0)0时，则x二x是极小值点;00且/()(兀)0)练习(1)f(x)=x+J1-x(2)f(x)=excosx例3函数y=y(x)由x3+y3-3x+3y=2确定，求函数y=y(x)的极值点。例4a为何值时x=彳为函数y=asinx+|sin3x的极值点。2最值问题举例(1)求最值亠兀兀例1求下列函数的最值(1)y=sin2xx，xea2b2(2)y=+x1-x(a,b0),xe(0,1)y=max(x2,(1x)2),0x1例2求f(x)=x4yx3+6x2的值域2)证明不等式例(1)当x1时ex0时讨论方程x=alnx的实根个数(3)讨论曲线y=4lnx+k与y=ln4x+4x交点的个数函数图形的描绘(一)曲线的渐近线1水平渐近线，若limf(x)二A或limf(x)二A，或limf(x)二AXSXT-gxT+8称y二A是水平渐进线sinxsinx例：lim二0,y二0是的水平渐进线xTgxxlimex二0,y二0是ex的水平渐进线xT-glim(2)x=0，y=0是(2)x水平渐进线xT+g222：垂直渐近线，若limf(x)=g(-g,+g)称x二xo是垂直渐进线xTx0(x0+,x0-)011例：lim-二g,x二0是一的垂直渐进线xT0xxlimln(x一1)=g,x二1是ln(x-1)的垂直渐进线xT1+3：斜渐近线若直线y=kx+b满足limf(x)-(kx+b)=0，则称直线y=kx+b为斜渐进线。xTg(-g,+g)由定义可知k=limf,b=limf(x)-kxxTg(-g,+g)xxTg(-g,+g)(1) /(x1例求f(x)=渐进线(x+1)2(1)lim(x-1)=g，所以x=-1垂直渐进线xT-1(x+1)2lim竺=lim(x一1)3xTg(I=1,limf(x)x=lim5厂+_1=-5,xTgx(x+1)2xTgxTg(x+1)2所以y=x-5斜渐进线(二)函数图形的描绘1步骤确定函数f(x)的定义域、间断点。(2) 讨论函数的周期性、奇偶性、渐进线。求f(x)f(x)，用一阶、二阶不可导导点及f(x)=0、f(x)=0,分割定义域为小区间。(3) 在每个小区间讨论f(x)f(x)符号以确定函数的单调性和凹凸性，极值点和拐点。用表格表示出来。（5）补充适当的点，进行图形描绘。2x例：1作函数f（x）=x+的图形X2一1（1）函数的定义域为（一一小一口丿小1,+8）（2）函数为奇函数（故需画0,+8）即可）lim(x+XT1)=8,x2一1故x=1是垂直渐进线2xX+limx21=1,XT8Xlim(x+-x)=0，所以y=x斜渐进线XT8x2-1（宀占，f（x）=占f(x)=0得X=X-2+心5；f(x)=0，得X=0