1.4行列式按行列展开

1.4 行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式二、行列式按行（列）展开法则三、小结与思考nnnjnjnjnnijijijiiinijijijinijijijiinjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD111111111111111111111111111111一、余子式、代数余子式一、余子式、代数余子式aij 的余子式的余子式在在n 阶行列式阶行列式 D=|aij|中去掉元素中去掉元素 aij 所在的所在的第第 i 行、第行、第 j 列后，余下的元素按原来的顺序组成列后，余下的元素按原来的顺序组成的的 n-1 阶行列式阶行列式称为称为 aij 的余子式的余子式，记作记作 Mij.则称作则称作 aij 的代数余子式的代数余子式，记作记作 Aij.(1)i jijM 例如例如,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA 行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一个个代代数数余余子子式式.1 11113(1)831A 求行列式求行列式 中第一行各元素的代中第一行各元素的代数余子式数余子式.102113231D 例例1.注：注：本例中本例中这是凑巧吗？这是凑巧吗？211122122313 1(8)1(7)3 50a Aa Aa A 解：解：1 21213(1)721A 1 31311(1)523A 1111121213131(8)0(7)(2)518a Aa Aa A 311132123313 (2)(8)3(7)1 50a Aa Aa A D 333231232221131211aaaaaaaaa,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 事实上：事实上：3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 111112121313a Aa Aa A定理定理1 行列式行列式 D=|aij|等于它的任意一行（列）的等于它的任意一行（列）的ininiiiiAaAaAaD2211),2,1(ninjnjjjjjAaAaAaD2211),2,1(nj各个元素与其对应的各个元素与其对应的代数余子式代数余子式乘积之和，即乘积之和，即)(02211ikAaAaAainknikik )(02211jlAaAaAanjnljljl 行列式行列式 D=|aij|的某一行（列）的各个元素的某一行（列）的各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即于零，即引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元行所有元素除素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如由行列式定义，由行列式定义，D 中仅含下面形式的项中仅含下面形式的项nnnjjjjjjaaaa32323211),1()1(nnnjjjjjjaaaa323232),1(11)1(其中其中nnnjjjjjjaaa323232),1()1(恰是恰是11M的一般项。的一般项。所以，所以，1111MaD 111111)1(Ma 1111Aa 证明证明(1)当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100 nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 把把 的的第第 行行依依次次与与第第行行 第第行行 第第 行行对对调调1,2,1,Diii得得 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1,1,11,11001 ijaija再再把把 的的第第 列列依依次次与与第第列列 第第列列 第第 列列对对调调1,2,1,Djjj 得得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,11,1,1110011 ija nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,11,1,12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,11,1,1001 nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 中的余子式中的余子式.ijM元元素素在在行行列列式式中中的的余余子子式式仍仍然然是是在在1,1,11,100ijijijinijnjn jnnijaaaaaaaaa ijaija从而得从而得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1,11,1,1001 .1ijijjiMa 于是有于是有nnjnnjnijijiijaaaaaaa1,11,1,100 ,ijijMa ijaija定理定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni,2,1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni,2,1 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.,02211ikAaAaAainknikik 定理定理2：证明：证明：由定理由定理1，行列式等于某一行的元素分别与，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。它们代数余子式的乘积之和。在在nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211 中，如果令第中，如果令第 i 行的元素等于行的元素等于另外一行，譬如第另外一行，譬如第 k 行的元素行的元素则，则，inknikikAaAaAa2211nnnnknkkknkknaaaaaaaaaaaa21212111211第第i i行行右端的行列式含有两个相同的行，值为右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 0。综上，得公式综上，得公式 inknikikAaAaAa2211 ），（当，（当）（当（当ikikD0 ,njnljljlAaAaAa2211 ），（当，（当）（当（当jljlD0 ,在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个（个（n1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。利用行列式按行按列展开定理，并结合行列利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素个非零元素，再按此行（列）展开再按此行（列）展开,变为低一阶变为低一阶的行列式的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。阶行列式。例例2 计算行列式计算行列式277010353 D解解27331(122 ）D7323(）按第二行展开，得按第二行展开，得27 例例3 计算行列式的值计算行列式的值3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc D 解解)2(1 0551111115)1(33 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr )1(0532004140013202527102135 D例例4 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 D23110 072066 6627210 .1080124220 2312 5414235 53204140132021352152 13rr 122 rr 证明：证明：用数学归纳法用数学归纳法例例5 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(21211xxD 12xx ,)(12 jijixx(1)当当n=2时时,结论成立。结论成立。(2)设设n1阶范德蒙德行列式成立，去证阶范德蒙德行列式成立，去证n阶也成立。阶也成立。112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD11 nnrxr211 nnrxr112rxr )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn 按按第第 列列展展开开，并并把把每每列列的的公公因因子子提提出出11(),ixx 223223211312111)()(nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式)()()(211312jjininxxxxxxxx ).(1jjinixx 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具计算化为低阶行列式计算的重要工具.当当当当1,2.0,;nkikjkDijaAij 当当当当1,0,;nikjkkDijaAij 三、小结与思考三、小结与思考3.计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：1）利用定义）利用定义;2）利用性质化为三角形行列式）利用性质化为三角形行列式;3）行列式按行（列）展开原则）行列式按行（列）展开原则;4）递推法）递推法;5）数学归纳法）数学归纳法;6）每行和为常数，列相加，再提取公因子）每行和为常数，列相加，再提取公因子;7）相邻两行依次相减，化简行列式）相邻两行依次相减，化简行列式;8）利用已有的结论）利用已有的结论;9）加边法。）加边法。思考题思考题:设设 阶阶行行列列式式nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 解解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成:nAAA11211 n001030100211111.11!2 njjn