中考数学总复习 第七章 图形与变化 第24讲 尺规作图课件1.ppt

第 24讲 尺规作图 山西专用 1 尺规作图的作图工具 圆规和没有刻度的直尺 2 基本尺规作图 类型一：作一条线段等于已知线段 步骤： 作射线 OP ； 以 O 为圆心 ， a 为半径作弧 ， 交 OP 于 A ， OA 即为所求线段 图示： 类型二：作角的平分线 步骤： 以 O 为圆心 ， 任意长为半径作弧 ， 分别交 OA ， OB 于点 N ， M ； 分别以点 M ， N 为圆心 ， 以大于 1 2 MN 长为半径作弧 ， 两弧相交于点 P ； 作射 线 OP ， OP 即为所求角平分线 图示： 类型三：作线段的垂直平分线 步骤： 分别以点 A ， B 为圆心 ， 以大于 1 2 AB 长为半径 ， 在 AB 两侧作 弧 ， 两弧交于 M ， N 点； 连接 MN ， 直线 MN 即为所求垂直平分线 图示： 类型四：作一个角等于已知角： 步骤： 以 O 为圆心 ， 以任意长为半径作弧 ， 交 的两边于点 P ， Q ； 作射线 O A ； 以 O 为圆心 ， OP 长为半径作弧 ， 交 O A 于点 M ； 以点 M 为圆心 ， PQ 长为半径作弧 ， 交前弧于点 N ； 过点 N 作射线 OB ， AO B 即为所求角 图示： 类型五：过一点作已知直线的垂线 步骤：点在直线上： 以点 O 为圆心 ， 任意长为半径作弧 ， 交直线于 A ， B 两点； 分别以点 A ， B 为圆心 ， 以大于 1 2 AB 长为半径在直线两侧作弧 ， 交点分 别为 M ， N ； 连接 MN ， MN 即为所求垂线 点在直线外： 在直线另一侧取点 M ； 以 PM 为半径画弧 ， 交直线于 A ， B 两点； 分别以 A ， B 为圆心 ， 以大于 1 2 AB 长为半径画弧 ， 交 M 同侧于点 N ； 连接 PN ， 则直线 PN 即为所求的垂线 图示： 3 常见几种基本尺规作图作三角形 已知三边作三角形； 已知两边及其夹角作三角形； 已知两角及其夹边作三角形； 已知底边及底边上的高作等腰三角形； 已知一直角边和斜边作直角三角形 4 作图的一般步骤 (1)已知； (2)求作； (3)分析； (4)作法； (5)证明； (6)讨论 步骤 (5)(6)常不作要求 ， 步骤 (3)一般不要求 ， 但作图中一定要保留作图 痕迹 . 命题点：尺规作图 1 (2013山西 21题 8分 )如图 ， 在 ABC中 ， AB AC， D是 BA延长线上 的一点 ， 点 E是 AC的中点 (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图 ， 并在图中标明相应字母 (保留 作图痕迹 ， 不写作法 )； 作 DAC的平分线 AM；连接 BE并延长 ， 交 AM于点 F； (2)猜想与证明：试猜想 AF与 BC有怎样的位置关系和数量关系 ， 并说明 理由 (导学号 020524450) 解： ( 1 ) 如图所示： ( 2 ) AF BC 且 AF B C . 理由如下： AB AC ， A B C C. D AC A B C C 2 C. C F AC . AF B C . E 是 AC 的中点 ， AE C E. A EF C EB ， A E F C EB . AF BC 2 ( 2 0 1 1 山西 21 题 10 分 ) 实践与操作：如图 ， A B C 是直角三角形 ， AC B 90 . ( 1 ) 尺规作图：作 C ， 使它与 AB 相切于点 D ， 与 AC 相交于点 E. 保留作 图痕迹 ， 不写作法 ， 请标明字母； ( 2 ) 在你按 ( 1 ) 中要求所作的图中 ， 若 BC 3 ， A 30 ， 求 DE 的长 ( 导学号 0 2 0 5 2 4 5 1 ) 解： ( 1 ) 作图如图所示： ( 2 ) AC B 90 ， A 30 ， BC 3 ， B 60 ， CD 3 3 2 ， B C D 30 ， A C D 60 ， DE 60 180 3 3 2 3 2 简单尺规作图 【例 1 】 如图 ， 在 A B C 中 ， 已知 A B C 90 . ( 1 ) 请在 BC 上找一点 P ， 作 P 与 AC ， AB 都相切 ， 与 AC 的切点为 Q ； ( 尺规作图 ， 保留作图痕迹 ) ( 2 ) 连接 BQ ， 若 AB 3 ， ( 1 ) 中所作圆的半径为 3 2 ， 求 s in C B Q. 【 分析 】 (1)要求作 P与 AB、 AC相切 ， 根据切线的性质 ， 即点 P到 AB、 AC的距离相等 ， 且点 P在边 BC上 ， 想到角平分线上的点到角两边 的距离相等 ， 即作 BAC的平分线交 BC于 P点 ， 以点 P为圆心 ， PB为半 径作圆即可； (2)由切线长定理得 AB AQ， 又 PB PQ， 则判定 AP为 BQ的垂直平分线 ， 利用等角的余角相等得到 CBQ BAP， 然后在 Rt ABP中利用正弦函数求出 sin BAP， 从而可得到 sin CBQ的值 解： ( 1 ) 如图所示 ， P 即为所求： ( 2 ) AB 、 AQ 为 P 的切 线 ， AB AQ ， PB PQ ， AP 为 BQ 的 垂直平分线 ， B A P A B Q 90 ， C B Q A B Q 90 ， C B Q B A P ， 在 Rt AB P 中 ， AP AB 2 PB 2 3 2 （ 3 2 ） 2 3 5 2 ， s in B A P BP AP 3 2 3 5 2 5 5 ， s in C B Q 5 5 【例 2 】 ( 2 0 1 5 孝感 ) 如图 ， 一条公路的转弯处是一段圆弧 ( AB ) ( 1 ) 用直尺和圆规作出 AB 所在圆的圆心 O ； ( 要求保留作图痕迹 ， 不写作法 ) ( 2 ) 若 AB 的中点 C 到弦 AB 的距离为 20 m ， AB 80 m ， 求 AB 所在圆的半 径 【分析】 ( 1 ) 根据 “ 不在同一直线上的三点确定一 个圆 ” ， 在 AB 上另找一点 C ， 分别作弦 AC ， BC 的垂直平分线 ， 交点 即为圆心 O ； ( 2 ) 分别连接 OA 、 OC 、 AB ， 根据所作图形可想到垂径定 理的应用 ， 进而得到直角三角形 ， 想到在直角三角形中利用勾股定理进 行求解 解： ( 1 ) 如图 ， 点 O 为所求； ( 2 ) 连接 OA 、 OC 、 AB 、 OC 交 AB 于 D ， 如图 ， C 为 AB 的中点 ， OC AB ， AD BD 1 2 AB 40 ， 设 O 的半径为 r ， 则 OA r ， OD OC CD r 20 ， 在 Rt O A D 中 ， OA 2 OD 2 AD 2 ， r 2 (r 20) 2 40 2 ， 解得 r 50 ， 即 AB 所在圆的半径是 50 m 对应训练 1. 如图 ， 在 ABC中 (1)作 BC边的垂直平分线分别交 AC， BC于点 D， E(用尺规作图 ， 保留作图痕迹 ， 不要求写作法 ); (2)在 (1)条件下 ， 连接 BD， 若 BD 9， BC 12， 求 C的余弦值 解： ( 1 ) 如图所示： ( 2 ) DE 是 BC 的垂直平分线 ， EC 1 2 BC 6 ， BD CD 9 ， co s C EC DC 6 9 2 3 2.如图 ， 在 Rt ABC中 ， ACB 90. (1)利用直尺和圆规按下列要求作图 ， 并在图中标明相应的字母 (保留 作图痕迹 ， 不写作法 ) 作 AC的垂直平分线 ， 交 AB于点 O， 交 AC于点 D; 以 O为圆心 ， OA为半径作圆 ， 交 OD的延长线于点 E. (2)在 (1)所作的图形中 ， 解答下列问题 . 点 B与 O的位置关系是 _； (直接写出答案 ) 若 DE 2， AC 8， 求 O的半径 (导学号 02052452) 点 B在 O上 解： ( 1 ) 如图 所示： ( 2 ) 连接 OC ， 如图 ， OD 垂直平分 AC ， OA OC ， A AC O ， A B 90 ， OC B A C O 90 ， B O C B ， OC OB ， OB OA ， 点 B 在 O 上； OD AC ， 且点 D 是 AC 的中点 ， AD 1 2 AC 4 ， 设 O 的半径为 r ， 则 OA OE r ， OD OE DE r 2 ， 在 Rt A OD 中 ， OA 2 AD 2 OD 2 ， 即 r 2 4 2 (r 2) 2 ， 解得 r 5. O 的半径为 5 9.作图必须满足题意 试题 尺规作图 ， 已知顶角和底边上的高 ， 求作等腰三角形 已知：如图 ， ， 线段 a. 求作： ABC， 使 AB AC， BAC ， AD BC于 D， 且 AD a. 错解 解： (1)如图 ， 作 EAF ； (2)作 AG平分 EAF， 并在 AG上截取 AD a； (3)过 D作直线 MN交 AE， AF分别于 C， B， ABC为所求作的等腰三角 形 剖析 上述作法考虑 AD平分 BAC， 等腰三角形顶角的平分线与底 边上的高重合 ， 但是作法 (3)没有注意到要使 AD BC， 也难以使 AB AC. 正解 解：作图如图 ， (1)作 EAF ； (2)作 AG平分 EAF， 并 在 AG上截取 AD a； (3)过 D作 MN AG， MN与 AE， AF分别交于 B ， C.则 ABC即为所求作的等腰三角形