中考数学总复习 第19讲 矩形、菱形与正方形课件1.ppt

数学 第 19讲 矩形、菱形与正方形 辽宁专用 命题点 1 矩形的性质与判定 1 ( 20 16 营口 6 题 3 分 ) 如图 ， 矩形 ABC D 的对角线交于点 O ， 若 AC B 30 ， AB 2 ， 则 OC 的长为 ( ) A 2 B 3 C 2 3 D 4 2 ( 2015 丹东 7 题 3 分 ) 过矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 作 EF AC ， 交 BC 边于点 E ， 交 AD 边于点 F ， 分别连接 AE 、 C F . 若 AB 3 ， DCF 30 ， 则 EF 的长为 ( ) A 2 B 3 C . 3 2 D . 3 A A 3 ( 2 016 葫芦岛 16 题 3 分 ) 如图 ， 四边形 O ABC 为矩形 ， 点 A ， C 分别在 x 轴和 y 轴上 ， 连接 AC ， 点 B 的坐 标为 ( 4 ， 3 ) ， C A O 的平分线 与 y 轴相交于点 D ， 则点 D 的坐标为 _ _ _ _ (0， 43) 4 (2016朝阳 14题 3分 )如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 矩形 ABCO的边 OC， OA分别在 x轴、 y轴上 ， 点 E在边 BC上 ， 将该矩形沿 AE折叠 ， 点 B 恰好落在边 OC上的 F处若 OA 8， CF 4， 则点 E的坐标是 _ ( 10， 3) 5 (2014葫芦岛 20题 8分 )如图 ， 在 ABC中 ， AB AC， 点 D(不与 点 B重合 )在 BC上 ， 点 E是 AB的中点 ， 过点 A作 AF BC交 DE延长线于点 F， 连接 AD， BF. (1)求证： AEF BED； (2)若 BD CD， 求证：四边形 AFBD是矩形 证明： ( 1) AF BC ， AF E E DB ， E 为 AB 的中点 ， EA EB ， 在 AE F 和 BED 中 ， AF E E DB EA EB BED A EF ， AE F BED ； (2) AEF BED， AF BD， AF BD， 四边形 AFBD是平行四边形 ， AB AC， BD CD， AD BD， 四边形 AFBD是矩形 命题点 2 菱形的性质与判定 1 (2015沈阳 7题 3分 )顺次连接对角线相等的四边形的各边中点 ， 所 形成的四边形是 ( ) A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 正方形 2 (2016大连 13题 3分 )如图 ， 在菱形 ABCD中 ， AB 5， AC 8， 则 菱形的面积是 _ 3 (2015丹东 14题 3分 )在菱形 ABCD中 ， 对角线 AC， BD的长分别是 6 和 8， 则菱形的周长是 _ B 24 20 4 (2016沈阳 19题 8分 )如图 ， ABC ABD， 点 E在边 AB上 ， CE BD， 连接 DE.求证： (1) CEB CBE； (2)四边形 BCED是菱形 证明： (1) ABC ABD， ABC ABD， CE BD， CEB DBE， CEB CBE； (2) ABC ABD， BC BD， CEB CBE， CE CB， CE BD CE BD， 四边形 BCED是平行四边形 ， BC BD， 四边形 BCED是菱形 5 (2016抚顺 20题 12分 )如图 ， AE BF， AC平分 BAE， 且交 BF于 点 C， BD平分 ABF， 且交 AE于点 D， AC与 BD相交于点 O， 连接 CD. (1)求 AOD的度数； (2)求证：四边形 ABCD是菱形 (1) 解： AE BF ， BAE ABF 180 ， AC 平分 BAD ， BD 平分 ABC ， BA O 1 2 BAE ， ABO 1 2 ABC ， AOD BAO A BO 1 2 BAE 1 2 ABC 1 2 180 90 ； (2)证明： AE BF， DAC ACB， AC平分 BAD， BAC DAC， ACB BAC， AB BC， 同理可证： AB AD， AD BC， 又 AD BC， 四边形 ABCD是平行四边形 ， AB BC， 四边形 ABCD是菱形 6 (2015铁岭 20题 12分 )如图 ， 在矩形 ABCD中 ， AB 8， AD 6， 点 E、 F分别在边 CD、 AB上 (1)若 DE BF， 求证：四边形 AFCE是平行四边形； (2)若四边形 AFCE是菱形 ， 求菱形 AFCE的周长 (1)证明： 四边形 ABCD为矩形 ， AB CD， AB CD， DE BF， AF CE， AF CE， 四边形 AFCE是平行四边形； (2) 解： 四边形 AF CE 是菱形 ， AE CE ， 设 DE x ， 则 AE 6 2 x 2 ， CE 8 x ， 则 6 2 x 2 8 x ， 解得： x 7 4 ， 则菱形的边长为： 8 7 4 25 4 ， 菱形周长为： 4 25 4 25 ， 故菱形 AF C E 的周长为 25. 命题点 3 正方形的性质与判定 1 ( 2014 鞍山 8 题 3 分 ) 如图 ， 在正方形纸片 ABC D 中 ， 对角线 AC 、 BD 交于点 O ， 折叠正方形纸片 ABC D ， 使 AD 落在 BD 上 ， 点 A 恰好 与 BD 上的 F 重合展开后 ， 折痕 DE 分别交 AB ， AC 于点 E ， G. 连接 GF . 下列结论中错误的是 ( ) A A GE 67.5 B 四边形 A EFG 是菱形 C BE 2OF D S DOG S 四边形 OG EF 2 1 D 2 (2015铁岭 12题 3分 )在平面直角坐标系中 ， 正方形 ABCD的顶点 A、 B、 C的坐标分别为 ( 1， 1)、 ( 1， 1)、 (1， 1)， 则顶点 D的坐标为 _ 3 ( 201 6 丹东 15 题 3 分 ) 如图 ， 正方形 ABC D 边长为 3 ， 连接 AC ， AE 平分 C A D ， 交 BC 的延长线于点 E ， FA AE ， 交 CB 延长线于点 F ， 则 EF 的长为 _ _ (1， 1) 6 2 4 (2016抚顺 17题 3分 )如图 ， 点 B的坐标为 (4， 4)， 作 BA x轴 ， BC y轴 ， 垂足分别为 A、 C， 点 D为线段 OA的中点 ， 点 P从点 A出发 ， 在线段 AB， BC上沿 ABC 运动 ， 当 OP CD时 ， 点 P的坐标为 _ (4， 2)或 (2， 4) 5 (2016阜新 21题 10分 )如图 ， 在正方形 ABCD中 ， 点 E为对角线 AC上 的一点 ， 连接 BE、 DE. (1)如图 ， 求证： BCE DCE； (2)如图 ， 延长 BE交直线 CD于交点 F， G在直线 AB上 ， 且 FG FB. 求证： DE FG； 已知正方形 ABCD的边长为 2， 若点 E在对角线 AC上移动 ， 当 BFG 为等边三角形时 ， 求线段 DE的长 (直接写出结果 ， 不必写出解答过程 ) (1)证明： ABCD是正方形 ， AB BC AD， ABC 90 ACB 45 ， 同理 ， ACD 45 ， ACD ACB， 又 BC CD， CE CE， BCE DCE； ( 2 ) ABC D 是正方形 ， AB CD ， D FG FG B ， C FB FBG ， FG FB ， F GB FBG ， D FG CFB ， 设 DE ， FG 交于点 O ， 则 FDO FBC ， F OD FCB 90 ， DE FG ； 解： 2 3 2. 【例 1 】 ( 2016 威海 ) 如图 ， 在矩形 AB CD 中 ， AB 4 ， BC 6 ， 点 E 为 BC 的中点 ， 将 AB E 沿 AE 折叠 ， 使点 B 落在矩形内点 F 处 ， 连 接 CF ， 则 CF 的长为 ( ) A . 9 5 B . 12 5 C . 16 5 D . 18 5 D 【 分析 】 连接 BF， 构造 BCF， 根据已知条件易求得 AE的长 ， 在 Rt ABE中 ， 利用面积公式求出 BM的长 ， 由折叠的性质知 EF BE且 BE EC， 根据斜边上的中线等于斜边的一半可得 BCF是直角三角形 ， 最 后由勾股定理即可求解 【 方法指导 】 与矩形有关的计算： (1)若题目中涉及矩形的折叠 ， 要注 意折叠前后对应线段相等 ， 即被折叠的角折叠之后在任何位置依旧是直 角； (2)矩形四个角都是直角 ， 则想到将所求或涉及的线段放在直角三角形 中 ， 即常用到勾股定理 ， 特殊角三角函数的计算； (3)常结合矩形对角线相等且互相平分的性质 ， 故可根据矩形对角线的 关系应用全等三角形的判定或等腰三角形的性质进行求解 对应训练 1 如图 ， 四边形 ABCD的对角线互相平分 ， 要使它成为矩形 ， 那么 需要添加的条件是 ( ) A AB CD B AD BC C AB BC D AC BD D 2 ( 2 016 苏州改编 ) 矩形 OA B C 在平面直角坐标系中的位置如图所 示 ， 点 B 的坐标为 (3 ， 4 ) ， D 是 OA 的中点 ， 点 E 在 AB 上 ， 当 C DE 的周长最小时 ， 点 E 的坐标为 _ _ _ (3， 43) 【例 2 】 如图 ， 菱形 AB CD 中 ， 点 O 是对角线 AC 的三等分点 ， 连接 OB 、 OD ， 且 OB OC O D. 已知 AC 3 ， 那么菱形的边长为 ( ) A . 3 B 2 C . 5 1 2 D . 3 2 【分析】 由菱形的性质易得 CAB A CB ， 根据已知条件得 OB OC 1 3 AC ， 由等腰三角形的性质得 BOC ABC ， 根据对应边成比 例列比例式即可求出菱形的边长 A 【 方法指导 】 1.菱形判定的一般思路：首先判定四边形是平行四边形 ， 然后根据平行四边形的邻边相等 ， 来判定是菱形 ， 这是判定菱形的最 基本思路 ， 同时也可以考虑其他判定方法 ， 例如若能判定对角线垂直即 可应用对角线来判定； 2 应用菱形性质计算的一般思路：菱形四边相等；菱形对角线相互垂 直：常借助勾股定理和锐角三角函数来求线段的长 ， 有一个角为 60 的 菱形 ， 60 所对的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形也可以根 据菱形既是轴对称图形 ， 又是中心对称图形 ， 结合它的对称性得出一些 结论 对应训练 1 (2016遵义 )如图 ， 在 ABCD中 ， 对角线 AC与 BD交于点 O， 若增 加一个条件 ， 使 ABCD成为菱形 ， 下列给出的条件不正确的是 ( ) A AB AD B AC BD C AC BD D BAC DAC C 2 如图 ， AE BF， AC平分 BAE， 交 BF于点 C， BD平分 ABC， 交 AE于点 D， 连接 CD. (1)求证：四边形 ABCD是菱形； (2)若 AB 5， AC 6， 求 AE， BF之间的距离 (1)证明： AE BF， ADB DBC， DAC BCA， AC、 BD分别是 BAD、 ABC的平分线 ， DAC BAC， ABD DBC， BAC ACB， ABD ADB， AB BC， AB AD， AD BC， AD BC， 四边形 ABCD是平行四边形 ， AD AB， 四边形 ABCD是菱形； (2) 解：如图 ， 过 A 作 AM BC 于 M ， 则 AM 的长是 AE ， BF 之间 的距离 ， AC 、 BD 交于点 O ， 四边形 AB CD 是菱形 ， AC BD ， AO OC 1 2 AC 1 2 6 3 ， AB 5 ， 在 Rt A OB 中 ， 由勾股定理得： BO 4 ， BD 2BO 8 ， 菱形 ABC D 的面积为 1 2 AC BD 1 2 6 8 24 ， 四边形 AB CD 是菱 形 ， BC AB 5 ， 5 AM 24 ， AM 24 5 ， 即 AE ， B F 之间的距离是 24 5 . 【 例 3】 如图 ， 在正方形 ABCD中 ， E、 F分别是边 BC、 CD上的点 ， EAF 45 ， ECF的周长为 4， 则正方形 ABCD的边长为 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 【 分析 】 将 DAF绕点 A顺时针转 90 时到 BAF位置后 ， 再根据旋 转的性质得出 EAF 45 ， 进而得出 FAE EAF， 即可 EF EC FC FC CE EF FC BC BF 4， 得出正方形边长即可 A 对应训练 1 (2016毕节 )如图 ， 正方形 ABCD的边长为 9， 将正方形折叠 ， 使顶 点 D落在 BC边上的点 E处 ， 折痕为 GH.若 BE EC 2 1， 则线段 CH的长 是 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 B 2 如图 ， 正方形 ABC D 和正方形 C EF G 中 ， 点 D 在 CG 上 ， BC 1 ， CE 3 ， H 是 AF 的中点 ， 那么 CH 的长是 _ _ 5