中考数学 第一部分 教材梳理 第二章 方程（组）与不等式（组）第9讲 不等式及一元一次不等式复习课件 新人教版.ppt

第 9讲 不等式及一元一次不等式 考点一 不等式的基本概念 1 不等式 用不等号表示不等关系的式子叫做不等式 2 不等式的解 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解 3 不等 式的解集 一般地 ， 一个含有未知数的不等式的所有的解 ， 组成这个不等式的解集 4 一元一次不等式 只含有 一 个未知数 ， 并且未知数的次数是 1 的 不等式 ， 叫做一元一次不等式其一般形式为 ax b 0 或 ax b 0( a 0) 5 解不等式 求 不等式的 解集 的过程叫做解不等式 考点二 不等式的基本性质 1 如果 a b ， 那么 a c b c . 2 如果 a b ， c 0 ， 那么 ac bc 或 a c b c . 3 如果 a b ， c 0 ， 那么 ac bc 或 a c b c . 温馨提示： 一定要注意：在应用不等式的基本性质 3 时 ， 要 改变不等号的方向 考点三 解一元一次不等式 1 在数轴上表示不等式的解集 不等式 在数轴上表示 x a x a x a x a 2. 解一元一次不等式的基本步骤 去分母 ， 去 括号 ， 移项 ， 合并 同类项 ， 系 数化为 1 温馨提示： 用数轴表示不等式的解集时 ， 注意实心圆点和空 心圆圈的意义 . 考点四 一元一次不等式的应用 列不等式解应用题的一般步骤 ( 1) 审题； ( 2) 设未知数； ( 3 ) 确定包含未知数的不等 关系； ( 4) 列出不等式； ( 5) 求出不等式的解集； ( 6) 检验 不等式的解是否符合题意； ( 7) 写出答案 温馨提示： 1 利用一元一次不等式解答应用题常含有的关键 词语：大于 ( ) 、小于 ( ) 、不多于 ( ) 、不少 于 ( ) 、 不超过 ( ) 、至少 ( ) 等 2 利用一元一次不等式解应用题常常要借助方程 思想 ， 解题方法与利用方程解应用题类似 ， 同时也要 渗透分类讨论思想和函数思想 3 不等式的解有无限个 ， 而实际问题的答案往往 要取特殊解 考点一 不等式的基本性质 例 1 ( 2 0 1 6 大庆 )当 0 x 1 时 ， x 2 ， x ， 1 x 的大小 顺序是 ( ) A x 2 x 1 x B 1 x x x 2 C 1 x x 2 x D x x 2 1 x 【点拨】 当 0 x 1 时 ， 在不等式 0 x 1 的两 边都乘上 x ， 得 0 x 2 x ；在不等式 0 x 1 的两边 都除以 x ， 得 0 1 1 x ， 又 x 1 ， x 2 x 1 x ， 故选 A 【答案】 A 方法总结： 运用不等式的基本性质 进行不等式的变形时 ，要 特别注意性质 2 和性质 3 的区别在不等式的两边乘 ( 或除以 ) 同一个数时 ， 必须先弄清楚这个数是正数还是 负数 ， 如果是负数 ， 不等号的方向要改变 考点二 一元一次不等式的解法 例 2 ( 2 0 1 6 无锡 )解不等式： 2 x 3 1 2 ( x 2) 【点拨】 本题考查了一元一次不等式的解法 ， 按 照解不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同 类项、系数化 1 ， 即可得出结果 解： 去分母、去括号 ， 得 4 x 6 x 2. 移项、合并同类项 ， 得 3 x 8. 系数化为 1 ， 得 x 8 3 . 方法总结： 不等式两边同乘 ( 或除以 ) 同一个负数 时 ， 要改变不 等号的方向 ， 所以在去分母、系数化为 1 两个步骤中 ， 要时刻注意是否要改变不等号的方向 . 考点三 在数轴上表示不等式的解集 例 3 ( 2 0 1 6 连 云港 )解不等式 1 x 3 x 1 ， 并将 解集在数轴上表示出来 【点拨】 去分母、移项、合并同类项 ， 得 2 x 4 ， 系数化为 1 ， 得 x 2 ， 然后将其在数轴上表示出来 解： 去分母 ， 得 1 x 3 x 3. 移项、合并同类项 ， 得 2 x 4. 系数化为 1 ， 得 x 2. 把解集在数轴上表示如图所示： 方法总结： 把不等式 ( 组 ) 的解集在数轴上表示时 ， 一是定边界 点 ， 二是定方向解集中含有等号的边界点用实心圆 点 ， 不含等号的用空心圆圈 ， 相对边界点而言 ， “ 小于 向左 ， 大于向右 ” 口诀：大于向右画 ， 小于向左画 ， 有等号画实心 圆点 ， 无等号画空心圆圈 考点四 一元一次不等式的应用 例 4 ( 2 0 1 6 沈阳 )倡导健康生活 ， 推进全民健 身 某社区要购进 A ， B 两种型号的健身器材若干套 ， A ， B 两种型号健身器材的购买单价分别为每套 310 元、 460 元 ， 且每种型号健身器材必须整套购买 ( 1) 若购买 A ， B 两种型号的健身器材共 50 套 ， 且 恰好支出 20 000 元 ， 求 A ， B 两种型号健身器材各购 买多少套？ ( 2) 若购买 A ， B 两种型号的健身器材共 50 套 ， 且 支出不超过 18 000 元 ， 求 A 种型号健身器材至少要购 买多少套？ 【点拨】 ( 1) 设购买 A 种型号健身器材 x 套 ， B 种 型号健身器材 y 套 ， 根据 A ， B 两种型号的健身器材共 50 套 ， 共支出 20 000 元列方程组求解可得； ( 2 ) 设购买 A 种型号健身器材 m 套 ， 根据 A 种型号器材总费用 B 种型号器材总费用 18 000 ， 列不等式求解即可 解： ( 1) 设购买 A 种型号健身器材 x 套 ， B 种型号 健身器材 y 套 ， 根据题意 ， 得 x y 50 ， 310 x 460 y 20 000 ， 解得 x 20 ， y 30. 答：设购买 A 种型号健身器材 20 套 ， B 种型号健 身器材 30 套 ( 2) 设购买 A 种型号健身器材 m 套 ， 根据题意 ， 得 310 m 460 ( 50 m ) 18 000 ， 解得 m 33 1 3 . m 为整数 ， m 的最小值为 34. 答： A 种型号健身器 材至少要购买 34 套 方法总结： 1 找不等关系往往要找到表示不等关系的词语 ， 但也要注意很多不等关系是隐含的 ， 如购买东西时所 花钱数要小于或等于总钱数 2 在解应用题时 ， 往往要根据实际问题的意义求 出特殊解 ， 而这些条件往往是隐含的 ， 解题时要特别 注意 1 若 a b ， 则下列式子正确的是 ( D ) A 4 a 4 b B 1 2 a 1 2 b C 4 a 4 b D a 4 b 4 2 不等式 2 x 6 0 的解集在数轴上表示正确的 是 ( C ) 3 ( 2 0 1 6 怀化 ) 不等式 3( x 1) 5 x 的非负整数 解有 ( C ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 若关于 x 的不等式 ax 3 0 的解集为 x 3 ， 则关于 m 的不等式 m 2 a 1 的解集为 ( A ) A m 3 B m 3 C m 3 D m 2 5 ( 2 0 1 6 陕西 ) 不等式 1 2 x 3 0 的解集是 x 6 6 若关于 x 的不等式 (1 a ) x 2 可化为 x 2 1 a ， 则 a 的取值范 围是 a 1 7 ( 2 0 1 6 黄冈 ) 解不等式： x 1 2 3 ( x 1) 4. 解： 去分母 ， 得 x 1 6( x 1) 8. 去括号 ， 得 x 1 6 x 14. 移项、合并同类项 ， 得 5 x 15. 系数化 为 1 ， 得 x 3. 8 为了提倡低碳经济 ， 更好地节约能源 ， 某公司 决定购买 10 台节省能源的新机器现有甲、乙两种型 号的设备 ， 其中每台的价格和工作量如下表： 节能设备 甲 型 乙 型 价格 ( 万元 / 台 ) 12 b 产量 ( 吨 /月 ) 240 180 经调查：购买一台甲型设备 12 万元 ， 购买 2 台甲 型设备比购买 3 台乙型设备少 6 万元 ( 1) 求 b 的值； ( 2) 经预算 ， 该公司购买节能设备的资金不 超过 1 10 万元 ， 共有哪几种购买方案？ ( 3) 在 ( 2 ) 的条件下 ， 若每月要求产量不低于 2 0 40 吨 ， 为了节约资金 ， 请你为该公司设计一种最省钱的购买 方案 解： ( 1) 设乙型设备每台 x 万元 ， 根据题意 ， 得 3 x 6 12 2 ， x 10 ， 则 b 的值为 10. ( 2) 设购买甲型设备 x 台 ， 则购买乙型设备 ( 10 x ) 台 ， 则 12 x 10 ( 10 x ) 1 10 ， x 5. x 取非负整数 ， x 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5. 则 10 x 10 ， 9 ， 8 ， 7 ， 6 ， 5. 共有 6 种购买方案 ， 分别是 购买乙型设备 10 台； 购买甲型设备 1 台 ， 乙型设备 9 台； 购买甲 型设备 2 台 ， 乙型设备 8 台； 购买甲型设备 3 台 ， 乙型设备 7 台； 购买甲型设备 4 台 ， 乙型设备 6 台； 购买甲型设备 5 台 ， 乙 型设备 5 台 ( 3) 由题意 ， 得 240 x 18 0( 10 x ) 2 04 0 ， x 4. x 4 或 5. 当 x 4 时 ， 购买资金为 12 4 10 6 108( 万元 ) ； 当 x 5 时 ， 购买资金为 12 5 10 5 1 10 ( 万元 ) 购买甲型设备 4 台 ， 乙型设备 6 台最省钱 一、选择题 ( 每小题 3 分 ， 共 30 分 ) 1 不等式 2 x 6 0 的解集是 ( C ) A x 1 B x 3 C x 3 D x 3 2 a ， b 都是实数 ， 且 a b ， 则下列不等式的变 形正确的是 ( C ) A a x b x B a 1 b 1 C 3 a 3 b D a 2 b 2 3 下列数值中不是不等式 5 x 2 x 9 的解的是 ( D ) A 5 B 4 C 3 D 2 4 不等式 3 x 2 ( x 1 ) 的解集为 ( C ) A x 1 B x 1 C x 2 D x 2 5 ( 2 0 1 6 江西 ) 将不等式 3 x 2 1 的解集表示在 数轴上 ， 正确的是 ( ) 【解析】 解不等式 3 x 2 1 ， 得 x 1 ， 定边界点 时要注意 ， 点是实心还是空心 ， 若边界点含于解集为 实心点 ， 不含于解集即为空心 故选 D 【答案】 D 6 ( 2 0 1 6 南充 ) 不等式 x 1 2 2 x 2 3 1 的正整数 解的个数是 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【解析】 去分母 ， 得 3( x 1) 2( 2 x 2) 6 . 去括号 ， 得 3 x 3 4 x 4 6 . 移项 ， 得 3 x 4 x 4 6 3 . 合并 同类项 ， 得 x 5 . 系数化为 1 ， 得 x 5 . 故不等式的 正整数解有 1 ， 2 ， 3 ， 4 共 4 个故选 D 【答案】 D 7 若不等式 a x 2 0 的解集为 x 2 ， 则关于 y 的方程 ay 2 0 的解为 ( ) 【导学号 90280085 】 A y 1 B y 1 C y 2 D y 2 【解析】 不等式 a x 2 0 变形为 a x 2 ， 解集是 x 2 ， a 1 ， 即 a 1 .把 a 1 代 入 ay 2 0 ， 可得 y 2 0 ， 解得 y 2 .故选 D 【答案】 D 8 关于 x 的不等式 x b 0 恰有两个负整数解 ， 则 b 的取值范围是 ( ) A 3 b 2 B 3 b 2 C 3 b 2 D 3 b 2 【解析】 解不等式 x b 0 ， 得 x b 不等式 恰有两个负整数解 ， 这两个负整数解为 1 ， 2 . 3 b 2 . 故选 D 【答案】 D 9 ( 2 0 1 6 遵义 ) 三个连续正整数的和小于 39 ， 这 样的正整数中 ， 最大一组的和是 ( ) 【导学号 90280086 】 A 39 B 36 C 35 D 34 【解析】 设三个连续正整数分别为 x 1 ， x ， x 1 . 由题意 ( x 1) x ( x 1) 39 ， x 13 ， x 为整数 ， 当 x 12 时 ， 三个连续整数的和最大 ， 最大一组的 和为 11 12 13 36 . 故选 B 【答案】 B 10 东营市出租车的收费标准：起步价 8 元 ( 即行 驶距离不超过 3 千米都需付 8 元车费 ) ， 超过 3 千米以 后 ， 每增加 1 千米 ， 加收 1 . 5 元 ( 不足 1 千米按 1 千米 计 ) 某人从甲地到乙地经过的路程是 x 千米 ， 出租车 费为 15. 5 元 ， 那么 x 的最大值是 ( ) 【导学 号 90280087 】 A 11 B 8 C 7 D 5 【解析】 根据题意 ， 得 1 . 5( x 3) 15 . 5 8 ， 解得 x 8 . 即 x 的最大值为 8 . 故选 B 【答案】 B 二、填空题 ( 每小题 3 分 ， 共 24 分 ) 11 ( 2 0 1 6 绍兴 ) 不等式 3 x 13 4 x 3 2 的解集是 x 3 【解析】 去分母 ， 得 3( 3 x 13) 4 x 24 . 去括号 ， 得 9 x 39 4 x 24 . 移项 ， 得 9 x 4 x 24 39 . 合并同 类项 ， 得 5 x 15 . 系数化为 1 ， 得 x 3 . 12 当实数 a 0 时 ， 6 a 6 a ( 填 “ ” 或 “ ” ) 13 若 ( m 2 ) x 2 m 1 1 5 是关于 x 的一元一次不 等式 ， 则该不等式的解集为 x 3 14 不等式 5 x 3 3 x 5 的最大整数解是 3 【解析】 不等式的解集是 x 4 ， 故不等式的最大 整数解为 3 . 15 ( 2 0 1 6 娄底 )当 a ， b 满足条件 a b 0 时 ， x 2 a 2 y 2 b 2 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆若 x 2 m 2 y 2 2 m 6 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆 ， 则 m 的取值范 围是 【导学号 90280088 】 【解析】 由题意知 2 m 6 0 且 m 2 2 m 6 ， 解得 3 m 8 ， m 的取值范围是 3 m 8 . 【答案】 3 m 8 16 铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、 高之和不超过 160 cm . 某厂家生产符合该规定的行李 箱 ， 已知行李箱的高为 30 cm ， 长与宽的比为 3 2 ， 则该行李箱的长的最大值为 78 cm . 【导学号 90280089 】 【解析】 设行李箱的长为 3 x cm ， 宽为 2 x cm ， 根 据题意 ， 可得 3 x 2 x 30 160 ， 解得 x 26 . 3 x 78 ， 故行李箱长的最大值为 78 cm . 17 某商店的老板销售一种商品 ， 他要以不低于 进价 20% 的价格才能出售 ， 但为了获得更多利润 ， 他 以高出进价 80% 的价格标价 ， 若你想买下标价为 360 元的这种商品 ， 老板最多降价 120 元 【导 学号 90280090 】 【解析】 设老板最多降价 x 元 ， 根据题意 ， 可得 360 x 360 (1 80 % ) (1 20 % ) ， 解得 x 120 . 商店老板最多会降价 12 0 元 18 定义新运算：对于任意实数 a ， b 都有： a b a ( a b ) 1 ， 其中等式右边是通常的加法、减法及乘 法运算 ， 如： 2 5 2 ( 2 5 ) 1 2 ( 3 ) 1 5 ， 那么不等式 3 x 13 的解集为 x 1 【解析】 由题意 ， 可得 3( 3 x ) 1 13 ， 解得 x 1 . 三、解答题 ( 共 46 分 ) 19 ( 每小题 3 分 ， 共 6 分 ) ( 1 ) ( 2 0 1 6 黄冈 ) 解不等式： x 1 2 3 ( x 1 ) 4. 解： 去分母 ， 得 x 1 6( x 1) 8 . 去括号 ， 得 x 1 6 x 6 8 . 移项 ， 得 x 6 x 6 8 1 . 合并同类项 ， 得 5 x 15 . 系数化为 1 ， 得 x 3 . ( 2 ) ( 2 0 1 6 苏州 ) 解不等式： 2 x 1 3 x 1 2 ， 并把它 的解集在数轴上表示出来 解： 去分母 ， 得 4 x 2 3 x 1 . 移项 ， 得 4 x 3 x 2 1 . 合并同类项 ， 得 x 1 . 将不等式的解集在数轴上表示 ， 如图所示： 20 ( 8 分 ) 解不等式： x 2 2 7 x 3 ， 并求出它的正 整数解 解： 去分母 ， 得 3( x 2) 2( 7 x ) 去括号 ， 得 3 x 6 14 2 x . 移项、合并同类项 ， 得 5 x 20 . 系数化为 1 ， 得 x 4 . 它的正整数解为 1 ， 2 ， 3 ， 4 . 21 ( 10 分 ) ( 2 0 1 6 大庆 ) 关于 x 的两个不等式 3 x a 2 1 与 1 3 x 0. 【导学 号 90280091 】 ( 1 ) 若两个不等式的解集相同 ， 求 a 的值； 解： 由 得 x 2 a 3 ， 由 得 x 1 3 ， 由两个不等式的解集相同 ， 得 2 a 3 1 3 ， 解得 a 1 . ( 2 ) 若不等式 的解都是 的解 ， 求 a 的取值范围 解： 由不等式 的解都是 的解 ， 得 2 a 3 1 3 ， 解得 a 1 . 22 ( 10 分 ) ( 2 0 1 6 益阳 ) 某职业高中机电班共有学 生 42 人 ， 其中男生人数比女生人数的 2 倍少 3 人 ( 1 ) 该班男生和女生各有多少人？ 解： 设该班男生有 x 人 ， 女生有 y 人 ， 依题意 ， 得 x y 42 ， x 2 y 3 ， 解得 x 27 ， y 15 . 答：该班男生有 27 人 ， 女生有 15 人 ( 2 ) 某工厂决定到该班招录 30 名学生 ， 经测试 ， 该 班男、女生每天能加工的零件数分别为 50 个和 45 个 ， 为保证他们每天加工的零件总数不少于 1 460 个 ， 那么 至少 要招录多少名男学生？ 解： 设招录的男生为 m 名 ， 则招录的女生为 ( 3 0 m ) 名 ， 依题意得 50 m 4 5 ( 3 0 m ) 1 460 ， 解得 m 22 . 答：工厂在该班至少要招录 22 名男生 23 ( 12 分 ) 某电器超市销售每台进价分别为 200 元、 170 元的 A ， B 两种型号的电风扇 ， 表中是近 两周的销售情况： 【导学号 90280092 】 ( 进价、售价均保持不变 ， 利润销售收入进货 成本 ) ( 1 ) 求 A ， B 两种型号的电风扇的销售单价； ( 2 ) 若超市准备用不多于 5 400 元的金额再采购这 两种型号的电风扇共 30 台 ， 求 A 种型号的电风扇最多 能采购多少台？ ( 3 ) 在 ( 2 ) 的条件下 ， 超市销售完这 30 台电风扇能 否实现利润为 1 400 元的目标？若能 ， 请给出相应的采 购方案；若不能 ， 请说明理由 分析： ( 1 ) 设 A ， B 两种型号电风扇的销售单价分 别为 x 元、 y 元 ， 根据 3 台 A 型号和 5 台 B 型号的电 风扇收入 1 800 元 ， 4 台 A 型号和 10 台 B 型号的电风 扇收入 3 100 元 ， 列方程组求解； ( 2 ) 设采购 A 种型号 电风扇 a 台 ， 则采购 B 种型号电风扇 ( 30 a ) 台 ， 根据 金额不多于 5 400 元 ， 列不等式求解； ( 3 ) 设利润 为 1 400 元 ， 列方程求出 a 的值为 20 ， 不符合 ( 2 ) 的条件 ， 可知 不能实现目标 解： ( 1) 设 A ， B 两种型号电风扇的销售单价分别 为 x 元、 y 元 ， 依题意 ， 得 3 x 5 y 1 800 ， 4 x 10 y 3 100 ， 解得 x 250 ， y 210 . 答： A ， B 两种型号电风扇的销售单价分别为 250 元、 21 0 元 ( 2) 设采购 A 种型号电风扇 a 台 ， 则采购 B 种型号 电风扇 ( 30 a ) 台 ， 依题意 ，得 200 a 170 ( 30 a ) 5 400 ， 解得 a 10 . 答：超市最多采购 A 种型号电风扇 10 台 ( 3) 依题意 ， 得 ( 250 200) a ( 210 170 ) ( 30 a ) 1 400 ， 解得 a 20 . a 10 ， 在 ( 2) 的条件下 ， 超市不能实现利润为 1 400 元的目标 .