数形结合思想方法的应用

数形结合思想方法的应用数形结合的思想方法是中学数学的重要思想方法，应用广泛，在日常的数学教学中结合数学内容不断渗透，提高学生的抽象和概括能力，不断提高解题的效率。一、用数学结合的思想方法解决集合问题例1 已知集合，则AB的元素的个数为（ ）A 0 B 1 C 2 D 3分析：方法一 解方程组，故选 C 方法二 圆与抛物线有2个交点，故选C很明显，解法二，直观明了，甚至想一想就可以得出答案。例2 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛。问同时参加田径和球类比赛的有多少人？分析：文字信息较多，学生处理起来有一定困难，如果采用韦恩图，把抽象问题直观化，则非常简单。如图所示，设同时参加田径和球类比赛有x人，则只参加田径比赛的有5-x人，只参加球类比赛的有11-x人。 9+3+5-x+3+x+11-x=28 x=3二、用数形结合的思想方法解决三角函数问题例3 已知求f(x)的值域。分析:求给定区间上的三角函数的最值或值域，是学习的难点，如果不画图象，那么思考起来很抽象，容易出错。， 画出函数的图象，则易知，。例4 求下列函数的最小正周期。（1） （2）分析：（1），只需要画出函数与的图象，则可知它们的最小正周期都是。三、用数形结合的思想方法解决解析几何问题。例5 已知且满足求：（1）的范围 （2）的值。分析：方程表示以（2,0）为圆心，r=1为半径的圆。令，那么问题（1）转化为直线与圆有交点时，t的取值范围，实现“形”与“数”的转化。由得。同理可解得（2）。例6 求圆的点到直线的最大距离和最小距离。分析：按一般思路，在圆上任取一点，则P到直线的距离，采用一般函数求最值的方法，比较困难。如果画出图形容易看出，只需求圆心C（2,2）到直线的距离那么所求最大值为，最小值为。四、用数形结合的思想方法解决函数与导数问题例7 已知 求函数的零点个数。分析：直接解方程很困难。求的零点，即求方程=0的解。即的解，也就是函数的图象交点的个数，因此，只要在同一坐标系中画出这两个函数的图象即可。易知函数有3个零点。例8 如果函数有3个不同零点，求实数m的取值范围。分析：先分析函数的单调性，画出函数的简图，根据图象来回答所求问题。，令得，令得，故单调递增，所以，当，当 ，如图所示，有3个零点，需满足， 从以上事例看出，我们日常的数学教学，不应只重视“知识点”的教学，更应该注重对数学思想和数学本质的揭示，注重发展学生的数学素养，通过数学问题的解决培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的应用意识和创新精神，培养学生克服困难的顽强意志和锲而不舍的精神。4