考研概率全程笔记

概率论基础知识第一章随机事件及其概率-随机事件1几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为酶醺；(1)试验可在相同条件下市:复进行(2)试验的可能结果不止一个,且所有可能结果是已知的:(3)每次试验哪个结果出现是未知的:随机试验以后简称为试验，并常记为E。例如：E,：掷一骰子，观察出现的总数：E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A, B, C例如，在Ei中，A表示掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件,记为Q。每次试验都不可能发生的事情称为|不可能事件|，记为。例如，在Ei中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为W。4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为废四加例如，在&中，“掷出1点”，“掷出2点”，掷出6点”均为此试验的基本事件。由基本事件构成的事件称为恒踵廷|，例如，在Ei中“掷出偶数点”便是复合事件。5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为|样本点常记为e.例如，在日中，用数字1,2,，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集1,2,6便是Ei中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H, H),(H, T),(T, H),(T, T),其基本事件便是(H, H),(H, T),(T, H),(T, T)显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。例如，在Ei中“掷出偶数点”的事件便可表为2,4,6。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Q。例如，在Ei 中,Q=1,2,3,4,5,6)在 E2中，C=(H, H),(H, T),(T, H),(T, T)在 E3中，Q=0,1,2,例1,一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。此试验样本空间所有样本点的个数为N2P 2“产90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为练=45（组合）例2.随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所 有样本点的个数为15)(10卜者练15!5!561第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列2事件间的关系与运算1、包含：“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A,记为A UB或B Z）A。例如，在Ei中,令A表示“掷出2点”的事件,即人=2B表示掷出偶数”的事件，即B=2, 4, 6则AuB2、相等：若A UB且B CA,则称事件A等于事件B,记为A=BA= B例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然A=B3、和：称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为A U B，或A+B例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件。推广：U4=4U4UU4=人4，4至少有一个发组有限个 J1（Ja =4U4U =A,4至少有一个发生）无穷可列个-14、积：称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为A CIB或AB。例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令人=接到偶数次呼唤, B=接到奇数次呼唤,则A nB=接到6的倍数次呼唤推广:=444=44,4同时发生任意有限个2-1=44=4,出同时发生i-l无穷可列个5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。A - B例如，测量晶体管的B参数值，令A=测得B值不超过50, B=测得B值不超过100,则 A-B=巾，B-A=测得B值为50,则称A与B是互不相容的。AB 0例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若人=红灯亮）, B=绿灯亮,则A与B便是互不相容的。7、对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为N显然工UN = C，AC Z=4例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A=取得的3个产品中至少有一个次品,则月=取得的3个产品均为正品。3事件的运算规律1、交换律 AUB=BUA； ACB=BCA2、结合律(AUB) UC=AU (BUC)；(APB) nC=AD (BAC)3、分配律 AD (BUC)=(ACB) U (AAC), AU (BAC)=(AUB) D (A UC)4、对偶律 AUB = AB,ACB = AB,此外，还有一些常用性质，如AU B DA, AUB D B (越求和越大)；AHB CA, ADB CB (越求积越小)。若 A UB,则 AU B=B,AC B=A A-B=A-AB= A B 等等。例3,从一批产品中每次取一件进行检验，令Aj=第i次取得合格品,i=l,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A=三次都取得合格品B=三次中至少有一次取得合格品 C=三次中恰有两次取得合格品） D=三次中最多有一次取得合格品）解：a = AiAzA3 b =4U4U& c =44&U444UQ =44U4&U兑2“3表示方法常常不唯一，如事件B又可表为B =4石耳U耳U 4石耳UU 443 U 44川U或=耳豆耳例4,一名射手连续向某一目标射击三次，令Aj=第i次射击击中目标, i=l,2,3,试用文字叙述下列事件：4U4，4U4U&44&4-&4U4,4U不解：&U4=（前两次射击中至少有一次击中目标J石=第二次射击未击中目标）4U4U区=（三次射击至少有一次击中目标J A1A2A3=（三次射击都击中目标）A3-A2=第三次击中目标但第二次未击中目标而石=（前两次均未击中目标册主:而再=可石）411豆=（前两次射击至少有一次未击中目标）例5,下图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点，I , II, III.闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。解，不难看出有如下一些关系：BC C.A.BD a. ABCuBD = A, BA = O,等-事件的概率1概率的定义所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P （A）o规定P（A）O, P （Q）=k1、古典概型中概率的定义古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同；例如：掷一匀称的骰子，令人=掷出2点=2, B=掷出偶数总）=2,4,6o此试验样本空间为。=1,2,3,4,5,6,于是，应有1=P （ Q ）=6P （A）,即 P （A）=-.而 P (B) =3P (A)=3 8 所含的基本事件数6基本事件总数定义1：在古典概型中，设其样本空间Q所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N。而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为Na，则事件A的概率便定义为：pg 3/包含基本事件数_亚-基本事件总数例1，将枚质地均匀的硬币抛三次，求恰有一次正面向上的概率。解：用H表示正面，T表示反面，则该试验的样本空间。=(H, H, H)(H. H, T)(H, T, H)(T, H, H)(H. T, T)(T, H, T)(T, T, H)(T, T, T).可见N0=8令人=恰有一次出现正面,贝ijA=(H, T, T)(T, H, T)(T, T, H)可见，令Na=3故尸=丝=之练8例2,(取球问题)袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。(1)有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；(2)无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；(3)一次取球：从袋中任取3个球。在以上三种取法中均求A=1恰好取得2个白球的概率。解(1)有放回取球N=8X8X8=83=512(袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等)N.=5x5x3=5231=225A 90I“(先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取尸=竺=0,44N0 =8x7x6 =4(2)无放回取球(3)Na =5x4x3 =(3)一次取球招=56Q (3J 3!5!故 P(A)=-A= 3363 3 ,故产(4) = &2 4=180练JNa =30“2 11 八J.0(3.22.054%；56白球还有五种情况(注意是有放回，第三次取黑球只有三种情况)练512属于取球问题的一个实例:设有100件产品，其中有5%的次品，今从中随机抽取15件，则其中恰有2件次品的概率便为= 0.1377（属于一次取球模型）例3 （分球问题）将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（nWN）。解：令人=恰有n个盒子各有一球,先考虑基本事件的总数先从N个盒子里选n个盒子，然后在n个盒子里n个球全排列（卜故尸（=以一N*属于分球问题的一个实例:全班有40名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令人=40个同学生日皆不相同,则有4n (365练=365?%= Io40!故尸（） =（可以认为有365个盒子，40个球）例4 （取数问题）从0, 1,.9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字,并按其出现的先后排成一列，求下列 事件的概率：（1）四个数排成一个偶数：（2）四个数排成一个四位数：（3）四个数排成一个四位偶数；解：令人=四个数排成一个偶数, B=四个数排成一个四位数, C=四个数排成一个四位偶数练=4=10x9x8x7；纥=5x9x8x7,故产(5)5x9x8x7 2=0.510x9x8x7与=4= 10x9x8x7-9x8x7,故 P(B)10x9x8x7-9x8x710x9x8x7= 0.95x9x8x7-4x8x7,故 P(C)=5x9x8x7-4x8x7八0.45610x9x8x7例5（分组问题）将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率各为多少？解：令人=有人手里有13张黑桃, B=有人手里有4张A牌）52)(39M26Ml3)131313132）（39）的 03、 同13加于是P(A)=匕=N0故p（B）=必=/不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质:1 P (A)202 P ( Q )=1XJ .3若A|, A2,A”两两互不相容，则尸(4)=2尸(4)2-12-12、概率的统计定义频率：在n次重爱试验中，设事件A出现了以次，则称：力（/）=工为事件A的频率。频率具有一 n定的稳定性。示例见下例表试验者抛硬币次数n正面（A）出现次数以正面（A）出现的频率工（卬=工 n德摩尔根204810610.5180浦丰404021480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998定义2：在相同条件下，将试验重复n次，如果随着重复试验次数n的增大，事件A的频率MA）越来越稳定地在某一常数p附近摆动，则称常数p为事件A的概率，即P（A）=p不难证明频率有以下基本性质：1。工(202。Q)=13若A” a2,，两两互不相容，则/(04)=之工(4)-13、概率的公理化定义(数学定义)定义3：设某试验的样本空间为C,对其中每个事件A定义一个实数P(A),如果它满足下列三条公理：1 P (A)20(非负性)2 P(Q)=1(规范性)9_3若A, Ax，An两两互不相容，则尸(JA,)= W产(4)(可列可加性，简称可加性)则称P (A)为A的概率4、几何定义定义4：假设Q是Rn(n=l,2,3)中任何一个可度量的区域，从Q中随机地选择一点，即Q中任何一点都有同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是。，假设事件A是Q中任何一个可度量的子集，则P(A)=u(A)/ u(Q)2概率的性质性质1：若A UB,则P(B-A)=P(B)-P(A)差的概率等于概率之差证：因为：A Ub所以：B=AU(B-A)且AA(B-A)=,由概率可加性得 P (B)=PAU (B-A)=P (A)+P (B-A)即 P (B-A)=P (B)-P (A)性质2：若A UB,则P (A) WP (B)概率的单调性证：由性质1及概率的非负性得OWP (B-A)=P (B)-P (A),即P (A)P (B)性质3： P (A) W1证明：由于A UC,由性质2及概率的规范性可得P (A)性质4：对任意事件A, P (%)=1-P (A)证明：在性质1中令 B=Q便有 P (刁)=P ( Q-A)=P ( Q )-P (A)=1-P (A)性质5： P ()=0证：在性质4中，令 A=Q ,便有 P (。)=P ( Q )=1-P ( Q )=1-1=0性质6 (加法公式)对任意事件A,B,有 P (AUB) =P (A) +P (B) -P (AB)证：由于 AUB=AU (B-AB)且 AC (B-AB)=。(见图)由概率的可加性及性质1便得P (AUB) =PAU (B-AB) =P (A) +P (B-AB)=P (A) +P (B) -P (AB)推广：P (AUBUC) =P (A) +P (B) +P (C) -P (AB) -P (AC) -P (BC) +P (ABC)例6设10个产品中有3个是次品，今从中任取3个，试求取出产品中至少有一个是次品的概率。解：令C=取出产品中至少有一个是次品,则守=取出产品中皆为正品,于是由性质4得P(C) =1-P(C) = 1-7171- -= = 0.7124 24例7,甲，乙两城市在某季节内下雨的概率分别为0.4和0.35,而同时下雨的概率为0.15,问在此季节内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。解：令人=甲城下雨, B=乙城下雨,按题意所要求的是P (AUB)=P (A)+P (B)P (AB)=0.4+0.35-0.15=0.6例8.设 A,B,C 为三个事件，知 P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求 A,B,C 至少有一个发生的概率。解：由于ABCuAB故0P (ABC)0,为在事件B发生的条件下，事件A 尸的条件概率。同样，如果P(A)0,则称产(%)=为在事件A发生条件下,事件B的条件概率条件概率的计算通常有两种办法：(1)由条件概率的畲义计算(通常适用于古典概型)，山条件概率的定义计算。例2：一盒子内有10只晶体管，其中4只是坏的，6只是好的，从中无放回地取二次品管，每次取一只，当发现第一次取得的是好的晶体管时，向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少？解：令 A=第一次取的是好的晶体管, B=第二次取的是好的晶体管按条件概率的含义立即可得：P(%)=|按条件概率的定义需先计算：尸=9=之,尸(3)=生2；于是尸(%)=斗驾=?3=210510x93产3/9例3：某种集成电路使用到2000小时还能正常工作的概率为0.94,使用到3000小时还能正常工作的概率为0.87.有一块集成电路已工作了2000小时，向它还能再工作1000小时的概率为多大？解：令 A=集成电路能正常工作到2000小时, B=集成电路能正常工作到3000小时已知:：P(A)=0.94, P(B)=0.87且3 U 4,既有 AB=B 于是 P(AB)=P(B)=0.87按题意所要求的概率为：产(%)=殷=丝2=0.926尸0.942关于条件概率的三个重要公式1 .乘法公式定理1：如果产仍)0,则有网48)=尸)尸(%),如果产0,则有尸58)=尸)尸窗)例4：已知某产品的不合格品率为4%,而合格品中有75%的一级品，今从这批产品中任取一件，求取得的为一级的概率.解：令A=任取一件产品为一级品, B=任取一件产品为合格品,显然AaB,即有AB=A 故P (AB)=P (A).提，所要求的概率便为尸=P(AB)=尸(8)产出)=96%X75%=72%例5:为了防止意外，在矿内安装两个报警系统a和b,每个报警系统单独使用时，系统a有效的概率为0.92,系统b的有效概率为0.93,而在系统a失灵情况下，系统b有效的概率为0.85,试求：(1)当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率；(2)在系统b失灵情况下，系统a有效的概率.解：令 A=系统a有效 B=系统b有效已知 P=0.92, P=0.93,尸%)=085对问题(1),所要求的概率为U 5)=1.85- PAB,其中 PAB PB - BA)(见图)=产-P(BA)=尸-尸(N)尸%)=0.93-0.08 xQ.85=0,862于是 P(U5)=1.85-0.862=0,988对问题所要求的概率为：尸(%)=需=岩需=嘴岁=萨=期推广：如果尸(小&4-i)o,则有产(444)二尸4%仅J产%4.4 J证:由于4 n 44nn &V 4，故尸(4)2-44)22尸(4出和。所以上面等式右边的诸条件概率均存在，且由乘法公式可得4M4)=尸(4/4必%出4 J=取夕4加例6：10个考签中有4个难签，三个人参加抽签(无放回)甲先，乙次，丙最后，试问(1)甲、乙、丙均抽得难签的概率为多少？(2)甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少？解：令A,B,C分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件，对问题(1),所求的概率为: N血)=y)P(%X% j * X 白$=0。33对问题(2),甲抽得难签的概率为：P(A)=0.410P= P（ABU AB）- P（AB）+ P（AB）=产（月）尸%）+尸（月）尸%）乙抽得难签的概率为4364=X+ X=04109109尸（C）= P（ABC U ABC U ABCJABC）= PABC）+尸5C）+ P（ABC）+ P（ABC）丙抽得难签的概率为I尸俗0=明尸% H%/十其中）=/小犯”尸尸（%蛇鬲x个尸仅犯尸疑%H%J=白令=i于是 p（c）=+-+-=0.43010106102 .全概率公式完备事件里|：如果一组事件在每次试验中必发生且仅发生一个,即 UHi =武=J）.则称此事件组为该试验的一个完备事件组2-1例如，在掷一颗骰子的试验中，以下事件组均为完备事件组：1,2,3,4,5,6；1,2,3,4,5,6;A , N(A为试验中任意一事件)定理2：设 Hi，/?，耳.为一完备事件组，且尸（耳JO（i =12则对于任意事件A有产口）=力（区）产 2-1证：由于U = Q且对于任意i * j9 Hi n ;/1=1于是A=AC = A（|jHi）= ChNi）且对于任意W于是由概率的可加性及2-12-1r X黑乘法公式便得：尸u典卜%.例7,某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下:由全概率公式便得所求的概率为根据以往资料可知，中国胜美国的概率为0.4 ,中国胜日本的概率 为0.9,而日本胜美国的概率为0.5,求中国得冠军的概率。解：H=日本胜美国）,豆=美国胜日本）,A=中国得冠军尸=尸尸（）+尸（研为卜05x0.9 + 0,5x0,4 =0,65例8,盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时，从盒中任取3个使用，用后放会盒中,第二次比赛时，再取3个使用，求第二次取出都是新球的概率解：令 H =第一次比赛时取出的3个球中有i个新球i=O,1,2,3, A =第二次比赛取出的3个球均为新球口m法叶P）于是 P(H0)=融，P(H 1)=b)胃胃(3)(si而 p%。尸p(%1)h p(%?)H p磔由全概率公式便可得所求的概率.即演出即LIPU3贝叶斯公式定理3：设 H i ,H 2H ”为一完备事件组，且P(HjO(i =1,2,证:由乘法公式和全概率公式即可得到产(%)= 笔蛾例9：某种诊断腕症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95,不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为0.95,并假定就诊者中有0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？ y(先验概率)解：令H=做实验的人为癌症患者,可=做实验的人不为癌症患者), A=实验结果反应为阳性,实验结果反应为阴性,由贝叶斯公式可求得所要求的概率:例10：两信息分别编码为X和丫传送出去，接收站接收时，X被误收作为丫的概率0.02,而丫被误作为 X的概率为0.01.信息X与丫传送的频繁程度之比为2:1,若接收站收到的信息为X,问原发信息也是X 的概率为多少？解：设H=原发信息为x而目=原发信息为冷又设A =收到信息为X A =（收到信息为Q2由题意可知产（女）=可，尸口卜）=1-产（工口）= 1-0.02 = 0.98PHA)尸（刈凡）尸（月）P（AH）P（H） +尸例五）尸（耳）由贝叶斯公式便可求得所要求的概率为2 0.98x32f0.98X- + 0.01X-33196197例11：设有一箱产品是由三家工厂生产的，已知其中 %的产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品 各占 %,已知甲，乙两厂的次品率为2%,丙厂的次品率为4%,现从箱中任取一产品（1） 求所取 得产品是甲厂生产的次品的概率；（2） 求所取得产品是次品的概率；（3）已知所取得产品是次品，问他是由甲厂生产的概率是多少？解：令以1，耳2,月3分别表示所取得的产品是属于甲、乙、丙厂的事件，A=所取得的产品为次品显然阳）吆,尸） = *） = %,产阂= 修）=4%对问题（1）,由乘法公式可得所要求的概率：尸（H工）=尸（女1）产（% ） = %x2%1%对问题（2）,由全概率公式可得所要求的概率x2% + %x2% + %x4% =2.5%对问题（3）,由贝叶斯公式可得所要求的概率费7。%四独立性1事件的独立性如果事件B的发生不影响事件A的概率，即?（%）=尸（,（尸伊）0）则称事件A对事件B独立。如果事件A的发生不影响事件B的概率，即尸（夕彳）=尸（8）,（尸（0）则称事件B对事件A独立。不难证明，当尸（0,尸（3）0时，上述两个式子是等价的。事实上，如果尸照）=尸缶），则有尸（43）=产）产（%）=尸（4）尸（8）反之，如果产（4B）=尸（尸（B）,则有产（%）=与当产（%）=尸o F（AB）=产（欧同样可证产（%）= P O P（AB）=?仍炉仍）尸（%卜尸（ O P（AB）=尸（d）P（B）O P（%）=产仍）可见事件独立性是相互的。设4, 8为两个事件，如果P（AB）=尸（P（B），则称事件A与事件8相互独立。例1,袋中有3个白球2个黑球，现从袋中（1）有放回；（2）无放回的取两次球，每次取一球，令A=第一次取出的是白球 B=第二次取出的是白球问A, B是否独立？解有放回取球情况，则有尸（=%，尸（8）=%，产（/3）=3%=%5可见，尸（HB）=尸（尸（3）,可见A, B独立。（2）无放回取球情况，则有尸（4）= %,p（b） =3x2 +3x2 35x4 10可见，尸（SB） x尸（为乃伊），故A, B不独立。（实际上就是抓阉模型）例2,设有两元件，按串联和并联方式构成两个系统I , U （见图）每个元件的可靠性（即元件正常工作的概率）为r（Or2户-M =储=产(CJ(00 q K_J啕中t_ n 3k *-h例5：设电灯泡的耐用时数在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用了1000小时之后：（1）恰有一个灯泡损坏的概率；（2）至多有一个灯泡损坏的概率。解：在某一时刻观察三个灯泡损坏情况为3重贝努里实验。令A=灯泡是坏的）,则p=P（A）=0.8若令B产（有i个灯泡损坏, i=0,对于问题（2）,所求的概率为123；对于问题（1）,所求的概率为产（4）=A（1）=（。0.810.22=0.096尸（稣U员）=尸（稣）+尸（即=取0）+月（1）=（0,2）3+（?）0.8110.22=0.008+0,096=0.104例6：某工厂生产某种产品，其次品率为0.01,该厂以每10个产品为一包出售，并保证若包内多于一个次品便可退货，问卖出的产品与被退的比例多大解：卖出产品被退回的比例也即卖出一包产品被退回的概率，观测一包内次品（即事件A, p=P（A）=0.01）数的实验可视为10重贝努里实验。令用=（包内有，个次品,7=0,1,2,10则产=的（。01）（099）3/=0,1,2,10令c=卖出一包被退回,则P=1-P（C）=1-P（B0 U5j = l-尸（稣）-尸（用）=1-（0.9严）-0）（0.0（0.99）90004如果厂方以20个产品为包出售，并保证包内多于2个次品便可退货，情况又将如何呢？完全类似可算得尸（C）=1-（0.99）2-（秋001（099）19_ e）（0.01）2（0.99”0001第二章随机变量及其分布函数-随机变量及其分布函数 1随机变量的概念随机变量：设试验的样本空间为。，在。上定义一个X=X(e),ee。,对试验的每个结果e, X = X(e)有确定的值与之对应。由于实验结果是随机的，那X = X(e)的取值也是随机的，我们便称此定义在样本空间Q上的单值实函数*= X (e)为一个随机变量。引进随机变量后，试验中的每个事件便可以通过此随机变量取某个值或在某范围内取值来表示了。(见图)通俗讲，随机变量就是依照试验结果而取值的变量。例1向靶子(见图)射击一次，观察其得分，规定击中区域得2分 TTI II击中区域HI得0分样本空间。= I , II,111)定义随机变量X表示射击一次的得分即2 e =1,于是，X = Xe)=500B=测得灯泡寿命不超过5000(小时)=XW5000。不具明显数量性质的试验也可以定义随机变量表示试验中每个事件。例4将一枚硬币上抛一次，观察正，反面出现的情况。试验的样本空间。=H, T, H 一正面，T 一反面。可定义随机变量X表示上抛1次硬币正面出现的次数，即理，A X = X =1, e = H,=出现正面 = X = 1 .用随机变量表示事件常见形式有1XX x7=Xx.等等(这里X为随机变量，X , X1, Xz等为实数)2分布函数定义设X为随机变量，对任意实数X,则称函数F (x)=PXWx为随机变量X的分布函数。例1机房内有两台设备，令X表示某时间内发生故障的设备数，并知PX=0)=0.5, PX=l=0.3, PX=2=0.2,求X的分布函数F(x)。解：由于X的可能取值为0,1,2故应分情况讨论：(1) 当 x0时，F ( x )=PX x=0(2) 当0W x 1时，F ( x )=PXW x =PX=0=0.5(3) 当 lWx2时,F ( x )=PX x =PX=0+PX=l=0.5+0.3=0.8(4) 当 x22时，F ( x )=PXWx=PX=O+PX=1+PX=2=0.5+0.3+0.2=10,总之，F(x)=0.8,11 x 2 x22例2向一半径为2米的圆形靶子射击，假设击中靶上任何一同心圆的概率为该同心圆的面积成正比，且每次射击必中靶。令X表示弹着点到靶心距离，求X的分布函数F ( x ).解：当 x0时，F ( x )=PX2时，F ( x )=PXWx=l性质1 F (x)是单调不臧的，即对任意x, OWF ( x ) W1且 F (-8)=0, F (+8)=1；3. F ( x )为右连续的，即对任意x,有F(x+O)= F(x)。可以证明(略)以上三条性质是分布函数所具有的三条基本共同特性。利用分布函数可求随机变量落在某些区间上的概率，如PX a= p与力=1- RX 4司=17（a）PaXib= PX b-PX a）=尸-尸（a）等等。例3在前面打靶的例子中，已知X表示弹着点到靶心距离，并求得其分布函数为0, x2,于是便可以利用此分布函数，求出击中靶上环形区域（见图）的概率产0.4r99%即(l-p/-10.01即(0.99尸40.01,解得2包”1=456.96取2457In 0.99例4某产品40件，其中有次品3件，现从中任取3件（1）求取出的3件产品中所含次品数X的分布律（2）求取出产品中至少有一件次品的概率：（3）求出X的分布函数F（X）,并作其图形。解（1） X的可能取值为0,1,2,3,且有=0.7865 P(X = 1)=00I 八 J = 0.2022HF)PX =2)=1,八、/=0.0112f40)=0.0001中至少含有一件次品的概率为于是X的分布律为0123U0.78650.20220.01120.0001PX21=PX=1+PX=2+PX=3=0.2022+0.0112+0.0001=0.2135或 PX1=1-PX1=1-PX=0=1-0.7865=0.2135(3)由分布函数定义不难求得X的分布函数为f(x)10.99990.988707B650d230,x00.7865,04 x 1尸(x)=0,9887,1%20.9999,2 x3离散型随机变量其分布函数的图形有如下特点：(1)阶梯形；(2)仅在其可能取值处有跳跃；(3)其跃度为此随机变量在该处取值的概率。一般，若x的分布律为Px=x,=pi,i=i,2,，则x落在区间I内的概率便为 P(Xel)=piJr.eZ从而，X的分布函数与分布律的关系便为尸(彳)=2几个重要分布,X 0 I1两点分制如果随机变量X的分布律为 p q p其中0p1, q=1-p则称X服从参数为P的(01)两点分布,简称为两点分布,记为XB(1, p)实际背景:在贝努里实验中，设事件A的概率为p(0pl)如果所定义的随机变量X表示A发生的次数，即x J1,媛生，例5 .一批产品的废品率显然X的外而律)X-B(l,p)为5%,从中任取一个进行检查，若令X表示抽得废品的数H，即X01P95%5%则XB(l,5%)即X的分布律为1,抽得废品(0,抽得正品左=0,1,2,附其中 0p1,2.匚项分布|如果随机变量X的分布律为PX = k)P,则称X服从参数为(n,p)的二项分布，记为XB (n.p)实际背景：由第一章，独立重复实验一段中可知，在n重贝努里实验中，如果每次实验事件A出现上=012,，力的概率为p(Op5)=产(X = k)例7一批产品的废品率为0.03,进行20次独立重复抽样，求出现废品的频率为0的概率。解：令X表示20次独立重复抽样中出现的废品数. X-B (20,0.03)(注意：不能用X表示频率,若X表示频率，则它就不服从二项分布)所求的概率为尸(%= o D =产X =2=203)地97y8=00988泊松定理：如果 npn = z-10(=,则有 lim :球(1-外)“=/-e-，*=0,1,2,kkL I证：由于号*= R即/=于是n产=怕阴用 n)近似公式:设n充分大，p足够小（一般n210,pW0.1）时，有例8:利用近似公式计算前例中的概率.vP( = 0.01) = PX = 2)解：.* e-06-0.09879 2!202(0.03)2(0.97*1 = 20,p = 0.03, ,1=即=0.6)例9:有20台同类设备由一人负责维修，各台设备发生故障的概率为0.01,且各台设备工作是独立的,试求设 备发生故障而不能及时维修的概率.若由3人共同维修80台设备情况又如何？解：（） 1人维修20台设备. 而不能及时维修的概率为令X表示某时刻发生故障的设备数.XB（20,0.01） 于是，发生故障PX 2) = Y (0.01尸(0.99)W k21即=20x0.01=0.2)JU2用（2）3人维修80台设备 不能及时维修的概率为查表假设X表示某时刻发生故障瘢客射耳2B （80, 0.01）于是，发生故障而PX 4) =80(0.01)(0.99)8* 为280(0.8/k80x0.01 = 0.8)查表=0.00913.恒检允布如果随机变量X的分布律为尸尤=后=二（eT,k =0,l,2，其中入0,则称X服从参数为人的泊松分布，记为Xn（入）或者XP（A）实际背景：满足下列条件的随机质点流（一串重复出现的事件）称为泊松流。（1）在时间&Z+&）内流过质点数的概率仅与&有关，与t无关；（2）不相交的时间间隔内流过的质点数彼此独立；（3在充分短的一瞬间只能流过一个或没有质点流过，要流过2个或2个以上质点几乎是不可能的。可以证明泊松流在单位时间内流过质点数便服从泊松分布。例如：单位时间内放射性物质放射出的粒子数；单位时间内某电话交换台接到的呼唤次数；单位时间内走进商店的顾客数等等；均可认为它们服从泊松分布。例10：设 X双耳且已知PX=1=PX=2,求PX=4解：由于万取不，即X的分布律为产尤=口=二_“&=0,1,2于是有J11212尸X = D =二-6=八P FX =2)=M-e-a =二一0.由条件 PX=1=PX=2可得方程1!2!2加=二8-*即2,1=,也即2）=0解得入=2,0（弃去）2，a杳表所以X- X2）,于是产（X=4）=亍=0.0902例11：设电话交换台每分钟接到的呼