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在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1第四节 基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法 初等函数求导初等函数积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:第四四章 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确有理函数 rational function 真分式 proper fraction假分式 improper fraction在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确3一、一、有理函数的积分有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm 时,)(xR为假分式;nm 时,)(xR为真分式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 简单分式:形如kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk的分式.(其中A、a、M、N、p、q为常数)在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4定理定理.任何一个真分式机动 目录 上页 下页 返回 结束()()P xQ x(),()P x Q x(无公因子)都可分解成若干个简单分式之和,并且(1)若Q(x)=0有k重实根a(即把Q(x)在实数范围内因式分解,含有 因子),则分解时必含有以下的分式:()kxa122()()()kkAAAxaxaxa其中12,kA AA为待定系数.(2)若Q(x)=0有一对k重共轭复根,和(即把Q(x)在实数范围内因式分解,含有 因子),则分解时必含有2()kxp xq11222222()()()kkkB xCB xCB xCxpxqxpxqxpxq其中11,kkBB CC为待定系数.2()()xpxqxx在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确5机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据上述的结论,一个真分式()()P xQ x都可分解成若干个简单分式之和,而这些简单分式不外乎为以下四种类型:(1)Axa(2)(2,3,4)()kAkxa22(3)(40)AxBpqxpxq22(4)(40,2,3,4)()kAxBpqkxpxq于是,求任何一个真分式的不定积分问题,也就转化为求以上四种类型的不定积分.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确6机动 目录 上页 下页 返回 结束 求四种类型的不定积分：(1)Adxxaln|AxaC(2)()kAdxxa1()(2,3,4,)1kAxaCkk 2(3)AxBdxxp xq2222()()22()()24ApBdxAd xpxqppxpxqxq22222ln()arctan244ABAPxpxp xqCqpqp在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确7机动 目录 上页 下页 返回 结束 求四种类型的不定积分：2(4)()kAxBdxxpxq2222()()22()()()24kkApBdxAd xp xqppxp xqxq21()2(1)kAxp xqk 2ptx24paq22()2()kApdtBtakI上一节例91222211212()21arctankkntnIInatanatICaa四种类型的不定积分都为初等函数在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确8机动 目录 上页 下页 返回 结束 有理函数的不定积分：有理函数的不定积分：有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和结论结论:有理函数的不定积分为初等函数.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确9例例1.将下列真分式分解为部分分式:;)1(1)1(2xx;653)2(2xxx.)1)(21(1)3(2xx解解:(1)用拼凑法22)1()1(1xxxx2)1(1x)1(1xx2)1(1x)1(xx2)1(1x11xx1)1(xx)1(xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确10(2)用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x机动 目录 上页 下页 返回 结束 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确11(3)混合法)1)(21(12xx xA2121xCBx原式)21(xA21x54机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入等式两端分别令1,0 xC541215461CB52B51C原式=x214512112xx在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确12例例2.求.)1)(21(d2xxx解解:已知)1)(21(12xx51x214212xx211xxx21)21(d52原式221)1(d51xx21d51xxx21ln52)1(ln512xCxarctan51例1(3)目录 上页 下页 返回 结束 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确13例例3.求.d3222xxxx解解:原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2()1()1d(3xxCx21arctan23思考思考:如何求机动 目录 上页 下页 返回 结束?d)32(222xxxx提示提示:变形方法同例3,并利用上一节课件例9.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确14例例4.求机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:令得1,1,1.ABC 原式21111(1)1dxxxx11ln11xCxx223(1)(1)1(1)1xABCxxxxx23d.(1)(1)xxxx在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确15例例5.求求xxxd)4)(1(22)4()1(22xx.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确16例例6.求求.d)22(222xxxx解解:原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1)1(d2xx222)22()22d(xxxx)1arctan(x2212xxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确17例例7.求求常规 目录 上页 下页 返回 结束 解解:原式xxd14)1(2x)1(2 x211d4xx(见P348公式21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0(x按常规方法较繁按常规方法较繁在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确18按常规方法解:1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比较系数定 a,b,c,d.得)12)(12(1224xxxxx第二步 化为部分分式.即令)12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比较系数定 A,B,C,D.第三步 分项积分.此解法较繁!机动 目录 上页 下页 返回 结束 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确例例.求.dsincossincos3xxxxx解解:令xxsincos3xBAxBAsin)(cos)(比较同类项系数3 BA1BA,故2,1BA 原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln说明说明:此技巧适用于形为xxdxcxbxadsincossincos的积分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcBxdxcA在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确20二二、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设)cos,(sinxxR表示三角函数有理式,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确21例例8.求求.d)cos1(sinsin1xxxx解解:令,2tanxt 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确22xxxxd)cos1(sinsin1 2121tt212tt)1(2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确23例例9.求求.)0(cossind2222baxbxax解解:原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC说明说明:通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便.的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确24例例10.求.)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确25例例10.求求xbxacossin)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122机动 目录 上页 下页 返回 结束 baarctan在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确26例例11.求求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令,sin xt 原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 )1(sin4221d)1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind机动 目录 上页 下页 返回 结束 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确272.简单无理函数的积分简单无理函数的积分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令.,的最小公倍数为nmp在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确28例例12.求.21d3xx解解:令,23xu则,23uxuuxd3d2原式u123uuduuud11)1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2(x323x321ln3xC机动 目录 上页 下页 返回 结束 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确29例例13.求.d3xxx解解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,6tx 则有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令机动 目录 上页 下页 返回 结束 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确30例例14.求.d11xxxx解解:令,1xxt则,112tx22)1(d2dtttx原式原式tt)1(2tttd)1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确31内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便,在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确32思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便?)0(d.1662axxaxxxxcossind.23解解:1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612.原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121机动 目录 上页 下页 返回 结束 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确33作业作业P218 1-24第五节 目录 上页 下页 返回 结束 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确34备用题备用题 1.求不定积分解：解：令则,1tx ttxd1d2,故161t)11(2ttttd126ttttd)111(224551t331ttCt arctan机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.1,tx621d.(1)xxx621d(1)xxx21()dtt531111arctan53Cxxxx 在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确352.求不定积分解：解：原式=前式令xxdcos31xxxdcos3sinuud2122arctan21u)cos3(dcos31xx;后式配元)2tan21arctan(21x机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 sind.3 cosxxxln 3cosxln 3cosxCln 3cos xC2tanxu 22d1uu221113uu
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