电路第十三章拉普拉斯变换

第十三章 拉普拉斯变换131 大体概念1311 拉普拉斯变换的概念一个概念在b,X)区间的函数fC),它的拉普拉斯变换式F(S)概念为F (s )=代 f (/ 2 _ st dt0_式中s =Q+j为复数，F (S)称为fC)的象函数，f (t)称为F (S)的原函数。式中积分下限取t = 0 ,把上述概念式作如下变形:F (s L f f (t 2 st dtf (t I st dt + Xf f(t)e st dt0_0_0+可见，对拉普拉斯变换的概念，已自动计及t=o时fQ可能包括的冲激。1312 拉普拉斯变换的大体性质设Lf (t)= F (s)df (t)= F (s)， 那么有下表中性质。1 1 2 2表 13-1 拉普拉斯变换的大体性质序号性质名称时域复频域1线性Xi(t)+ a2f2 (t)a F C)+ a F C)1 1 2 22尺度变换f Ct) a 0丄F卫 a ( a丿3时移性f (t t0 M t0 0F (s)?_ st04频移性f C)e aF (s +a)5时域微分df (t)dtsF (s) f G )6时域积分f tf G 汗Xf C) + f _1 G)ss7复频域微分_f (t)dF (s )ds8初值定理f (0+)lim sF (s )9终值定理f (X)lim sF (s )10时域卷积f)* f2 C)F() F2 (s)11复频域卷积f1 (t ) f2 (t)1 2丄f C)* f C)2助121313 拉普拉斯反变换关于简单的象函数可在拉氏变换表中查出它的原函数，表中没有的可按反变换大体公式求出，即f C)= L-1 f(s)=IF(skds，但此式涉及到计算一个复变函数的积分，一样比较复杂。电2兀丿c 一 js路响应的象函数通常可表示为两个实系数的s的多项式之比，即s的一个有理分式F (s )= N(s)二 aoDs) bsm + a sm-i + f a 1m s n f b s n -i f f b式中m和n为正整数，且n m。若n = m时，先将其化简成真分式，然后用部份分式展开，将复杂变换式分解为许多简单变换式 之和，然后别离查表即可求得原函数。1. D(s)= 0具有n个单实根时F (s )=工i=1Kis-pi式中：K = ( - p )F(s)liis=p那么2. D(s)= 0具有重根时f (t)= L-i If(s)= g K epiti i=1设D(s )= 0除m个重根外，其它均为单根，共有n个根。( ) KKFVs 丿=(+(1) (s - p )m(s - p )m-1Kgn+ + (s - p )Ki= - s-pi=n-mi1 d q -1式中：气=1乔- p1s=pi那么f (t )= L-i If (s )=| (11 ) t m-1 + (12 ) t m-1 + I m - 1am - 2 丿 + K1me p1t f g K e pitii=n-m3. D(s) = 0 具有共轭根时若D(s)= 0有复数根，必然是一对共轭根。设有n个单根，其中两个为一对共轭根，P = a + j,Kis-pip2fC)=+ 工i=3s- p s- p12K , K为一对共轭复数，设K = |K I ejQ , K = |K I e-旳,121 1 1 2 1那么f C)= 2 I K I e色 cosCot +0 )+F K ep11ii=31314 线性动态电路的拉氏变换分析法运算法（即复频域分析法）1元件的伏安关系及运算电路如表13-2 所示附表 13-2。表 13-2 元件的伏安关系及运算电路在分析时，注意以下几点：（1）式中各元件的电压、电流均为关联的参考方向（2）附加电源的极性与初始值参考方向相同；(3) 由互感引发的附加电源除与初始值有关外，还和同名端有关。2基尔霍夫定律的运算形式如表13-3 所示见附表 13-3。表 13-3 基尔霍夫定律的运算形式名称申域形式尹算形式KCLX i (t)= oXI (s) = 0KVL乙 u (t) = 0乙 U (s) = 03用运算法分析动态电路的步骤 复频域的基尔霍夫定律和各类元件伏安关系都是线性代数方程，与直流电路中的相应方程一一对 应。因此，在线性直流电路中成立的各类分析方式、定理可推行用于复频域电路模型。具体步骤如下(1) 依照换路前电路的工作状态，计算电感电流初始值i G)和电容电压初始值u(0 )；L -C -(2) 作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路(注意附加电源的值和方向)；(3) 应用线性网络一样分析方式(结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等)列写运算 形式的电路方程，求出响应的象函数/C)或U (s)等；(4) 用部份分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应i(t)或u C)等。132 重点、难点分析13 2 1 本章重点拉普拉斯变换的核心问题是把以t为变量的时刻函数f C)与以复频率s为变量的复变函数F(s)联 系起来，也确实是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时刻函数的线性常系数微分方程化为 复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就取得待求的时刻函数。因此， 本章重点为：1拉普拉斯变换求解线性动态电路的概念；2拉普拉斯变换的概念及其大体性质；3拉普拉斯反变换的部份分式展开法； 4元件伏安关系及电路定律的复频域形式； 5运用拉普拉斯变换分析计算线性电路的过渡进程。13 2 2 本章难点 前面咱们学习了用经典法求线性电路的动态进程的方式，学习了用相量法求正弦鼓励下线性电路 的稳态进程的方式，而拉普拉斯变换却能求得电路的全响应、全进程，因此，它是全面分析线性电路 的一种有力工具。拉普拉斯变换法在解决一些电路分析的具体问题时比较简便，如躲开了在 C)作用 下的电感电流和电容电压的跃变问题，但其物理意义没有经典法明显。在学习本章内容的同时，注意 与前面所学内容相较较，注意它们之间的联系。应用拉普拉斯变换分析线性电路的瞬态，须通过三个进程：(1)从时域到复频域的变换，即对电 路的输入取拉普拉斯变换，给出相应的复频域电路；(2)在复频域对电路列方程和应用电路定理，求 出相应的象函数；(3)从复频域到时域的变换，求出响应的时域表达式。用拉氏变换法求解线性电路的响应时，要注意以下几点：1初始状态的确信。关于复杂的电路，往往不能正确地计算出动态元件的初始值。 2正确地画出复频域等效电路模型。注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数 的经历。3.正确地计算出响应的象函数。在求解象函数时，由于复频率s是以符号形式存在，在复频域求 解响应的进程有时比较繁琐，这是该方式的不足的地方。13.3 典型例题13. 3. 1 拉普拉斯变换的概念及性质例13-1已知f Q如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。解题指导：第一正确地写出函数的时域表达式，然后利用拉普拉斯变换的时移性质来求。解 由题图得函数的时域表达式为f 0= ts 0 C1)+ eCi)eC2)其象函数为F (s )= - e - ss 2s 2例13-2求图13-2(a)所示三角脉冲电流的象函数。图13 2(a)图13 2(b)解题指导：此题可利用拉普拉斯变换的时域微分性质，先写出三角脉冲电流的微分信号及其象函数，再进行求解。解 对电流iC)求导，波形如题图13-2 (b)所示。那么i(t)二 I t(t)-(t 1)-1 b(t 1)-(t 2)mm二 I (t)- 21 (t -1)+ I (t - 2)mmmL于是取得m (2e-s + e-2s)= Lm (1 e-s) ss 依照拉普拉斯的微分性质Li(t)=sIC)- i(0 )，即得i c)显 lLc)L ismsint 0 t W兀例13-3已知周期函数f 0# 0心t 0C例13-9用拉氏变换法求图13-4(a)所示电路中电容电压u C)。已知i(0)= 2A, u G)= lv。C L C0 t 0u (t)= 2V 0 t 1401 11H42s1C+ 11 1-丄+11U( s)u (t)L 20u+ CT0.5F+3 us(s)十；s2图13- 4(b)应先写出电源电压u的象函数然后求解。也sU (s)= lu Qss2 2e - s ,ss运算电路模型如图13-4(b)所示。那么结点电压方程为(s)=CU (s)+ 21 / s+2/s-ss+4求得U (s)=C44e - sss(s + 2)(s + 3)-11=+ + s s+2 s+323 2+s s + 2 s + 3e-s图13- 4(a)解题指导：由于u为方形脉冲，用拉氏变换法求解,s可分为两段进行求解(后者读者能够自己考虑)。解 电源电压得象函数为进行拉氏反变换，得Q-2 2e -2(t-1) + e -3(t-i)e (t 1)V133丿例13-10电路如图13-5(a)所示。开关S原先接在“1”端，电路已达稳态。当t = 0时将开关S 由“1”合向“2”，用拉氏变换法求换路后的电阻电压u (t)(要求画出运算电路模型)。2S rJ2V-b210H_ 1H L: !- +e -4t V 1H_ +1.5Q| uTJ 2s+4Ib(s) L5+U 2( S )图13 - 5(a)图13 - 5(b)解题指导：这是指数函数鼓励下的二阶电路的全响应的求解问题。第一正确地计算出换路前的初 始状态，然后画出换路后的运算模型，此题中采纳的电路分析的方式是回路电流法。解由换路前电路求得i(0)= 2A, i(0 )= 0 (电流参考方向见运算电路模型)1 - 2 -运算电路模型如图13-5 (b)所示。那么按所选回路，回路电流方程为(s + 1)I (s)- sI (s )=-sI (s) +(2s + 1.5)I =ab+2-2解得/、 (s + 8)、(s + 4)(s + 3)(s + 0.5)- 1.142+ + s + 4 s +3-0.857s + 0.5电压U (s)= 1.5sI (s)。2b进行拉氏反变换得：u C)= L 1.71e-4t + 3e-3t 1.29e-0.5t例13-11电路如图13-6(a)所示。开关S闭合前电路已达稳态。在t二0时闭合开关S。用拉氏变 换法求换路后的 i(t)。2。心+ u 0)2例13-13图13-8 (a)所示电路在t = 0时处于稳态，求t 0时的U (s)、U (s)和u (t)。- 1 2 10.5010+33V,2u1 0.2FIl+u图13-(8 a)+ 33s2U 2( s)D02半U,(s) -2半U2(s0.5图13 -(8 b)解题指导：此题为求解二阶电路的全响应。在包括了受控源的电路中，注意采纳在直流电路中所学过的 处置方式：将受控源作为独立电源来处置，并寻觅操纵量与变量之间的关系。解 u (0 ) = u (0 ) = 33 V1 - 2 -复频域模型如题图 13-8(b)：节点方程(01 s + 3)U (s) - 2U (s)二 + 3.3 - 2U (s)12s2-2U (s) + (0.2s + 2.5)U (s) = 6.6 + 2U (s)1 2 2解得33s + 33011 22U (s)-+1s( s + 30)s s + 30、33s 2 + 1320s + 3300U2(s)二 s(s + 30)(s + 2.5)4s2 + 4Bu (t) - (11 + 22e -30t )V ，t 01例13-14如图13-9所示电路中，u - 2 sin(2t)e (t) V，求零状态响应i。SR图13 -(9 b)图13 -(9 a)解题指导：此题为求正弦鼓励下的零状态响应。关于电桥中的AB支路电流的求解，应第一求出从 AB 两点看进去的戴维南等效电路，以便简化计算。解 运算电路如图13-9(b)所示求从 A、B 两点看进去的戴维南等效电路：1开路电压U (s) = ： U (s)AB 6 S等效阻抗Z (s)二4si于是可取得AB支路电流R 30R6( s +1)( s 2 + 4)11 s( _ 30 s +1 s2 + 422(s2 +4)e _t _ cos(2t) + sin(2t)2(t)A例13-15 如图13-10 (a)所示电路原处于稳态，R = 1。, L = 1.25H ,C = C = 0.1F ,12U二10V, t二0时开关接通。试求U C) (/ 0)。sC 2C =p uC1sL(0 )u (0 )CTSS (t = 0)s x-.(0_)/s；C2sC图13 _ 10(b)图13 _ 10(a)解题指导：此题是求解三阶电路的全响应。第一注意初始值的求解，另外两个电容串联时所分得的电压应与电容值成反比，还有所求的U C)应包括附加电压源的电压。C2解由t V(/ 0)C2例 13-16 电路如图 13-11(a)所示。已知R = 50, R = 100 , L = L = 1H ,M = 0.5H ,1 2 1 1u 0= 2& (/)V, i(0 )= 0.2A i(0 )= 0.1A。求 t 0 时的响应u C)和 u C)。s 1 - 2 - 1 2/ 0.5ui-Li+2ltjsMLi (0 ) + Mi (0 )L i (0 ) + Mi (0 )11 厂2+ f -、二宀2厂+1 I (s )* sL* sL21 -+US(叭1U (s)1、+：0 5U (s)Z 2Yl _( s ) 、叩 U ( s ) I (s) 2丁 - 22 /图13 - 11(a)图13 11(b)解题指导：此题为求含有互感电路的全响应。当含有互感的电路为非零初始状态时，注意正确地 画出其运算电路，注意附加电源的大小和方向。当求某一互感线圈电压时，其象函数应包括相应的附 加电源电压。对含有互感得电路最好用回路电流法或支路电流法。解运算电路如图13-11(b)所示，其中Us(s)= 2s。电路方程为(sL + R )l (s )+(sM R )l (s )=1 1 1 1 2U (s)+ Li(0 )+ Mi G ) 0.5U (s)(sM RC)+(sL + R + R(s)=s1 1221 12212L i(0 )+ Mi(0 )+ 0.5U (s)2 2 1 2U (s)= R I C)22 2 2代入已知数整理得(s + 5)I (s)+ 0.5sI (s)= 2 + 0.2512 s(0.5s 5C)+(s +10(s)= 0.212解得I C)= 0.15s2 + 4.5s + 201 0.75sf s +10 X + 20)I 3丿I (s )=0.075s 2 + 1.25s +100.75sf s + 巴 X + 20)I 3丿因此U (s)= -L i(0 )- Mi(0 )+ sLI (s)+ sMI (s)=+ -02-111-2-11210 s + 20s +3(s)221.6 + 0.6,10 + s + 20 s +-3进行拉氏反变换得u C)=100.8e- 3f + 0.2e-20t V 丿CL102 一 1.6e - 3f + 0.6e - 20t例13-16 如图 13-12(a)所示，i 二 2sin(100t, R = R = 200 , C 二 1000卩 F, t 二 0 时 s12合上开关S,用运算法求u C)。CM+C丰un-cJ-.RX2p1R1T2TsC-i-uC图13 -12( a)图 13 -12(b)解题指导：此题为正弦鼓励下的二阶电路的全响应的求解。注意初始值的求解应采纳相量法。解由于电路源处于正弦稳态，故采纳相量法求初始值u G ）。C-(R+R-j(R+R)- jI(R + R )1 +显g +行)=9.7、迈 Z75.980Vu C)= 19.4siJl00t - 75.980CI(R + Rm 12/)sin 1 tg -i CoC(R + R )!V1 + rn 2 C 2(R + R )212画运算电路如图13-12(b)所示。U (s )=CoR Iu (0 )1_m 一 Cs 2 +o 2 s1sC1sC05 + 1023査 + 104 )进行反变换取得V 1 2u C)=2.82e-50t + 17.89sin(00t-63.43o例13-17求图13-13 (a)中开关K闭合后电路中得电流i；和。参数已标在图中。URLM = 0.8、：R = 100L图13 - 13(a)RLRsL ：； ；sLC-2汁一IsMI (s)+ 1图13 - 13(c)解题指导：此题的电路超级复杂。因此为计算方便，先将电路化简，用戴维南电路进行等效。解：设开关K闭合时刻为t = 0，初始值为i(0 )= i(0 )= 01- L -求开关K以左的戴维南等效电路，得出U = 10V，R = 200。作出原电路图的等效电路如图 OCeq13-13(b)所示。下面用拉氏变换法来分析，为此先作出运算电路，如图13-13(c)所示，其中已进行了消 互感的等效变换。列回路电流方程：)血 + sL 力(s)- sMI (s)二 U (s)彳 eq1 2OCI -sMI (s)+(R + sL 力(s)= 01L 22代入元件数值，其中：M = 0.8jLL = 0.8百0.2x0.1H = 0.113Hv 1 2OC(s L10代入方程组得I (s )=(100 + s )_(0.5 _ 0.25 _0.25、SV.0072S2 + 4s + 200) I s s + 500 s + 55.55丿I (s)_1.13、，、_f_0.353 +0.353 2 _ 0.0072(s + 500)(s + 55.55) _ I s + 500 + s + 55.55丿反变换得i (t)_ C.5 - 0.25e_500t _ 0.25e_55.55t k t 0 11 (t)_(_0.353e_500t +0.353e_55.55t)At02例13-18 在如图13-14 (a)所示线性网络中，设f (t)_e(t)V , f (t)_5 (t, 12试用拉普拉斯变换法求电容电压的零状态分量u (),零输入分量u (t )及全响应 u (t) CzsCziC1Fu (t)c1Fu (0 )c 010(jf1(t)亿iL (一) 1H _1A十sC:Uc(s)畀cRT 1.E (s)RElIs(s)sL图13 14(b)图13 14( a)解题指导：线性电路的全响应=零输入响应+零状态响应。解 作出运算电路如图13-14 (b)所示。求出各响应的象函数R + sL2E(s)+ / ()+二Li；(0 )u (s)_ 代 +s R+sLC1 + sC +1R1-LiL (0 )U C (s) _V全响应R2 + sL1+1C11厂sC + sC +R1R2 + sL R1零状态响应零输入响应R2 + sLV代入元件值整理取得Uc（s）=航卄其中U C)二Czsr(s +1)2 s I +1+1s + 1(s + 1)2 + 1丄1(s + 1)2 + 1U (s )=Czi-1(s +1)2 +1求它们的原函数及可得出零状态响应uCzs+ e-t cos t + e-t sin t 2零输入响应u(t)= -e-t sints (t)VCzi全响应C)= u C)+ uC)CzsCzi1F卄1Q1Q、+u (t41F 0时，运算电路如图13-15（b）所示。列两个网孔方程：又有联立求解得进行反变换取得U3 0= 20e1+1+1I (s )-fIs丿1 I11 +1 I (s)= U (s) s丿1 +1AI (s)+ s丿1)I (s)=-2U C)22U (s)= 1 El (s)-1 (s)2 s 12U (s)= 2U (s)32U 3 (s )= 20 -3 f s 21A+ s +1 s +1八 丿s +=202+1 d +os 1321 +瞬态（自由）响应sin呀t）稳态（强迫）响应例13-21如图13-16（a）所示电路，R1=1n，R2=40，C = 1F，L =1H，电容器初始电压及电感器初始电流均为零。Q= M - 1）A , u = 2V，开关在t = 3s时闭合。求t 0时的响应uC（t）及i Q。图13 - 16(a)L图13 - 16(b)uC图13 - 16(c)R1图13 - 16(d )解题指导：由于开关闭合前后电路结构改变，故分为两个时期来分析。第一个时期为求一阶电路的冲激响应，只只是i C)是个延迟的冲激函数，作历时刻为t二1S。能够等效成一个零输入响应来求 s解。第二时期是一个二阶电路求全响应的问题，应用拉氏变换法求解。注意题中时刻变量的不同。解 (1) t 3s，开关S未闭合，现在得电路图如图13-16 (b)所示。依照已知条件有iG)= 0， u G)= 0，i 1)A，可见这是求电路的冲激响应，由此得出：t 1s ，i0，电容放电，等效为一个零输入响应。其时刻常数为st = R C = 1 x 1 = 1s1求得u ()= u G )e t 二 e-(t-1)V1 t 3sCC +由于S断开，现在的电流iC)仍然为零，即iC)= 0(0 t 3s，开关S闭合，由于i C)=C 1)A,在t 3s后，i(t)= 0，电流源支路相当于开ss路，得出等效电路如图13-16 (c)所示。选一个新的时刻变量t，并令t = t 3当t = 3s时，T = 0。电路的初始值为C C 作出运算电路如图13-16 (d)。依照弥尔曼定理，可得uc 1)sC +- U (s)U (s LR2 + ；L sC11+ sC + RR + sL120.1353s 2 + 0.5413s+2s, 2 + 5s + 5丿进行拉氏反变换，0.40.22360.4886+ 一s s + 3.618 s +1.382dt R.410.5853+ 0.1866)A.4 1 0.5853e 13.618t + 0.1866e 11.382t At 0再求u C)和iC)Cu C)= C.4 + 0.2236e-3.6is(t-3) 0.4886e-1.3826-3)V t 3sCiC)二 C.4 0.58536e-3.618(t-3) - 0.1866e-1.382C-3) t 3s总的解答为0e-(t-1)V(0.4 + 0.2236e-3.618(t-3) - 0.4886e-1.3820 t 1s1s t 3 sid0.4 0.58536e -说-0)-0.1866e 5-3 丄0 t 3s自测题习题 13-1 求以下象函数的原函数。（1）答案F s )=5F 0时的电感电流iL。图13 -17答案：i = (0 + 30.99e-25t sin96.82t)A (t 0)L习题13-3电路如图13-18所示的零状态电路中，已知uC)二0.1e-5t伏，R = 1Q，R = 20, 12L = 0.1H， C = 0.5F。t = 0时将开关K闭合，求t 0时的i C)。2u (t )C图13-18答案：i =(e -5t e -5t + e -6t )A (t 0)2习题13-4电路如图13-19 所示，开关S闭合前电路原已稳固，且电容C2上没有电荷。t - 0时将开关S闭合，求t 0时的u ，u及各支路电流。已知U二100V，C = 2rF，C = 3rF，c1c 2s11R 二 1000Q。US2图13 -19答案：u 二 u = (00 60e-200t (t 0), i = 0.06e-200t A(t 0)C1C 2i = L 1.2 x 10-45(t)+ 0.024e -200t k (t 0 )1-i = .2x 10-45(t)+ 0.036e -200t k (t 0 )2-习题13-5图13-20所示电路中u(0 )= 0，求S闭合后的u C), iC)并画出它们的波形。(用C - C拉普拉斯变换法求解)5Qf10QUi 10.5uf ;10V.丿+图13- 20案： u (t)=5-5e-0.4tV(t 0)， i(t)=0.5-1.5e-0.4tA (t 0)C习题13-6电路如图13-21所示，已知R = 8Q， C = 0.1F，L = 2.5H，电压源为单位阶跃函数 u C)=(t)V，电流源为单位冲激函数i C)=5(t、A，电流操纵电流源i = 3i。试求适合于所有时 sscs R刻t的电容电压，电容电流的表达式u C)和i C)。CCiRus图13 21答案：e -4t e t3CsC)A（兀）习题13-7电路如图13-22所示，已知u = 20sm 2t +V ,原先开关是闭合的，电路已稳固,s I 2丿t二0时，将S打开。求S打开后，电感电流i C）及电容电压u C）。LC5图13 22答案：i(t)= 6e-3t 5e-4t A (t 0)Lu C)=-30e-3t + 50e-4tV (t 0)C习题13-8如图13-23所示电路原先已达稳态，开关在t二0时断开，求u C)。已知U二100V,2sR = 4Q， R = R = 2G， L = L = 4H， M = 2H。31212211Uu(R厂m、rR12*L占1图13 23答案：u(t)=30(t)+ 5e-1 .5t 8(t )V2习题13-9用拉普拉斯变换求图示13-24电路uQ的零状态响应。已知Ri = R2 = 10，C 二 0.05F。+uiS图13 24答案： u (tM 10e-1 10t +15)(t)+ 5e-C-1) + 1oC 1) 5IC 1)V