小学数学奥数基础教程(五年级)21

小学数学奥数基础教程（五年级）本教程共30讲用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）X2三2=17（厘米2）。所以，阴影部分的面积是17厘米2。例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10X8三2+10=50（厘米2）。例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。梯形面积（）X三（厘米2），三角形面积（厘米2），三X（厘米），（厘米）。例4下页上图中，ABCD是7X4的长方形，DEFG是10X2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4X（10-7）三2-2X（10-7）三2=3。解法二：连结C,F(见右上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4X(10-7)三2-2X(10-7)三2=3。解法三：延长BC交GF于H(见下页左上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为(4+2)X(10-7)三2-2X(10-7)=3。解法四：延长AB,FE交于H(见右上图)。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHE0,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4X(10-7)-(10-7)X(4+2)三2=3。例5左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积。分析与解：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD(见右上图)，可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4X4三2=8(厘米2)。练习左下图中，等腰直角三角形的腰为厘米，以为圆心、为半径画弧线，组成扇形。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。左左下图中，扇形的半径是厘米，甲比乙的面积大4厘4米。求直角梯形的面积。（n）在右上图的三角形中,的面积。分别是所在边的中点，求四边形F页左上图中，矩形的边为厘米,为厘米，三角形比三角形的面积大厘米，求的长。右上图中,米，求的长。厘米，三角形比三角形的面积大厘7.下图中，三角形ABC的面积是30厘米SAE=ED,BD=|bC,求阴影部分的面积和。练习211.4厘0米02。解：扇形CEF与直角三角形ABC的面积相等，ZC=45，所求圆的面积为10X10-2x曙=400厘米纾世/20-52.140厘米2。Zzj20提示：所求面积等于右图中阴影部分的面积，为（）x-F=14（0厘米2）。3.2厘4米2。提示：扇形的面积为nX4X4三4=12.56（厘米2）,直角三角形ABC的面积为12.56+3.44=16（厘米2）,1X厘米），梯形面积为（）X1（4厘米2）。提示：由三角形ADC与三角形EBC的面积相等，推知阴影部分与三角形BCF面积相等。5.1厘米。解：（4X6-9）三6X2=1（厘米）。6.3厘米。解：连结CB（见右图）。三角形DCB的面积为4X4三2-2=6（厘米2）,CD=6三4X2=3（厘米）。7.12厘米2。解：连结DF（见右图）。因为AE=ED，所以ABED与厶ABE面积相等，阴影部分的面积和等于ZXABF的面积。因为BD=|bC）所以ZXFEC等于FED面积的孑又因为AE=ED,所以ZXABF与ZXFED面积相等，所以解得SAABF=12，即阴影部分的面积和为12厘米2。