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4 弹性力学平面问题有限元法 材料力学主要研究杆、梁、柱 结构力学主要研究杆系（或梁系） 弹性力学主要研究实体和板得受力和变形 弹性力学假设所研究的物体：连续的、完全弹性的 均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的 在这假设基础上研究受力物体一点上的应力、应变、 变形和平衡关系。 线性： （非线性） 结构的应力与应变的关系（本构关系）呈线性变化。 弹性：（塑性） 结构在外力拆除后能够完全恢复原有形状的特性。 静力分析： （动态分析） 结构所受外力是不随时间变化的恒力。 一、弹性力学中的物理量 载荷、应力、应变、位移 1.载荷 载荷是外界作用在弹性体上的力，又称为外力。它包括体力、面力和 集中力三种形式。 体力是分布于整个弹性体体积内的外力，如重力和惯性力。在弹性体 内任一点，单位体积的体力用 表示，它可分解为给定坐标系 x、 y和 z 三个坐标轴上的投影 、 、 ，称为体力分量。 vP vxP vyP vzP T v v x v y v zP p p p 面力是作用于弹性体表面上的外力，如流体压力和接触压力。 T s s x s y s zP p p p 如果外力作用面很小，或者说外力作用在某一点上，则这种外力称为集中力。 T c c x c y c zP p p p 无论那个位置的体力、那一边界面上的面力，均 以正 标向为正 ，且 斜面上的面力 是以单位斜面面积上的作用 力数值来表示。 内力 求解方法：截面法 定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。 o x y z P A F p I II m n A0 F Al im p 矢量 方向沿 的极限方向 p F 量纲： 12L M T 2. 应力 :内力集度。反映内力分布情况（应力场） 沿截面切向和法 向分解为 和 应力的两种不同分解方法 a)沿坐标轴分解 b)沿截面法向和切向分解 除了在推导公式过程中沿坐标轴分解外，通常 采用沿截面法向和切向分解的方式，即分解为正 应力 和切应力 ，因为与物体 形变 和 材料强 度 之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和 切线方向的分量。 o x y z yz y yx z zy zx xy x xz P A B C xz xz dxx xy xy dxx x x dxx zy zy dzz zxzx dzz z z dzz yz yz dyy y y dyy yx yx dyy xf yf zf 正六面单元体的取法 经过物体内任一点如 P点取出一个微小的正六面 体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别 为： 。将每个面上的应力分 解为一个正应力和两个切应力。正应力用 表 示，切应力用 表示。 ,P A x P B y P C z ( , , )i i x y z ( , , , )ij i j x y z 应力下标的含意： A. 作用面的外法线方向 B. 力的指向 A. 作用面的外法线方向 ii B. 力的指向 在受力物体相互垂直的两个平面上，切应力必然 成对存在，且数值相等；两者都垂直于两平面的交线， 方向共同指向或背离这一交线。 o x y z yx xy zx xz zy yz x z z x x y y x y z zy 弹力规定 x y y x y z zy x z z x 材力规定 切应力互等定理 3.形变 定义：形状的改变（长度的改变和角度的改变） 线应变（正应变）：线段单位长度的伸缩。 记号： 正负：伸长为正，压缩为负 切应变 (剪应变 )：两方向线段夹角的改变。 记号： (以弧而非角度表示 ) 正负：直角变小为正，变大为负 同一点的应力状态情况一样，可证明，在物体内任意一 点，若已知 、 、 、 、 、 ，即可求得经过该 点的任意截面上（方向余弦已知）的正应变和切应变。故 这六个应变分量完全确定了该点的应变状态。 x y z yz xz xy 一点的形变状态的概念 几何规律 ：过空间一点有无数根直线。 力学特点 ：即使过同一点，不同方向线段的伸长也同； 任两根直线之间夹角的改变也不相同。 4.位移 定义：位置的改变。 u v w 记号： 、 、 正负 ：沿坐标轴正向为正，负向为负。 分类 :与形变有关的位移和与形变无关位移（刚体位移） Twvu 二、弹性力学基本方程 弹性力学基本方程描述弹性体内任一点应力、应变、位移以及外 力之间的关系，它包括平衡方程、几何方程和物理方程三类。 1.平衡方程（应力和体力之间关系） 平衡方程是弹性体内部必须满足的条件，它说明六个应力分量不是独立的， 它们通过三个平衡方程相互联系。 应力和体力在三个坐标方向上 满足一下平衡方程 0 X d x d y d zd x d yd x d ydz z d x d z d x d ydy y d x d yd y d zdx x zx zx zxyx yx yxx x x 在 X方向有 0 xF 0 0 0 Z zyx Y zyx X zyx zyzxz zyyxy zxyxx 2. 几何方程（几何量位移和应变） x x y y y z z x z u u v x y x v w v y y z w u w z z x x u dx dxudxdxxuu x y u x vy u x v y v dy dy y u x u dx dx x v yx xy 11 11 t a nt a n 3. 物理方程（应力分量与应变分量；与材料的物理特性有关） 从 静力学 角度导出了平衡微分方程和静力边界条件； 从 几何学 角度导出了几何方程和应变协调条件；在推导 过程中并没有涉及到弹性体本身材料的固有特性，故这 些方程适用于一切连续介质。 从 物理学 的角度分析可知，不同材料的弹性体其应 力应变关系即本构关系是不同的，对于对于理想弹性体 ，在小变形情况下，应力应变关系服从 广义胡克定律 物理方程的表达形式 以应力表示应变 以应变表示应力 1 () 1 ( 1 () xy x x y z x y yz y y x z y z xz z z x y x z v EG v EG v EG 2 2 2 x x x y x y y y y z y z z z x z x z GG GG GG x y z D E 2 (1 ) EG 为材料的弹性模量； 为材料的切变弹性模量 为泊松比 由上可见，三类基本方程中包括 15个方程，含 6个应力 分量、 6个应变分量和 3个位移分量共 15个未知量。 实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部 分（称为基本未知量），再通过基本方程求出其他未知量。 位移法 、应力法、混合法 选取基本未知量不同 1.平面应力问题 z y 2 2 y x o 四、平面问题 工程中链传动中的链片、发动机中的连杆、 内燃机的飞轮、轧机的机架和齿宽较小的 直齿圆柱齿轮等 条件 a)弹性体是等厚的薄板（沿 向等厚度 ） ，厚度尺寸远远小于截面尺寸， t L/15； z b)体力、面力和约束都只有 平面内的量即 ,且都不沿 向变化； xy ( , ; , ; , )x y x yf f f f u v z ()2z 应力边界（面力和约束只作用于板边，在板面上 没任何面力和约束的作用。 应力边界 为： 2 |0z z 2 |0zx z 2 |0zy z 板很薄，外力不沿厚度方向变化，因应力沿厚度 方向连续分布，故可认为所有各点： 0z 0zx 0zy 由切应力互等定律得： 0 xz 0yz 只有平行于 面的平面应力分量 平面应力 xy x y x y y x 由于物体形状、外力和约束沿 向均不变化，应 力分量和应变分量均只是 的函数；从几何 方程积分求位移可知位移与 有关。 z xy、 z 0z 0 zy y z 0z x x z ( , )xx xy ( , )yy xy ( , )xy xy xy 平面应力问题 只有平面应力分量 、 和 ，且仅为 的函数的弹性力学问题 x y x y y x xy、 ( , )y x y x xy 物理方程 v u xy y x xy y x 0 0 D 2 1 00 01 01 1 2 E D 几何方程 物理方程 式中 称为平面应力问题的弹性矩阵 2)平面应变问题 z o y x x y z 工程中滚针轴承的滚针、轧钢机的轧辊、水坝、 受内压管道、齿宽较大的直齿轮等 条件 a)弹性体为常截面的很长柱体。 b)体力、面力和约束都只有 平面内的量 ,且都不沿 向变化； xy ( , ; , ; , )x y x yf f f f u v z 假想柱体无限长 ， 则任一 截面均为对称面 ， 即 ， 只有平面位移 和 存在 ， 即平面位移 。 0w u v z ( , )u u x y ( , )v v x y 0w 由于截面形状、外力和约束沿 向均不变化，位 移分量只是 的函数 . z xy、 假想柱体无限长 ， 则任一 截面均为对称面 ， 即 ， 只有平面位移 和 存在 ， 即平面位移 。 0w u v z ( , )u u x y ( , )v v x y 0w 由于截面形状、外力和约束沿 向均不变化，位 移分量只是 的函数 . z xy、 ( , )u u x y ( , )v v x y 0w 0 xz uw zx x u x y v y 0z wz xy uv yx 0yz wv yz xy xy yx、 、 只有平行于 面的平面应变分量 平面应变 xy 从数学和几何学角度推导 由对称性 (对称结构承受对称荷载 ， 反对称力为 零 )可知： 00zx zy 、 由胡克定律可知： 00zx x z zy y z 、 = 由剪切互等定律可知： 00 x z y z 、 从力学角度推导 0z 0z x x z 0zy y z ( , )xx xy ( , )yy xy ( , )x y x y xy ( , )y x y x xy 平面应变问题 只有平面应变分量 、 和 ，且仅为 的函数的弹性力学问题 x y xy yx xy、 0z 1 ( ) z z x yE ()z x y z 可直接由 计算得到，故不作为独立的 未知量。 xy 、 z 的存在说明了沿 向无限长的柱体的假设限 制了每一个横截面的纵向位移。当柱体受到垂直于 轴的外力作用时，这些衡截面之间必然产生挤压 应力 。 z z z 物理方程 物理方程 D 10 1 1 1 0 1 1 2 1 12 00 21 E D 物理方程 式中 称为平面应变问题的弹性矩阵 名 称 平面应力问题 平面应变问题 未知量 已知量 未知量 已知量 位 移 应 变 应 力 外 力 体力、面力的作用面 平行 面，沿板厚 均布且只作用于板边。 体力、面力的作用面平行 于 面，外力沿 轴 无变化。 形 状 向尺寸远小于板面尺寸（等厚薄平板） 向尺寸远大于 平面内的尺寸（等截面长柱体） uv、 0w uv、 0w xy xy 、 、 0zx zy xy xy 、 、 0zy zx z xy、 、 0zx zy z xy、 、 0z x z y ()z x y xoy xoy z z ()z x yE xy xy z xoy 3-2 平面问题的有限元模型 连续体被分割为只在节点处连接的单元集合，受力后原 来是一体的公共边可能出现裂缝，原来单元应该均匀变 形，这时也可能出现非均匀变形。 选择 适当的单元位移插值函数 来限制单元的变形，使得 连续体尽管被人为地分割成单元的集合，而且只在有限 个节点处相连，但模型仍然能够部分满足连续性的要求。 位移插值函数应注意满足以下几个条件 （ 1）包括常数项（反映单元发生的整体移动） （ 2）包括一次项（反应发生的常应变） （ 3）尽量保证位移的连续性 使位移函数满足上述三个条件的目的就是要满足 有限元解的收敛性，即当单元尺寸逐渐缩小时，有限 元解收敛于实际问题的精确解。在单元边界上其值能 由节点函数值唯一确定。 （ 4）几何各向同性（单元的位移分布不应与人为选取 的坐标方位有关，即位移函数中坐标 x,y应该是能够 互换的） 3-3 平面问题的三角形单元求解 ym xm yj xj yi xi m j i e F F F F F F F F F F 第一步：选择适当的坐标系，写出单元的位移和节点力向量 m j Fxi Fyi i u v (x,y) o y x 三角 形三节点单元 u1 v1 m m j j i i m j i e v u v u v u 第二步：选择适当的位移插值函数 yxv yxu 654 321 多项式项数越多，逼近精度越高。项数的多少应根据单元自由度数确定。 三节点三角形单元有 6个自由度，可以确定 6个待定系数。 yxf yx yx v u yx , 1000 0001 , 6 5 4 3 2 1 （ 4 9） yx, 这一步的目的是求出待定系数。 第三步： 求单元中任一点位移 与节点位移 e 的关系 由于节点 i、 j、 m在单元上，它们的位移自然也就满足 位移函数式。将三个节点坐标和位移值分别代入式中，得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 i i i i i i j j j j j j m m m m m m u x y v x y u x y v x y u x y v x y 上式共有 6个方程，可以求出 6个待定系数。根据 Gramer法则， 求出各待定系数 mmjjiimmjjii mmjjiimmjjii mmjjiimmjjii vcvcvc A vbvbvb A vavava A ucucuc A ububub A uauaua A 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 65 43 21 , , i j m m j i j m i m j j m i i m j m i j i m m i j j i m i j m j i a x y x y b y y c x x a x y x y b y y c x x a x y x y b y y c x x 其中，节点的坐标值是已知的，令 mm jj ii yx yx yx A 1 1 1 2 1 为三角形单元的面积。 i i j j m m i i j j m m u N u N u N u v N v N v N v 用节点坐标和节点位移表示的位移函数为 形函数，它们是坐标的函数，与节点坐标有关，而与节点位移无关。 其中， )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 ycxba A N ycxba A N ycxba A N mmmm jjjj iiii 以矩阵表示为 上式就是单元位移的插值表达式，它表明只有知道了节点位移，就可通 过形函数插值求出单元内任意一点的位移。 0 0 00 0 0i j m i j m N N NN N N N e m m j j i i mji mji N v u v u v u NNN NNN v u 000 000 其中， 称为形函数矩阵； 为单元节点位移列阵。 Tmmjjiie vuvuvu 第四步： 求单元应变 单元位移 节点位移之间的关系 x v y u y v x u yx xy y x , 第五步： 求应力 应变 节点位移之间的关系 由物理方程， ee SBDD e v Te v o ldBDBF eTe tBDBF 第六步： 求节点力与节点位移之间的关系 tBDBK Te 按节点号叠加单元刚度矩阵元素可得到结构总体刚阵，再引入 一定的边界条件和外载荷就可以求解。最后的计算格式仍然是 KF 第七步： 单元应力与节点位移的关系 eBDyx , 二、约束条件处理 1、置大数法 总体刚度矩阵是一个奇异矩阵，施加约束条件后的方程组则是有唯一解的。 施加零位移后，将零位移所对应的行和列划去，使方程组减小。 但对改变矩阵阶数的方法在编程序时不方便，而且对非零位移的情况无法处理。 将该位移分量所对应的主对角元素置为大数，再将载荷列阵 F中对应的分量置为大数乘以已知的节点位移，而其余各 行保持不变 2、置 1赋 0法 将总刚度矩阵中给定位移 a 分量所对应行和列的主对角元素 置为 1，而其他元素皆变为 0。在节点载荷列阵中，将零位 移分量所对应的节点载荷也变为 a 。 六节点三角形单元 三节点三角形位移插值函数是线性的，单元内的位移是线性变化的。 几何方程、物理方程可知单元内的应变和应力都是线性的。 3-5 六节点三角形单元和矩形单元 6 3 1 4 5 2 2 1211 2 10987 2 65 2 4321 yxyxyxv yxyxyxu 四节点矩形单元 y 0 xyyxv xyyxu 8765 4321 的物理意义是：当节点 i在某坐标方向发生单位位移而其他 节点的位移为零时，单元内的位移分布形状。 , 1 , , , 0i i i i j j i m mN x y N x y N x y iN ,1 , ,0 i i ji i j ji m xx N x y xx xx N x y xx N x y 形函数具有以下三条性质： （ 1） 在 i节点上的值为 1，而在其他节点处为零，即 iN （ 2）在单元的任一点处，三个形函数之和等于 1，即 , , , 1i j mN x y N x y N x y （ 3）单元每一条边的形函数只与该边上的节点位置有关，而与其他节点 的位置无关。例如在边 i， j上，有 2 2 2 1 ),( c j m ciciicci ycxba A yxN 三角形 cjm的面积 三角形 ijm的面积 C是三角形 jim中的任意一点 ANSYS 算例 4-1 这是一个直角 支架的 结构静 力分析 的例子 左侧小孔固定 右侧小孔下侧受 压力作用 ANSYS中支 架计算模型 ANSYS中计算 模型的网格划 分图 计算得出的 支架变形图 支架应力 彩图 支架变形 的动画图