高等数学：27_可降阶高阶微分方程

目录 上页 下页 返回 结束),(yxfy 可降阶高阶微分方程 一、一、型的微分方程型的微分方程 二、二、型的微分方程型的微分方程)()(xfyn),(yyfy 三、三、型的微分方程型的微分方程 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、)()(xfyn令,)1(nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1)1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.,)(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.cose2xyx 求解解解:12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e41xy2e811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC目录 上页 下页 返回 结束 tFO,00tx例例2.质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线运动,在开始时刻,)0(0FF随着时间的增大,此力 F 均匀地减直到 t=T 时 F(T)=0.如果开始时质点在原点,解解:据题意有)(dd22tFtxm0dd0ttx)1(0TtFt=0 时设力 F 仅是时间 t 的函数:F=F(t).小,求质点的运动规律.初速度为0,且对方程两边积分,得)(tF)1(dd022TtmFtx0FT目录 上页 下页 返回 结束 120)2(ddCTttmFtx利用初始条件,01C得于是)2(dd20TttmFtx两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用00tx,02C得故所求质点运动规律为)3(2320TttmFx0dd0ttx目录 上页 下页 返回 结束),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设,)(xpy,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解:),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy,12C得133xxy因此所求特解为目录 上页 下页 返回 结束 例例4.绳索仅受重力作用而下垂,解解:取坐标系如图.考察最低点 A 到sg(:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有,cosHTsa1tanMsg)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有211yay 设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)弧段的受力情况:T A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得HAyxO目录 上页 下页 返回 结束 211yya,aOA 设则得定解问题:,0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 则原方程化为pdxad1两端积分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由,01C得则有axysh两端积分得,ch2Cayax,0ayx由02C得故所求绳索的形状为axaych)ee(2axaxa悬悬 链链 线线a21pMsgTHAyxO目录 上页 下页 返回 结束 三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分,得原方程的通解21),(dCxCyy目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCCy1e2解解:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd目录 上页 下页 返回 结束 M:地球质量m:物体质量例例6.静止开始落向地面,(不计空气阻力).解解:如图所示选取坐标系.则有定解问题:22ddtym2yMmk,0lyt00ty,dd)(tyyv设tvtydddd22则tyyvddddyvvdd代入方程得,dd2yyMkvv积分得122CyMkv一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由 yRlO求它落到地面时的速度和所需时间目录 上页 下页 返回 结束 122CyMkv,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2两端积分得Mklt2,0lyt利用,02C得因此有lylyylMkltarccos22lylyylarccos22C,0000lyyvttt利用lMkC21得注意注意“”号号目录 上页 下页 返回 结束 由于 y=R 时,gy 由原方程可得MRgk2因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为lRlRRlglRtRyarccos212lRlRgvRy)(222ddtym,2yMmkyyllMkv2lylyylMkltarccos22yRlO目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:若此例改为如图所示的坐标系,22ddtym2)(ylMmk,00ty00ty，令tyvdd解方程可得)11(22lylMkv问问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.则定解问题为RylO目录 上页 下页 返回 结束 例例7.解初值问题解解:令0e2 yy,00 xy10 xy),(ypy,ddyppy 则代入方程得yppyded2积分得1221221eCpy利用初始条件,0100 xyyp,01C得根据ypxyedd积分得,e2Cxy,00 xy再由12C得故所求特解为xye1得目录 上页 下页 返回 结束 为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例例8.)0()(xxy设函数二阶可导,且,0)(xy)(xyy 过曲线上任一点 P(x,y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线,1S区间 0,x 上以,2S记为)(xy,1221 SS且)(xyy 求解解:,0)(,1)0(xyy因为.0)(xy所以于是cot2121yS yy222S)(xyy 设曲线在点 P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.,1)0(y积记为(1999 考研 )ttySxd)(02Pxy1S1yxO目录 上页 下页 返回 结束 再利用 y(0)=1 得利用,1221 SS得xttyyy021d)(两边对 x 求导,得2)(yyy 定解条件为)0(,1)0(yy),(ypy 令方程化为,ddyppy 则yyppdd,1yCp 解得利用定解条件得,11C,yy 再解得,e2xCy,12C故所求曲线方程为xye2ddpyppy12SPxy1S1yxOyyS221ttySxd)(02目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法)(.1)(xfyn逐次积分),(.2yxfy 令,)(xpy xpydd 则),(.3yyfy 令,)(ypy yppydd 则目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.方程)(yfy 如何代换求解?答答:令)(xpy 或)(ypy 一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2)(eyy 2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.例例6例例7目录 上页 下页 返回 结束 yxO)1,0(A速度大小为 2v,方向指向A,)0,1(),(yxBtv提示提示:设 t 时刻 B 位于(x,y),如图所示,则有 ytsvdd2xysxd112xytxd1dd12txydd12去分母后两边对 x 求导,得xtvxyxdddd22又由于ytv 1x设物体 A 从点(0,1)出发,以大小为常数 v 备用题备用题的速度沿 y 轴正向运动,物体 B 从(1,0)出发,试建立物体 B 的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.目录 上页 下页 返回 结束 2)dd(121ddxyvxt0121dd222yxyx代入 式得所求微分方程:其初始条件为,01xy11xyxtvxyxdddd2201212 yyx即yxO)1,0(A)0,1(),(yxBtv