资源描述
导数回顾回顾平均变化率平均变化率fx121)()f xxx2f(x函数函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为:割线的斜率割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yfkx121)()f xxx2f(x定义定义:函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 ,即即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(.20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同.300()()()limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数函数导函数函数导函数由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当x=x0时时,f(x0)是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时,便便 是是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:00()6fxx()6fxx2()3f xxf(x)在在x=x0处的导数处的导数f(x)的导函数的导函数x=x0时的函数值时的函数值关系关系()f x基基本本初初等等函函数数的的导导数数公公式式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=e，则f(x)=e若f(x)=e，则f(x)=e1 1若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，则f(x)=若f(x)=lnx，则f(x)=x x导数的运算法则:法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和(差差),即即:()()()()f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数,即即:()()()()()()f x g xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方.即即:2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg xaby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0,那么函数那么函数y=f(x)在为在为这个区间内这个区间内 的的增函数增函数;如果在这个区间如果在这个区间内内 0 得得f(x)的单调的单调递增区间递增区间;解不等式解不等式 f/（x）0 右侧右侧 f/(x)0,那么那么f(x0)是极大值是极大值;(2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f/(x)0,那么那么f(x0)是极小值是极小值.解方程解方程f/(x)=0.当当f/(x)=0时时:一般地，求函数一般地，求函数y=f(x)在在a,b上的最大值与最小上的最大值与最小值的值的步骤步骤如下：如下：:求求y=f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值);:将函数将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较比较,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一个为最最小的一个为最小值小值.求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的函数的极值是极值是在局部范围内讨论问题在局部范围内讨论问题,是一个是一个局部概局部概 念念,而函数的而函数的最值最值是对整个定义域而言是对整个定义域而言,是在整体范围是在整体范围 内讨论问题内讨论问题,是一个是一个整体性的概念整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内内 的可导函数不一定有最值的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极则此极 值必是函数的最值值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个有一个,而函数的极值则可能不止一个而函数的极值则可能不止一个,也可能没有也可能没有极值极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小最小值值),但除端点外在区间内部的最大值但除端点外在区间内部的最大值(或最小值或最小值),则则一定是极大值一定是极大值(或极小值或极小值).(4)如果函数不在闭区间如果函数不在闭区间a,b上可导上可导,则在确定函则在确定函数的最值时数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值处的值.(5)在解决实际应用问题中在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只如果函数在区间内只有一个极值点有一个极值点(这样的函数称为单峰函数这样的函数称为单峰函数),那么要根那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再不必再与端点的函数值进行比较与端点的函数值进行比较.
展开阅读全文