第六章 实数 全章导学案

课题：6.1平方根（一）姓名_ 班级_ 小组_ No: 11 【学习目标】：1.会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。2.会用平方运算求某些非负数的算术平方根.【重点难点】：重点：算术平方根的概念.难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根.【学法指导】一【自主学习】:请同学们看课本40页第一段内容，欣赏本节导图，并回答问题.1.你用什么方法可以求出这个正方形画框的边长？2.你能用学过的知识填表吗？正方形的面积 1 9 16 36 边长上面的问题实际上是已知一个 ，求这个 的问题.二【合作探究】：1.一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做 a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式=a (x0)中，规定x =. 0即为非负数.2试一试：你能根据等式：=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来3.想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？= = = =温馨提示：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值例如表示25的算术平方根.三【巩固运用】：例1 求下列各数的算术平方根： （1）100； (2) ； (3)0.0001练习：1求下列各数的算术平方根：（1）00025 （2） 81 （3）32 4.判断：（1）5是25的算术平方根；（ ） （2）6是 36 的算术平方根；（ ）（3）0的算术平方根是0； （ ） （4）0.01是0.1的算术平方根；（ ）（5）5是25的算术平方根.（ ）4.填空：四【反思总结】：五【达标测试】：1.若|a+3|=0 则a= ， 2.若,则m= ，3.若 则 a .4.若a3|+,则代数式的值为 .5.已知：1+y|+,求x3y+4z的值.6.已知：六【我的感悟】：1、这节课我最大的收获是： 2、我还需解决的问题有： 课题：6.1平方根（二）姓名_ 班级_ 小组_ No: 12 【学习目标】：1.会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.2.能用逼近法求一个数的算术平方根的近似值.3.体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数.【重点难点】：重点：夹值法及估计一个（无理）数的大小.难点：夹值法估计一个（无理）数的大小.【学法指导】一【自主学习】:1.什么叫算术平方根？2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出它们的算术平方根. 100；1；36/121; 0; 0.0025; (3)2 25； 3我们已经知道：正数x满足=a,则称x是a的算术平方根当a恰是一个数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如，=4；但当a不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎样求呢？二【合作探究】：课本第41页的探究: 怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？ 试问这个大正方形的边长应该是多少呢？大正方形的边长是，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求出它的值吗？观察图形感受的大小小正方形的对角线的长是多少呢？（用刻度尺测量它与大正方形的边长的大小）它的近似值我们可用逼近法去探究 1. 问题：究竟有多大？（读读42页内容吧）2.问题：你对正数的算术平方根的结果有怎样的认识呢？的结果有两种情况：当a 时，是一个有限数；当 时，是一个无限不循环小数.我们可以用逼近法求它的近似值 ，也可用计算器求近似值.三【巩固运用】：例2 用计算器求下列各式的值： （1） （2）（精确到0.001）练习.1.利用计算器探究算术根的变化规律（P43完成填表你一定会发现的）2.填空被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样呢？3.若 ， ， ，若，则a= .例3（课本P4344）请仔细阅读，理解解题思路.练习：课本P44的练习 1、2四【反思总结】：五【达标测试】：1. 和 之间 ，它的整数部分是 它的小数部分是 2. 六【我的感悟】：1、这节课我最大的收获是： 2、我还需解决的问题有： 课题：6.1平方根（三）姓名_ 班级_ 小组_ No: 13 【学习目标】：1.掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.2.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.【重点难点】：重点：平方根的概念和求数的平方根.难点：平方根和算术平方根的联系与区别.【学法指导】一【自主学习】:（阅读教材P4446）如果一个数的平方等于9，这个数是多少？完成下表: 1 9 16 36 x讨论：这个表格与课本P40的表格的填写有什么不同？ 请问：如果，则x等于多少呢？二【合作探究】：1.平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根即：如果=a，那么x叫做a的平方根求一个数的平方根的运算，叫做开平方例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算2.观察：课本P45的图6.12.图6.12中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质并根据这个关系填出1开平方得 ,4开平方得 ,9开平方得；填出1的平方根是 ,4的平方根是 ,9的平方根是 三【巩固运用】：例4 求下列各数的平方根.（注意书写格式）（1） 100 （2） （3） 0.25按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，符号：正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用表示例5 求下列各式的值。（1）， （2）， （3） 课堂完成：课本P46 练习1、2、3你会求下列各数的值吗？（1）， （2）四【反思总结】：1.什么叫做一个数的平方根？2.正数、0、负数的平方根有什么规律？3.怎样求出一个数的平方根？数a的平方根怎样表示？五【达标测试】：1计算：（1） = （2） （3） （4） =_ （5） （6）= .2.的算术平方根是_，平方根是_3.若x216，则5x的算术平方根是4.如果b是a的平方根，那么A. B. C. D.六【我的感悟】：1、这节课我最大的收获是： 2、我还需解决的问题有： 课题：6.2立方根姓名_ 班级_ 小组_ No: 14 【学习目标】：1.了解立方根的概念，学会用根号表示一个数的立方根.2.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.3.让学生体会一个数的立方根的惟一性，会分清一个数的立方根与平方根的区别.【重点难点】：重点：立方根的概念和求法.难点：立方根与平方根的区别.【学法指导】一【自主学习】:问题：要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？设这种包装箱的边长为x m,则=27这就是求一个数，使它的立方等于27. 因为=27， 所以x=3. 即这种包装箱的边长应为3 m.二【合作探究】：1.归纳 ：如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根2探究1：根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？ 因为，所以8的立方根是（ ） 因为，所以0.064的立方根是（ ）因为，所以8的立方根是（ ）因为，所以8的立方根是（ ）因为，所以的立方根是（ ）一个正数有一个正的立方根0有一个立方根，是它本身一个负数有一个负的立方根任何数都有唯一的立方根归纳：一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。例如：表示27的立方根，；表示的立方根，.3探究2： 因为所以 = 因为，所以 = 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即.4.探究3.(1)求的值,你认为? (2)求的值,你认为?三【巩固运用】：例.求下列各式的值：(1) (2) (3)你会用计算器计算(精确到0.001):你发现了什么规律?利用以上规律探究下列问题:已知4.6417, 求的近似值(精确到0.001)四【反思总结】：1.立方根和开立方的定义2.正数、0、负数的立方根的特征3.立方根与平方根的异同五【达标测试】：1求下列各式的值：（1） （2） （3） （4） (5)2 求下列各式的值：（1）；（2）；（3） （4）； （5）； （6） 3比较3，4，的大小.六【我的感悟】：1、这节课我最大的收获是： 2、我还需解决的问题有： 课题：6.3实数（一）姓名_ 班级_ 小组_ No: 15 【学习目标】：1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。2. 理解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数3. 会求实数的相反数、倒数、绝对值.【重点难点】：重点：理解实数的概念。难点：正确理解实数的概念。【学法指导】一【自主学习】:（一）学前准备1.填空：（有理数的两种分类）有理数 有理数 2.使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， ， ， ，二【合作探究】：1.归纳： 任何一个有理数都可以写成_小数或_小数的形式。反过来，任何 小数或_小数也都是有理数观察 通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的_根和_根都是_小数， _小数又叫无理数，也是无理数结论： _ _和_ _统称为实数你能举出一些无理数吗？2.试一试 把实数分类 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，是_无理数，是_无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类： 实数3、我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O，点O的坐标是多少？从图中可以看出OO的长时这个圆的周长_，点O的坐标是_这样，无理数可以用数轴上的点表示出来（2）课本P41页中,边长为1的正方形的对角线长为,在数轴上以原点O为圆心,以为半径画弧, 弧与数轴的两个交点,与正半轴交点为,与负半轴的交点为.总结 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的_表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示_，有些表示_当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是_的，即每一个实数都可以用数轴上的_来表示；反过来，数轴上的_都是表示一个实数 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数_ 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？总结 数的相反数是_，这里表示任意_.一个正实数的绝对值是_；一个负实数的绝对值是它的_；0的绝对值是_三【巩固运用】：例1.把下列各数分别填入相应的集合里： 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 2.下列实数中是无理数的为（ ）A. 0 B. C. D. 3. 的相反数是 ，绝对值 4.绝对值等于的数是 的相反数是 5.比较大小： 1.4 3.146.求值:= ; ; |= ; ; |3.14|= .7.已知|x|=，则x= ;已知|x|=,则x= .8._ 四【反思总结】：无理数的特征:1圆周率及一些含有的数 2开不尽方的数3无限不循环小数注意:带根号的数不一定是无理数五【达标测试】：1.把下列各数填入相应的集合内： 有理数集合 无理数集合 整数集合 分数集合 实数集合 2.下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. C. D. 3.若实数满足，则（ ）A. B. C. D. 4.下列说法正确的有（ ）不存在绝对值最小的无理数 不存在绝对值最小的实数不存在与本身的算术平方根相等的数 比正实数小的数都是负实数非负实数中最小的数是0A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个5.的相反数是_ ，绝对值是_ = 若，则 _6.是实数，则_ 六【我的感悟】：1、这节课我最大的收获是： 2、我还需解决的问题有： 课题：6.3实数（二）姓名_ 班级_ 小组_ No: 16 【学习目标】：1会求实数范围内，相反数、倒数、绝对值. 2.会对简单的根式加减进行计算.【重点难点】：重点：在实数内会求一个数的相反数、倒数、绝对值和简单的根式的加减运算.难点：简单的无理数计算.【学法指导】一【自主学习】: 学前准备1.用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律2.用字母表示有理数的加法交换律和结合律3.有理数的混合运算顺序自主学习: 独立阅读教材后完成1.数a的相反数是 ；2.一个正实数的绝对值是它 ；一个负实数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 .3.实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，正数及0可以进行开平方运算，而且任意一个实数都可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.二【合作探究】：讨论:下列各式错在哪里？并进行正确运算.1. 2.3. 4.当时，三【巩固运用】：例1.计算下列各式的值：(1)解： 解: 总结 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的练习 （精确到0.01） （结果保留3个有效数字）总结 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算计算 23 例2求5的算术平方根于的平方根之和 （）O例3 已知实数在数轴上的位置如下，化简四【反思总结】：1.实数的运算法则及运算律. 2.实数的相反数和绝对值五【达标测试】：1.的相反数是 ， 的相反数是2.当时， ， 3.已知、在数轴上如图，化简O 4.在两个连续整数和之间，即，那么、的值是 5.已知四个命题，正确的有（ ）有理数与无理数之和是无理数 有理数与无理数之积是无理数无理数与无理数之积是无理数 无理数与无理数之积是无理数A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个6.计算下列各题 仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律吗？根据这个规律先写出接下来的第五个式子写出结果，并说明理由 六【我的感悟】：1、这节课我最大的收获是： 2、我还需解决的问题有： 课题：第六章复习 平方根、立方根、实数姓名_ 班级_ 小组_ No: 17 一知识点：1.算术平方根:如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的 ，即:如果x2=a(x0)，则x叫做a的算术平方根，记作x= ，其中a 0, 0.规定：0的算术平方根是0.2.平方根: 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 ，即:如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作x= ，其中a 0, 0.规定：0的平方根是0.3.平方根性质：任何一个正数 零的平方根 负数 4.如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 ，即:如果x3=a，则 x= .5.立方根的性质：任何一个正数有 个立方根，是 数零有 个立方根，是 任何一个负数有 个立方根，是 数.6.无限不循环小数叫做 数.7. 和 统称为实数.8.实数的两种分类方式.实数 实数9. 和数轴上的点一一对应.10.绝对值： (|a|0) 二.基础训练:1.如果x2=9，则x= ，的平方根是 ，算术平方根是 .2.的立方根是 ，= ；3.算术平方根等于它本身的数是 ；平方根等于本身的数有_；立方根等于它本身的数是 4.在下列各数中：3，0，0.31，2，2.161 161 161，无理数的有_5.比较大小： ， 3.14；6.当m 时，有意义，当m 时，有意义，7.大于小于的整数是 ；写出两个3到4之间的无理数 .8.若，则的值为 9.则x= ;则x= ;,则x= .10.= .三.典型例题例1.下列说法中正确的是（ ）。（A）无理数是无限小数； （B）无限小数是无理数；（C）数轴上的点与无理数一一对应；（D）无理数可分为正无理数、0和负无理数。例2.小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( )A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米)例3.全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款，到6月3日止各地共捐款约423.64亿元，用科学记数法表示捐款数约为_元（保留两个有效数字）例4. 某实数的平方根为3a+1和2a6，则该数是 .例5.下列计算中正确的有 个。（1） （2） （3） （4）例6.x为任意实数时下列式子均有意义的有 个.例7.若 ，则 ; =_ _ 例8.在数轴上作出表示和的点。例9.阅读下列材料：设，则，则由得：，即.所以.根据上述提供的方法把下列两个数化成分数。 ，= .四.巩固运用：1.若一个正数的算术平方根是a，则比这个数大3的正数的平方根是（）A BCD2.已知：=5，=7，且，则的值为（ ）A2或12 B.2或12 C.2或12 D.2或123.如图： ，那么 的结果是（ ）A.2b B.2b C.2a D.2a 4.将下列各数填入相应的集合内。 7，0.32, ，0，0.1010010001 有理数集合 无理数集合 负实数集合 6.计算：（1） （2）五.达标检测1.下列式子中无意义的是（ ） A. B. C. D.2.有如下命题：负数没有立方根；一个实数的立方根不是正数就是负数；一个正数或负数的立方根与这个数同号；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0。其中错误的是（）A. B. C. D.3. 下列说法正确的是（ ） A实数分为正实数和负实数；B实数都有平方根; C.无理数加无理数其和也是无理数 ；D. 实数分为有理数和无理数.4.点A在数轴上表示，从A点沿数轴向左平移3个单位到点B，则点B所表示的实数是（ ） A3+ B1 C5 D35.下列各数中:0,（3）2,（9）,4,3. 14,x21,有平方根的数有 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个6.如图,若数轴上的点A，B，C，D表示数2，1，2，3，则表示的点P应在线段-343210-1-2DCBOAA线段AB上 B线段BC上 C线段CD上 D线段OB上 7.若，则= ；8.若x9，则x ；若，则y 9.化简： ;10.如果，则= ；11.计算：(1) （2） （3） 12.求下列各式中的的值。 （1） （2） （3） 13 一个正数的平方根是与，求这个正数.14.已知a、b满足，解关于的方程.15.先填写下表，通过观察后再回答问题0.0000010.00010.011100100001000000问：（1）被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律（2）已知：=1800，=，你能求出a的值吗？第六章 实数检测题(满分100分,时间60分钟)班级_姓名_成绩_一.判断题（1分10=10分）1、3是9的算术平方根 （ ）2、0的平方根是0，0的算术平方根也是0 （ ）3、（2）2的平方根是 （ ）4、0.5是0.25的一个平方根 （ ）5、是a的算术平方根 ( )6、64的立方根是 （ ）7、10是1000的一个立方根 （ ）8、7是343的立方根 （ ）9、无理数也可以用数轴上的点表示出来 （ ）10.有理数和无理数统称实数 （ ）二.选择题（3分6=18分）11、列说法正确的是（ ）A .是的一个平方根 B. 正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C. 72的平方根是7 D.负数有一个平方根12、如果，那么y的值是（ ）A. B. C. D.13、如果x是a的立方根，则下列说法正确的是（ ）A.也是的立方根 B.是的立方根C.是的立方根 D.x=14、,可，无理数的个数是（ ）A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个15、与数轴上的点建立一一对应的是（ ） A.全体有理数 B.全体无理数 C. 全体实数 D.全体整数16、如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ）A.0 B.正实数 C.0和1 D.1三填空题（1分30=30分）17.100的平方根是_-，10的算术平方根是 _.18是 的平方根，是 的一个平方根；的算术平方根是 .19正数有 个平方根，它们互为 数；0的平方根是 ；负数 平方根.20的立方根是 ，的立方根是 ，0的立方根是 .21正数的立方根是 数；负数的立方根是 数；0的立方根是 .22的相反数是 ，= ，= .23比较下列各组数大小： 12 四.解答题（共42分）24求下列各数的算术平方根与平方根（3分4=12分）(1) 25求下列各式值（3分6=18分） 26.求下列各式中的：（3分4=12分）（1） - 20 -