平面几何基本定理讲解

一平面几何1 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理） （1）锐角对边 的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另 一边在这边上的射影乘积的两倍 （2）钝角对边的平方等于 其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上 的射影乘积的两倍2 射影定理（欧几里得定理）3. 中线定理（巴布斯定理）设AABC的边BC的中点为P,则有 AB2 + AC2 = 2（AP2 + BP2）；中线长：m =皿+ 2c2 - a2a24. 垂线定理：AB 丄 CD o AC2 - AD2 = BC2 - BD2高线长：二圆相交,则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴”.三个圆两两的根轴如果不 互相平行,则它们交于一点,这一点称为三圆的“根心”.三 个圆的根心对于三个圆等幂.当三个圆两两相交时,三条公 共弦（就是两两的根轴）所在直线交于一点.15. 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两 组对边乘积之和，即 ACBD=AB CD+ADBC，（逆命题成 立）.（广义托勒密定理）ABCD+AD.BC三ACBD16. 蝴蝶定理：AB是。O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过 点 M, CF、DE 交 AB 于 P、Q,求证：MP=QM.17. 费马点：定理 1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外 接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离.定理2 三角形每一内角都小于120时，在三角形内必P（P 一 a）（p 一 b）（p 一 c） abc=sin A = c sin B = b sin C存在一点，它对三条边所张的角都是 120，该点到三顶点 距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于 120时，此角的顶点即为费马点5. 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线 段与这个角的两边对应成比例.如ABC中，AD平分ABAC，则BD = AB ；（外角平分线 DC AC定理）2 2bcA角平分线长：t =bcp（p 一 a） =cos （其中a b + cb + c 2p 为周长一半）6. 正弦定理：c = 2R，（其中R为三角sin A sin B sin C形外接圆半径）7. 余弦定理： c2 = a2 +b2 一 2abcosC8 张角定理： sin ZBAC sin ZBAD sin ZDACAD ACAB9.斯特瓦尔特（Stewart）定理：设已知AABC及其底边上B、C 两点间的一点 D，则有 AB2 DC+AC2 BD-AD2 BC = BCDCBD10圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一 半（圆外角如何转化？）11弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角12 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13. 布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD 中，ACBD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线 必平分对边14. 点到圆的幕：设P为。O所在平面上任意一点，PO=d， O的半径为r，则d2-r2就是点P对于。O的幕过P任作 一直线与。O交于点A、B，则PAPB= Id2r2|.“到两圆等 幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此18. 拿破仑三角形：在任意ABC的外侧，分别作等边ABD.BCE、MAF,则 AE、AB、CD 三线共点，并且 AE=BF=CD，这个命题称为拿破仑定理. 以AABC的三条边分 别向外作等边ABD. BCE. CAF，它们的外接圆C1 0A、（3B的圆心构成的 外拿破仑的三角形，（3C、 A1 B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形; ABC的三条边分别向AABC的内侧作等边 ABD、MCE、 CAF，它们的外接圆C2 A2 B2的圆心构成的 内拿破仑三角形，OC2、OA2、OB2三圆共点，内拿 破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三角形还具 有相同的中心19. 九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形 中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂 心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具 有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中 点（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切 费尔巴哈定理20. 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上21. 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半 径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R22Rr.22锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各 边距离的和23重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分 成2： 1的两部分；G（_X4c,33重心性质：(1)设G 为 ABC的重心，连结AG并延长交 BC于D,则D为BC的中点，则AG : GD = 2:1;( 2 ) 设 G 为 ABC 的 重 心 ， 则S = S = S = - SAABGABCGAACG 3 AABC(3)设G 为 ABC的重心，过G作DEHBC交AB于D,交AC于E，过G作PFAC交AB于P,交BC于F,过G作HK AB交AC于K, 交BC于H,则DE _ FP BCCAKHAB2 DE3； BC +FP KH+CA AB_ 2 ( 4)G为ABC的重心，则BC 2 + 3GA2 _ CA 2 + 3GB 2 _ AB 2 + 3GC 2GA2 + GB2 + GC2 _3(ab2 + BC2 + CA2)(4) 设 I 为厶 ABC 的内心，BC _ a, AC _ b, AB _ c,ZA平分线交BC于。，交、ABC外接圆于点K,贝yAI AK IK b+c ID KI KD a(5) 设 I 为 ABC 的内心，BC _ a, AC _ b, AB _ c, i 在BC AC AB上的射影分别为D E F，内切圆半径为1r ,令 p_(a + b + c) S _ pr ；2A ABCAE _ AF _ p a; BD _ BF _ p b; CE _ CD _ p c: abcr _ p - AI - BI - CI .26外心：三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；sin 2 Ax + sin 2 Bx + sin 2Cx sin 2 Ay + sin 2By O(ABC ,ABsin 2A + sin 2B + sin 2Csin 2A + sin 2B -PA 2 + PB 2 + PC 2 _ GA 2 + GB 2 + GC 2 + 3PG 2 ( p 为 ABC 内任意一点)； 到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心， 即GA2 - GB2 - GC 2 最小； 三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然(即满足 上述条件之一，则G 为 ABC的重心).24 垂 心 ： 三 角 形 的 三 条 高 线 的 交 点 ；外心性质：(1)外心到三角形各顶点距离相等(2)设0如ABC的外心，则ZBOC _ 2ZA或ZBOC _ 360。 2ZA3)abc4SA；(4)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和abcx +x +xcos A A cos B B cos C cabc+ +cos A cos B cos Cary + cos A Aacos Ab27.c旁心：一内角平分线与两外角平分线交点一一旁切圆圆心；cos Bb + cos 设 y ABC 的三边 BC _ a, AC _ b, AB _ c,令 bc-+ cos b + cos cp _ 2 (a + b + c), 分别与BC, AC, AB外侧相切的旁切垂心性质：(1)三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到 对边的距离的 2倍(2) 垂心H关于 ABC的三边的对称点，均在 ABC 的外接圆上；(3) ABC 的垂心为 H,则厶 ABC, ABH, BCH, ACH的外接圆是等圆；(4 )设O , H分别为 ABC的外心和垂心，ZBAO _ ZHAC, ZCBO _ ZABH , ZBCO _ ZHCA圆圆心记为 I , I , I ,其半径分别记为 r , r , r 旁心性ABCABC质(1)ZBI C _90。丄 ZA, ZBI C_ Z BI C _2 ZA,(对A2BC2于顶角B, C也有类似的式子)(2) ZI I I _ -(ZA + ZC)A B C 225. 内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心,即内心到 三角形各边距离相等ax + bx + cx ay + by + cyI (A BL , A B C)a+b+ca+b+c( 3 ) 设 AI 的 连 线 交 ABC 的 外 接 圆 于 D , 则ADI _ DB _ DC (对于 BI ,CI 有同样的结论)AB C内心性质：(1)设I为 ABC的内心，则I到厶ABC三边的 距离相等,反之亦然(4) ABC是厶IAIBIC的垂足三角形，且厶IAIBIC的外接圆半 径R等于 abc的直径为2R.28. 三(2) 设 I 为 ABC 的 内 心 , 则111ZBIC _ 90。+ ZA, ZAIC _ 90。+ ZB, ZAIB _ 90。+ ZCS 2 2 2AABC角 形 面 积_ ah _ ab sin C _ 2R 2 sin A sin B sin C2 a 24Ra 2 + b 2 + c 24(cot A + cot B + cot C)(3)三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若 Z平分线交 ABC外接圆于点K, I为线段AK上的点且满足KI=KB,则I为 ABC 的内心_ pr _ 1,：p(p a)(p b)(p c)，其中 ha 表示 BC 边上的 aR 为外接圆半径，r 为内切圆半径，p = -2 (a + b + c)三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系于边BC、CA、AB的对称点和 ABC的垂心H同在一条（与 西摩松线平行的）直线上这条直线被叫做点P关于 ABC的镜象线.高，293031323334353637383940414243rrrr =,r,raBC bAC cABtan tantan tantan tan222222A . B . CABC 44牛顿定理Bl：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中r = 4R sin sin sin ; r = 4R sin cos cos , r = 4R cos sin cos , r = 4R cos cos sin ;222 a222 b点和两条对角线的中点，三点共线这条直线叫做这个四边形的牛顿线.丄4里牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的 r r圆心，三点共线.abc46. 笛沙格定理1：平面上有两个三角形 ABC、 DEF,设它梅涅劳斯（Menelaus）定理：處ABC的三边BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为BP CQ ARP、Q、R则有= 1 （逆定理也成立）PC QA RB梅涅劳斯定理的应用定理1：设厶ABC的ZA的外角平分线 交边CA于Q，ZC的平分线交边AB于R，ZB的平分线交 边CA于Q，则P、Q、R三点共线梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意 ABC的三个顶点A、 B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线 交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线塞瓦（Ceva）定理：设X、Y、Z分别为AABC的边BC、CA、 AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条AZBXCY 1件疋ZB，XC，YA=1塞瓦定理的应用定理：设平行于厶ABC的边BC的直线与两 们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点， 这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.47. 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形 ABC、 DEF， 设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一 点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.48. 波朗杰、腾下定理：设厶ABC的外接圆上的三点为P、Q、 R，则P、Q、R关于 ABC交于一点的充要条件是：弧AP+ 弧 BQ+弧 CR=0（mod2 兀）.49. 波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为厶ABC的外接圆 上的三点，若P、Q、R关于 ABC的西摩松线交于一点， 则A、B、C三点关于厶PQR的的西摩松线交于与前相同的 一点50波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交 点是 A、 B、 C、 P、 Q、 R 六点任取三点所作的三角形的垂心 和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点51. 波朗杰、腾下定理推论3：考查 ABC的外接圆上的一点P边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则 AS 一定过边 BC 的中点 M塞瓦定理的逆定理：（略）的关于 ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线 该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于 ABC的西摩松线 交于一点塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一52. 波朗杰、腾下定理推论4：从厶ABC的顶点向边BC、CA、点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于 一点AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB 的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设厶ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点西摩松（Simson）定理：从 ABC的外接圆上任意一点P 向三边 BC、 CA、 AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是 D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）西摩松定理的逆定理：（略）关于西摩松线的定理1： ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点， 以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西 摩松线，这些西摩松线交于一点史坦纳定理：设厶ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P， 这时关于厶ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心.史坦纳定理的应用定理： ABC的外接圆上的一点P的关 一个圆上，这时L、M、N点关于关于 ABC的西摩松线交 于一点53. 卡诺定理：通过 ABC的外接圆的一点P，引与 ABC的三 边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与 三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线.54. 奥倍尔定理：通过 ABC的三个顶点引互相平行的三条直 线，设它们与 ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在 ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与厶ABC的 三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、 E、F三点共线.55. 清宫定理：设P、Q 为 ABC的外接圆的异于A、B、C的 两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、 W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的 交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线.56. 他拿定理：设P、Q为关于 ABC的外接圆的一对反点，点P 的关于三边 BC 、 CA 、 AB 的对称点分别是 U 、 V 、 W ，这 时，如果 QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交 点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线.（反点：P、Q 分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQxOP 则称 P、 Q 两点关于圆 O 互为反点）57. 朗古来定理：在同一圆周上有 A1、 B1、 C1、 D1 四点，以其 中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个 三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四 个垂足在同一条直线上.58. 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切 线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心59. 一个圆周上有 n 个点，从其中任意 n1 个点的重心，向该 圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点60. 康托尔定理 1：一个圆周上有 n 个点，从其中任意 n2 个 点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点.61. 康托尔定理2： 一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两 点，则M和N点关于四个三角形 BCD、 CDA、 DAB、 ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上.这 条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线.62. 康托尔定理 3：一个圆周上有 A、 B、 C、 D 四点及 M、 N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、 N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、 M、 L 两点的关于 四边形 ABCD 的康托尔线交于一点.这个点叫做 M、 N、 L 三点关于四边形 ABCD 的康托尔点.63. 康托尔定理 4：一个圆周上有 A、 B、 C、 D、 E 五点及 M、 N、 L 三点，则 M、 N、 L 三点关于四边形 BCDE、 CDEA、 DEAB、 EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上.这条直线 叫做 M、 N、 L 三点关于五边形 A、 B、 C、 D、 E 的康托尔线.64. 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切.65. 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三 分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正 三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.66. 布利安松定理：连结外切于圆的六边形 ABCDEF 相对的顶 点A和D、B和E、C和F，则这三线共点.67. 帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边 AB 和 DE、 BC 和 EF、 CD 和 FA 的（或延长线的）交点共线.68. 阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比 为定比m： n （值不为1）的点P，位于将线段AB分成m： n 的内分点 C 和外分点 D 为直径两端点的定圆周上.这个圆称 为阿波罗尼斯圆.69. 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点， 过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同 一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边 形的九点圆.70. 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交 于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是ABF. AED、ABCE、ADCF，则这四个三角形的外接圆共点， 这个点称为密格尔点.71 .葛尔刚（Gergonne）点：AABC的内切圆分别切边AB. BC、 CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为 葛尔刚点.72.欧拉关于垂足三角形的面积公式：0是三角形的外心，M是 三角形中的任意一点，过M向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式：爲厂SA ABC二.集合口1. 元素与集合的关系x e A o x 电 C A x e C A o x 电 AUU2. 德摩根公式C (AI B)二 C A U C B; C (A U B)二 C AI C BU U U U U U3. 包含关系AI B = A o A U B = Bo A 匸 B o C B 匸 C AUUoAI C B二oC AU B = RUU4集合q，a2L , a 的子集个数共有2n个；真子集有12 n2n -1个；非空子集有2n -1个；非空的真子集有2n -2个.5. 集合A中有M个元素，集合B中有N个元素，则可以构造M*N 个从集合 A 到集合 B 的映射；6. 容斥原理card (A U B) = cardA + cardB - card (A I B)card (A U B U C) = cardA + cardB + cardC card (AI B)-card (AI B) card (B I C) card (C I A) + card (AI B I C)(3)零点式 f (x) = a(x - x)(x - x)(a 丰 0).三.二次函数，二次方程1 二次函数的解析式的三种形式（1） 一般式 f （x） = ax2 + bx + c（a 丰 0）； 顶点式 f （x） = a（x - h）2 + k（a 丰 0）；2 解连不等式N f （x） M常有以下转化形式N f (x) M o f (x) Mf (x) N 0o | f (x)-|0 时 ，若 x = -? ep, q2af ( x )minmax =max f(p), f(q)max max f( p), f(q)max maxf ( x )min min(2)当 a0 时 ， 若f ( x )min min=min f (p), f (q)= max f(p), f(q) inf(p), f(q).5f(m) f(n) 0;a0b2 - 4ac f (x) - N M - N 3方程f(x) = 0在(k，k2)上有且只有一个实根，与 f (k)f (k2) 0不等价，前者是后者的一个必要而不是充分 条件特别地，方程ax2 + bx + c = 0(a丰0)有且只有一个实根在(k1, k 2)内，等价于 f (k1) f (k 2) 0，或 f (k1) = 0 1 b k + k且匚-2， 或 /(k丿-0 且12 a22k + kb,i 2 - k22a2 二次函数f (x) = ax2 + bx + c(a丰0)在闭区间p,q上 b的最值只能在x =-处及区间的两端点处取得，具体如下：2ab=f (-亍),f (x)2ax = -?p,q,f(x)=2a=f(p),f(q).min=b x = - w Lp, q,2ab ，若 x =-电 Lp, q2af ( x)maxmaxf(x)=minf(p), f(q).min元二次方程的实根分布依据：若f(m)f(n) 0f (m) = 0 或 0f (n) 0、Jf (m) = 0P 2 - 4q 0 或af (n) 0 或 m-P 0 f(m) 0 或 p.-0 ( t 为 参 数 ) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是f (x, t) 0(x 纟 L).min(2)在给定区间(-8,+8)的子区间上含参数的二次不等式 f(x,t)0 ( t 为 参 数 ) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是f (x, t)0 恒成立的充要条件是Ja0 0 或c 02常见结论的否定形式4充要条件(1) 充分条件：若p二q，则p是q充分条件.(2) 必要条件：若q二p，则p是q必要条件.(3) 充要条件：若p二q，且q二p，则p是q充要 条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦 然.五函数1.函数的单调性上是增函数；设x -x G la,bx丰x那么 1 2 1 2(x -x )Lf (x )- f (x )J 0 1 2 1 2 f(xi)-f(x2) 0 o f (x)在la,bx - x(x -x )f (x ) - f (x ) 0 o 1 2 1 2 0, 则f (x)为增函数；如果f(x) 0, a 丰 1).(4) 幂函数f (x)二 xa，f (xy)二 f (x)f (y), f (1) = a .(5) 余弦函数f (x) = cos x，正弦函数g(x) = sin x， f (xy)二 f (x)f (y) + g (x)g (y)，f (0) = 1,lim 型= 1x t0 x14几个函数方程的周期(约定a0)(1) f (x) = f (x + a)，则 f (x)的周期 T=a；f (x + a)=1f (x)(f (x)丰 0)，f (x+a)=1f (x)(f (x)丰 0)(2)f (x) = f (x + a) = 02 + Qf (x) f 2(x) = f (x + a),( f (x) wo,l), f (x)的周期T=2a；=1(f (x)丰 0)，则 f (x)的周期f (x + a)(3) f (x)T=3a；(3) log M n = nlog M (ng R) .aa7 设 函数 f (x) = log (ax2 bx c)(a 丰 0),记mA = b 2 4c.若f (x)的定义域为R，则a 0，且A 0，且A 0 对于a = 0的情形, 需要单独检验.8对数换底不等式及其推广f (x + x )二 f(X1)+ f(X2)121 - f (x) f ( x)12f (a)二 1(f (x ) - f (x )丰 1,0 1 x x l0 b0 x01x丰，贝y函数ay = log (bx)ax当 a b 时,在(,)和(一，+8)上 y =log (bx) a aax为增函数.当a m 1，p 0，a 0，且a丰1，则( a 0, m, n g N*，且 n 1). n am=(a 0, m, n g N*，且 n 1).man2根式的性质_(1) (na)n = a . (2)当 n 为奇数时，nan = a ；当 nF a, a n 0为偶数时，nan =| a |=1a,a 0, r, s g Q).( 1 ) log (n p)log nm pmmnlog m log n 0,r,sgQ)(3)(ab)r=arbr(a0,b0,rgQ).注：若a0p是一个无理数贝Dap表示一个确定的实数上 述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.4指数式与对数式的互化式log N = b o ab = N (a 0, a 丰 1,N 0) a.5对数的换底公式log Nlog N =m ( a 0 且 a 主 1 m 0 且 a log amm 丰 1, N 0).n推论 log bn = log b( a 0 且 a 1 m, n 0 amm a且 m 丰 1, n 丰 1, N 0).6对数的四则运算法则若 a0，a#1，M0，N0，贝(1) log (MN)=log M log N ;(2) aaaMlog = log M log N ；a N a a=a1,n 2 (数列an的前n n1项的和为n).n七数列数列的通项等差=a (n1)d =dna d(ngN*)；11其 前 nn(a a )=1n2snd/1小=n2 (a d )n2 1 22等比数列的通项公式an其前n项的和公式为a (1 q n )T1qna ,q =13 等比差数列kJ： a 式为= a qn11和公式丄 n(n 1)=na d1 2=- qn(n g N*).qa a qT n , q 丰 11 - q .na , q = 11=qa d,a = b(q丰0)的通项公n1n1b + (n -1)d, q =1bqn +(d -b)qn-1 -d；,q丰1co s(、 q -1其前n项和公式为nb + n(n - 1)d,(q = 1)d1 - qnd.(b-)q + n,( q 丰 1)-1 - q q -11 - q4 分期付款(按揭贷款)ab(1+ b)n每次还款x = (1+ b)n -1元(贷款a元,n次还清，每期利率为 b ).八三角函数常见三角不等式兀若x en x x tan x.2兀L若x e sin x + cos x 11）(2)(3) 同角三角函数的基本关系式sin2 9 + cos2 9 = 1 tan0 =tan0 - cot0 = 1，cos0 ，正弦、余弦的诱导公式sin( nl+a)= n(-1)2 sin a,（n为偶数）n=1(一1) 2 co s a,（n为奇数）n(-1)2 co s a,+ a)= a (I a I 1) o x e (2k兀 + arcsin a,2 k兀 +兀一 arcsin a), k e Z sin x a(I a I a (I a I 1) o x e (2 k兀-arccos a,2 k 兀 + arccos a), k e Z cos x a (I a I 1) o x e (2 k兀 + arccos a,2 k兀 + 2兀一 arccos a), k e Z兀tan x 0）的周期T =-；函数x 丰 k + , k e Z(A, 32且AM030)的周期T =-.10 正弦定理a=bsin A sin Bcsin C=2R申为常数，tan 39 =迴9 一tan39 = tan0 tan(|-9) tan(| +9)11余弦定理a2 =b2+c2-2bccosA;b2 =c2+a2-2cacosB ;c2 =a2 +b2 -2abcosC .12 面积定理1-3tan29兀tan x a(a e R) n x e (k兀 + arctan a, k兀 + ), k e Z9三角函数的周期公式函数y = sinx +申）,xR及函数y = cos（x +申）， B (x2, y2)cos0 =(x1, y1),b=(a=B(x2,y2).uuur uuurOP + kOP+21 + kuuurOP =uuuro OP = tOP + (1 t)OP 121(t = 1+T).则 ABC 的，).A(x1,y1)、B(x2,y2)、重心的坐标是23313 点的平移公式I x = x + h I x = x h 1oI y = y + k(1) S = ah = bh = ch ( h、h、h 分别表2 a 2 b 2 c a b c示a、b、c边上的高).(2) S = absin C = bcsin A = casinB () 2 2 2 .1 uur uur uur uur(3) S = (I OAI -1 OB 1)2 - (OA - OB)2AOAB213 在三角形中有下列恒等式： sin(A + B) = sin C tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C14 简单的三角方程的通解sin x = a o x = k兀 + (-1)k arcsin a(k g Z,I a I 1). co s x = a o x = 2k兀 土 arccos a (k g Z,I a I 1). tan x = a n x = k兀 + arctan a (k g Z, a g R).特别地,有sin a = sin P o a = k兀 + (-1)k P (k g Z). cosa = cos P oa = 2k兀 P(k g Z). tan a = tan P na = k + P (k g Z).15 三角形内角和定理在厶 ABC 中，有 A + B + C =兀0 C =兀一(A + B)C 兀 A + B 小小 一， 厂、 o = o 2C = 2兀2(A + B)2 2 2八向量1 实数与向量的积的运算律设入、卩为实数，那么 结合律：入(ua) = (入卩)a;(2)第一分配律：(入+ u)a=入a+ua;第二分配律：入 (a+b)=入 a+入 b.2 向量的数量积的运算律：(1) a b= b a (交换律)；(2)(九 a) b=九(a b)=九 a b= a (九 b);(3) (a+b) c= a c +b c.3平面向量基本定理如果e、e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一12平面内的任一向量，有且只有一对实数入、入，使得玄=入e +1 2 1 1 入e .22不共线的向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.124向量平行的坐标表示设 a= (xi，yi) , b= (x2, y2)，且 b 丰 0 ，则 aP b(b 丰 o)o x y x y = 0.1 2 2 15a与b的数量积(或内积)a b=|a| |b | cos 9.6 a b的几何意义数量积a b等于a的长度IaI与b在a的方向上的投影IbIcos 9的乘积.7平面向量的坐标运算(1) 设 a=(x1, y1),b=(x2,y2)， 则a+b=(x +x ,y + y ).1 2 1 2(2) 设 a=(x1, y1),b=(x2,y2)， 则a-b=(x x ,y y ) .1 2 1 2(3) 设 A (x , y )uuur uuur uuur 1 1 AB = OB OA = (x x,y y ).2 1 2 1(4) 设&=(x，y),k gr，则入a=(入x，入y).(5) 设 a=(x1，y1) ,b=(x2, y2)，则 a b=(x x + y. y_). 8两向量的夹角公式x x + y y1 2 1 2 -+ y2 - x 2 + y 21 2 2(x , y ).229平面两点间的距离公血皿d AB l=： AB - ABA, B=x x )2 + (y y )2 (A (x , y ),x 2 1 2 1 1 110 向量的平行与垂直设 a= (x1，y1) , b= (x2, y2)，且 b 丰 0，则 a| iboba o x y x y = 0.1 2 2 1a 丄 b(a 主 0)a b=0x x + y y = 0.1 2 1 211 线段的定比分公式设 P(x ,y )， P(x ,y ) ， P(x,y) 是