曲线曲面参数表示的基础知识.ppt

第八讲 曲线曲面参数表示的基础知识 1 显式、隐式和参数表示 在工程上，曲线曲面的应用十分广泛。如根据实验、 观测或数值计算获得的数据来绘制出一条光滑的曲线，以 描述事物的各种规律。在汽车、飞机、船舶的等产品的外 形设计中，要用到大量的曲线和曲面来描述其几何形状。 表示曲线和曲面的基本方法有两种：参数法和非参数 法。 （ 1）非参数法 y=f(x) 显函数 (不能表示封闭或多值的曲线） f(x， y)=0 隐函数（方程的根很难求） （ 2） 参数法 x=f(t) y=g(t) 求导很方便，不会出现计算上的困难 对于非参数表示形式方式（无论是显式还是隐式）存 在下述问题： 与坐标轴相关； 会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）； 对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表 示； 不便于计算机编程。 值得一提的是 ,隐式方程的优点也很明显 .通过将某一点 的坐标代入隐式方程 ,计算其值是否大于、等于、小于零， 能够容易判断出该点是落在隐式方程所表示的曲线（曲面） 上还是某一侧。利用这个性质，在曲线曲面求交时将会带来 莫大的方便。 在几何造型系统中，曲线曲面方程通常表示成参 数的形式，即曲线上任一点的坐标均表示成给定 参数的函数。 假定用 t表示参数，平面曲线上任一点 P可表示为： P(t)=x(t), y(t)； 空间曲线上任一三维点 P可表示为： P(t)=x(t), y(t), z(t)； 最简单的参数曲线是直线段，端点为 P1、 P2的 直线段参数方程可表示为： P(t)=P1+(P2-P1)t t 0, 1; 圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一 象限内的单位圆弧的非参数显式表示为： 其参数形式可表示为： 在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、 隐式方程有更多的优越性，主要表现在： （ 1）可以满足几何不变性的要求。 （ 2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条 二维三次曲线的显式表示为： 只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参 数表达式为： 有 8个系数可用来控制此曲线的形状。 （ 3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须 对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表 示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。 （ 4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断 计算。 （ 5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完 全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空 间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点 使我们可以用数学公式处理几何分量。 （ 6）规格化的参数变量 t 0, 1，使其相应的几何分量 是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （ 7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 有一空间点 A， 从原点 O到 A点的连线表示一个矢 量 ， 此矢量称为位置矢量 。 空间一点的位置矢量有三个坐标分量 ， 而空间曲 线是空间动点运动的轨迹 ， 也就是空间矢量端点 运动形成的矢端曲线 ， 其矢量方程为： )(),(),()( uzuyuxuCC 2 参数曲线的定义及其 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率 此式也称为单参数的矢函数。它的参数方程为： )( ),( )( uzz uyy uxx , 0 nuuu 规范化区间 若 t的区间： a,b，如果把它转换为 0,1 ，如何做？ 方法（相似性，比例不变）： t=(t-a)/(b-a) , 则 t 0,1 型值点 指通过测量或计算得到的曲线 或曲面上少量描述其几何形状的数据点 。 控制点 指用来控制或调整曲线曲面形 状的特殊点 ， 曲线曲面本身不一定通过控 制点 。 3 拟合、逼近、插值和光顺 曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲 面的形状时 ， 形状完全通过给定的型值点列 。 图8-1 曲 线的拟合 曲线曲面的逼近 ：当用一组控制点来指定曲线曲面的 形状时 ， 求出的形状不必通过控制点列 图8 - 2 曲线的逼近 求给定型值点之间曲线上的点称为 曲线的插值 。 将连接有一定次序控制点的直线序列称为 控制多边形 或 特征多边形 图8 - 2 曲线的逼近 4 连续性条件 假定参数曲线段 pi以参数形式进行描述： t,t t)( i1i0 tpp ii 参数连续性 几何连续性 1.参数连续性 0阶参数连续性 ， 记作 C0连续性 ， 是指曲线的 几何位置连接 ， 即 )()( 0)1()1(1 iiii tptp 1阶参数连续性 记作 C1连续性 ， 指代表两个相邻曲线段的方程在相 交点处有相同的一阶导数： )()( )()( 0)1()1(1 0)1()1(1 iiii iiii tptp tptp 且 2阶参数连续性 ， 记作 C2连续性 ， 指两个相邻曲线段的方程在相交点 处具有相同的一阶和二阶导数 。 ( a ) 0 阶连续性 ( b ) 1 阶连续性 ( c ) 2 阶连续性 2.几何连续性 0阶几何连续性 ， 记作 G0连续性 ， 与 0阶参数连续性的定 义相同 ， 满足： 1阶几何连续性 ， 记作 G1连续性 ， 指一阶导数在相邻段 的交点处成比例 2阶几何连续性 ， 记作 G2连续性 ， 指相邻曲线段在交点 处其一阶和二阶导数均成比例 。 )()( 0)1()1(1 iiii tptp