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华南农业大学理学院应用数学系 Probability 教师简介 李泽华：华南农业大学理学院统计系 联系方式： 手机： 13527813543 固定电话： 85280322 E-mail: 或 第一章 随机事件及其概率 第四章 随机变量的数字特征 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 二维随机变量及其分布 随机事件及其概率 第一章 随机事件 随机事件的概率 随机事件的公理化定义及其性质 条件概率和乘法公式 全概率公式与 Bayes公式 试验的独立性与独立试验概型 确定性现象 Certainty phenomena 在 101325 a的大气压下，将纯净水加热到 100 时必然沸腾 垂直上抛一重物，该重物会垂直下落 随机现象 Random phenomena 掷一颗骰子，可能出现 1， 2， 3， 4， 5， 6点 抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上 两种不同的结果 什么是概率论 概率论就是研究 随机 现象的统计规律性的数学学科 随机试验 Random Experiments 试验在相同的条件下可重复进行 每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可 以确定试验的所有可能结果 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪一种结果 上抛一枚硬币 在一条生产线上，检测产品的等级情况 向一目标射击 实例 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量 重复试验中具有某种规律性的事件叫做 随机事件 (random Events )，简称 事件 （ Events) 随机事件通常用大写英文字母、等表示 例如 ： 在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上”是 一 个随机事件，可用 正面向上 表示 掷骰子，“出现偶数点”是一个随机事件，试验 结果为 2， 4或 6点，都导致“出现偶数点”发生。 随机事件 random Events 基本事件与样本空间 仅含一个样本点的随机事件称为 基本事件 样本点 Sample Point 样本空间 Sample Space 基本事件 随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这 个试验的一个 样本点 ，记作 i 全体样本点组成的集合称为这个试验的 样本空间 ， 记作 即 12, , , ,n 含有多个样本点的随机事件称为 复合事件 = | 0 T E4: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命 E2: 射手向一目标射击，直到击中目标为止 E3: 从四张扑克牌 J,Q,K,A任意抽取两张 。 E1: 掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数 =1,2, =(J,Q),(Q,A) =1， 2， 3， 4， 5， 6 写出下列试验的样本空间 点数：一维离散型随机变量 射击次数：一维离散型随机变量 寿命：一维连续型随机变量 二维离散型随机变量 在随机试验中， 随机事件 一般是由若干个基本事 件组成的 A =出现奇数点是由三个基本事件 “出现 1 点”、“出现 3点” 、 “出现 5 点” 组合而成的 随 机事件 A 样 本空间 的任一子集 A称 为 随机事件 随机事件 （ Random Events) 例如，抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么 “出现 1点”、“出现 2点”、 .、“出现 6 点”为该 试验 的 基本事件 属于事件 A的样本点出现，则称 事件 A发生 。 特例 必然事件 Certainty Events 必然事件 样本空间 也是其自身的一个子集 也是一个“随机”事件 每次试验中必定有 中的一个样本点出现 必然发生 “抛掷一颗骰子，出现的点数不超过 6” 为 必然事件。 例 记作 特例 不可能事件 Impossible Event 空集 也是样本空间的一个子集 不包含任何样本点 不可能事件 也是一个特殊的“随机”事件 不可能发生 “抛掷一颗骰子，出现的点数大于 6”是 不可能事件 例 记作 随机试验：抛掷硬币 Tossing a coin 掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况 试验的样本点和基本事件 随机试验 样本空间 H：“正面向上” T ：“反面向上” =H， T 试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况 随机事件 =HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT A=“正面出现两次” =HHT,HTH,THH B=“反面出现三次” =TTT C=“正反次数相等” = D=“正反次数不等” = 随机试验：抛掷两颗骰子 Rolling two die 抛掷两颗骰子，观察出现的点数 随机试验 试验的样本点和基本事件 样本空间 （ 1， 1），（ 1， 2） ,（ 1， 3），（ 1， 4）， （ 1， 5），（ 1， 6）， .，（ 6， 1），（ 6， 2）， .，（ 6， 6） 随机事件 试验：抛掷两颗骰子，观察出现的点数 A=“点数之和等于 3” =（ 1， 2），（ 2， 1） B=“ 点数之和大于 11” =6， 6 C=“ 点数之和不小于 2” D=“ 点数之和大于 12” = = 事件的关系与运算 给定一个随机试验，设 为其样本空间，事件， ， Ak ( k =1 , 2 , 3 , . ) 都是 的子 集 事件 事件之间的关系与事件的运算 集合 集合之间的关系与集合的运算 事件发生必然导致事件发生 子事件 (事件的包含 Contain ） AB BA B A 事件的样本点都是事件的样本点 例如 抛掷两颗骰子，观察出现的点数 A=出现 1点 B=出现奇数点 事件是事件的 子事件 记作 AB 相等事件（ Equal） B A A B且 A=B B A 事件 A与事件 B含有相同的样本点 例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点” 与事件“出现 2， 4或 6点”是相等事件。 事件 A与事件 B至少有一个发生 AB A B 和事件 Union 12 1 n ni i A A A A = 12 1 ni i A A A A = 由事件 A与事件 B所有样本点组成 多个事件的和 和事件 AB 发生 A发生或 B发生 积事件 Intersection B A n 1i in21 AAAA 1i in21 AAAA 多个事件的积 由事件和事件的公共样本点组成 积事件 AB发生 事件和事件同时发生 互斥事件 (互不相容事件 ) Exclusive A B 事件 A与事件 B不能同时发生 事件 A与事件 B没有公共的样本 点 事件 A与事件 B互斥 AB= A AA ()AAAA A A 对立事件 Contrary 事件 A不发生 是由所有不属于 A的样本点组成 性质 cA记作 差事件 Difference A B 由属于事件 A但不属于事件 B的样本点组成 ,BABA 差事件 A-B发生 事件 A发生且事件 B不发生 性质 A B A A B 完备事件组 121 , , , nA A A（ ） 互不相容 122 nA A A （） 12, , , nA A A 完备事件组 1A 2A 3A 4A 概率论 集合论 样本空间（必然事件） 全集 不可能事件 空集 子事件 AB 子集 AB 和事件 AB 并集 AB 积事件 AB 交集 AB 差事件 A-B 差集 A-B 对立事件 补集 A A Venn图演示集合的关系与运算 事件之间的运算律 交换律 A B B A A B B A 结合律 ( ) ( )A B C A B C 分配律 ( ) ( ) ( )A B C A B A C )CA)(BA()BC(A 摩根律 BAAB BABA 某射手向目标射击三次，用 表示第 次 击中目标 iA i 试用 及其运算符表示下列事件 ： 1, 2, 3,i iA （ 1） 三次都击中目标： 1 2 3A A A （ 2） 至少有一次击中目标 ： 1 2 3A A A （ 3） 恰好有两次击中目标： 1 2 3 1 2 3 1 2 3A A A A A A A A A （ 4） 最多击中一次： 1 2 1 3 2 3A A A A A A （ 5） 至少有一次没有击中目标： 1 2 3 1 2 3A A A A A A （ 6） 三次都没有击中目标： 1 2 3 1 2 3A A A A A A 例：复合事件的表示 A,B,C为同一样本空间的随机事件， 试用 A， B， C的运算表示下列事件 1） A， B， C 都不发生 2） A与 B发生， C不发生 3） A， B， C 至少有一个发生 4） A， B， C 中恰有二个发生 5） A， B， C 中至少有二个发生 6） 事件 3）的对立事件 ABC A B C ABC A B C A B B C A C A B C A B C A B C A B C
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