函数的傅里叶级数展开.ppt

1. 函数的傅里叶级数展开 一 .傅里叶级数的引进 在物理学中 ,我们已经知道最简单的波是谐波 (正弦波 ), 它是形如 的波 ,其中 是振幅 , 是角频率 , 是初相位 .其他的波如矩形波 ,锯形波等往往都可以用一 系列谐波的叠加表示出来 .这就是说 ,设 是一个周期为 的波 ,在一定条件下可以把它写成 其中 是 阶谐波 , 我们称上式右端的级数是由 所确定的 傅里叶级 数 tA sin A tf T 1 0 s i n n nn tnAAtf 1 0 s inc os n nn tnbtnaA tnbtnatnA nnnn s i nc o ss i n n T 2 tf 二 . 三角函数的正交性 设 是任意实数 , 是长度为 的区间 ,由于三 角函数 是周期为 的函数 ,经过简单计算 , 有 利用积化和差的三角公式容易证明 还有 c 2, cc 2 kxkx sin,co s 2 ,2,1 ,0s ins in ,0c osc os 2 2 0 2 2 0 k k x dxk x dx k x dxk x dx c c c c 1 ,2,1; 0c osc os 0s i ns i n 0c oss i n 2 2 2 llk l x dxkx l x dxkx l x dxkx c c c c c c 2 我们考察三角函数系 其中每一个函数在长为 的区间上定义，其中任何 两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零 ， 而每个函数自身平方的积分非零 。我们称这个 函数系在长为 的区间上 具有正交性 。 ,2,1 21 s in 2 2c o s1 c o sc o s 2 2 2 2 2 2 0 2 0 22 k dx k x d x dx kx k x d xk x d x c c c c c c 3 ,s in,c o s,2s in,2c o s,s in,c o s,1 nxnxxxxx 2 2 2,1见 3见 三、 傅里叶系数 设函数 已展开为全区间设的一致收敛的三角级 数 现在利用三角函数 系数的正交性来研究系数 与 的 关系。将上述展开式沿区间 积分，右边级数可 以逐项积分，由 得到 即 又设 是任一正整数，对 的展开式两边乘以 沿 积分，由假定，右边可以逐项积分，由 和 ，得到 xf kxbkxaaxf k k k s i nc os2 1 0 ,2,1, 0 kbaa kk xf , 1 00 22 aadxxf dxxfa 10 n xf nxcos , 2,1 3 即 同样可得 因此得到欧拉 -傅里叶公式 nn k kk anx dxa nx dxkxbnx dxkxanx dx a nx dxxf 2 1 0 c os c oss inc osc osc os 2 c os nx dxxfa n c o s1 n x d xxfb n s in1 ,2,1,0s in1 kk x d xxfb k ,2,1,0c o s1 kk x d xxfa k 自然，这些系数也可以 沿别的长度为 的区间来积 分。 以上是在 已展开为一致收敛的三角级数的假定 下得到系数的表达式的。然而从欧拉 -傅里叶公式的形 式上看，只要周期为 的函数 在区间 上 可积和绝对可积（如果 式有界函数，则假定它是 可积的。这时它一定式绝对可积的；如果 是无界 函数，就假定他是绝对可积，因而也是可积的，这样， 不论在哪一种情形，都是可积和绝对可积了），就可 以按欧拉 -傅里叶公式来确定所有的数 ，从而作 出三角级数 2 xf 2 xf , xf xf kk ba , 1 0 s i nc os 2 k kk kxbkxa a 我们称这级数是 关于三角函数系 的傅里叶级数，而 称为 的 傅里叶系数 ，记为 xf ,s in,c os,1 xx kk ba , xf 1 0 s i nc os 2 k kk kxbkxa axf 四、收敛判别法 傅里叶级数的收敛判别法 。设函数 在 上可 积和绝对可积 若 在 点的左右极限 和 都存在，并 且两个广义单侧导数 都存在，则 的傅里叶级数在 点收敛。当 是 的连续点时它收敛与 ，当 是 的间断点（一 定是第一类间断点）时收敛于 xf , 1 0 s i nc os 2 k kk kxbkxa axf xf x 0 xf 0 xf x xfxxf x xfxxf xx 0lim,0lim 00 xf x x xf xf x xf 0021 xfxf 例 1 在 上展开函数 为傅里叶级数。 例 2 在 上展开函数 为傅里叶级数。 例 3 在 上展开 为傅里叶级数。 , xxf , xc xcxf 0, 0, 2 1 2,0 xxf 例 4 将 在 上展开为余弦级数。 例 5 将以下函数展开为正弦级数 xxf ,0 lx x l x xf 2 1 ,0 2 1 0,s in 五、傅里叶级数的复数形式 傅里叶级数的 阶谐波 可 以用复数形式表示。由欧拉公式 得 如果记 那么上面 的傅里叶级数就化成一个简洁的形式 n ,2,1s inc o s ntnbtna nn iiii ii ee i ee i ee 22 1 s i n 2 1 c os 1 0 s i nc os 2 n nn tnbtna a 1 0 222 n tinnntinnn eibaeibaa ,2,1,00 ncibacibaca nnnnnn 这就是傅里叶级数的复数形式， 为复振幅 ， 与 是一对共轭复数 tin n nec 2 1 nc nc nc 六、收敛判别法的证明 1、狄利克雷积分 为了研究傅里叶级数的收敛性问题，我们必须把傅 里叶级数的部分和表示为一个特定形式的反常积 分 狄利克雷积分。 设 在 上可积和绝对可积，它的傅里叶级数 为 其中 xf , 1 0 s i nc os 2 k kk kxbkxa axf ,2,1,0c o s1 kk td ttfa k ,2,1,0s in1 kk td ttfb k 傅里叶级数的部分和 由三角公式 当 ，有公式 1 0 s i nc os 2 k kkn kxbkxa axfS dtkxktkxkttf n k 1 s ins inc o sc o s211 dtxtktf n k 1 c o s211 2 12s inc o s2c o sc o s212s in2 nn 02sin 2 s i n2 2 12 s i n c os2c osc os 2 1 n n 当 时把右边理解为 时的极限值，值一等式 也就成立。把它应用到 的表达式中，得到 经过验证知道，被积函数是 的周期为 的函数，可 以把积分区间换为 ，因此 作代换 ，得 0 0 xfSn dt xt xt n tfxfS n 2 s in2 2 12 s in1 t 2 xx , dt xt xt n tfxfS x xn 2 s i n2 2 12 s i n1 uxt du u u n uxfxfS n 2 s in2 2 12 s in1 du u u n uxf 2 s in2 2 12 s in 1 0 0 du u u n uxfuxf 2 s in2 2 12 s in1 0 上面 的几种积分表达式都称为 狄利克雷积分。 xfSn 2、黎曼引理 黎曼引理 设函数 在区间 上可积和绝对可积， 那么以下的极限式成立 局部性定理 函数 的傅里叶级数在 点的收敛和发 散情况，只和 在这一点的充分领近区域的值有关。 u ba, 0c o slim,0s inlim p u d uup u d uu bapbap xf x xf 3、迪尼判别法及其推论 迪尼定理（迪尼判别法） 设能取到适当 ，使由函 数 以及 点所作出的 满足条件：对某正数 ，使在 上， 为可积 和绝对可积，那么 的傅里叶级数在 点收于 。 利普希茨判别法 （地理判别法的一个推论） 如果函数 在 点连续，并且对于充分小的正数 在 点的利普希茨条件 成 立，其中 皆是正数，且 ，那么 的傅里 叶级数在 点收敛于 ，更一般地，如果对于充 分小的 成立 s xf x suxfuxfu 2 h h,0 uu xf x s xf x ux huLuxfuxf 0 ,L 1 xf x xf u Luxfuxf 0 同前，那么 的傅里叶级数在 点收敛于 一个重要推论 如果 在 点有有限导数 ，或是有两个单 侧的有限导数 ,L xf x 2 00 xfxf xf x xf u xfuxf xf u xfuxf xf u u 0 0 lim lim 甚至只是有更一般的有限导数 那么 的傅里叶级数在 点收敛于 或 因为这时对于函数 在 点的 的利普希茨条 件是成立的。 u xfuxf u xfuxf uu 0lim,0lim 00 xf x xf 2 00 xfxf xf x 1 七、傅里叶级数的性质 一、一致收敛性 1设周期为 的可积和绝对可积函数 在比 更宽的区间 上有有限导数 ，那么 的傅里叶级数在区间 上一致收敛于 。 2设周期为 的可积和绝对可积函数 在比 更宽的区间 上连续且为分段单调函数，那 么 的傅里叶级数在区间 上一致收敛于 。 2 xf ba, ba , xf xf ba, xf 2 xf ba, ba , xf ba, xf 二，傅里叶级数的逐项求积和逐项求导 设 是 上分段连续函数，它的傅里叶级数 是 我们并不假定右端级数的和是 甚至也不假定它收 敛，然而它却可以逐项积分，设 和 是 上任 意两点，则有 三，最佳平方平均逼近 设 是任意一个 次三角多项式 xf , 1 0 s i nc os 2 n nn nxbnxa axf xf c x , 1 0 0 0 s i nc os2 n x nn x dtntbntacxadttf xTn n n k kkn kxBkxA AxT 1 0 s i nc os 2 其中 都是常数。又设 是 上可积和平方可积函数，称 是用三角多项式 在平方平均意义下逼近 的 偏差。 设 的傅里叶级数是 我们并不假定右端的级数是否收敛以及是否收敛于 ，但它的 次部分和 是 的最佳平方平均逼近，亦即对任何 次三角多 项式 ，都有 ,2,1,0 kBAA kk xf , dxxTxfTf nn 22 2 1, xTn xf xf 1 0 s i nc os 2 n nn nxbnxa axf xf n 1 0 s i nc os 2 k kkn kxbkxa axS xf n xTn nn TfSf , 22