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平均数、标准差与变异系数 第一节 平均数 平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明 资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数 主要包括有： 算术平均数 （ arithmetic mean） 中位数 （ median） 众数 （ mode） 几何平均数 （ geometric mean） 调和平均数 （ harmonic mean） 一、算术平均数 算术平均数 是指资料中各观测值的总和除 以观测值个数所得的商，简称 平均数或均数 ， 记为。 算术平均数可根据样本大小及分组情况而 采用直接法或加权法计算。 （三）平均数的基本性质 1、样本各观测值与平均数之差的和为零， 即 离均差之和等于零 。 或简写成 0)( 1 xx n i i 0)( xx 式中， N表示总体所包含的个体数。 当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参 数时，则称此统计量为该总体参数的 无偏估计量 。 统计学中常用样本平均数（ ）作为总体平均 数（ ）的估计量，并已证明样本平均数是总体平 均数 的无偏估计量。 x 二、中位数 将资料内所有观测值从小到大依次排列，位 于中间的那个观测值，称为中位数，记为 Md。 当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观 测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料 呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。 中位数的计算方法因资料是否分组而有所不 同。 三、几何平均数 n 个观测值相乘之积开 n 次方所得的方 根，称为 几何平均数 ，记为 G。它主要应用于畜 牧业、水产业的生产动态分析，畜禽疾病及药 物效价的统计分析 。 如畜禽 、水产养殖的 增 长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的 潜伏期等，用几何平均数比用算术平均数更能 代表其平均水平。其计算公式如下： n n n n xxxxxxxxG 1 )( 321321 为了计算方便，可将各观测值取对数后相 加除以 n，得 lgG，再求 lgG的反对数，即得 G 值，即 )lglg(l g 1lg 21 1 nxxxnG 四、众 数 资料 中出现次数最多的那个观测值或次 数最多一组的组中值，称为众数，记为 M0。 五、调和平均数 资料中各观测值倒数的 算术平均数 的倒 数，称为调和平均数 ，记为 H，即 （ 3 8） 调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的 平均增长率或畜群不同规模的平均规模。 xnxxxn nH 111111 1 )( 1 21 对于同一资料： 算术平均数 几何平均数 调和平均数 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。 第二节 标准差 一、标准差的意义 用平均数作为样本的代表，其代表性的强 弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅 用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全 面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程 度大小的统计量。 全距（极差） 是表示资料中各观测值变异 程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了 资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资 料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料 很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时， 可以利用全距这个统计量。 为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变 异程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为标准， 求出各个观测值与平均数的离差，（ ） ， 称为 离均差 。 虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的 性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均 差之和 为零，即（ ） = 0 ，因 而 不 能 用离均差之和 （ ）来 表 示 资料中所有 观测值的总偏离程度。 xx xx xx 为了解决离均差有正 、有负，离均差之 和为零的问 题 ， 可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数 n 求 得 平 均 绝 对 离差，即 | |/n。虽然平均绝对离差可以表示资 料中各观测值的变异程度 ，但由于平均绝对 离差包含绝对值符号 ，使用很不方便，在统 计学中未被采用。 xx 我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均 差有正、有负，离均差之和为零的问题。 先将各 个离 均差平方，即 ( )2 ，再求 离均 差平方和 ， 即 ，简称 平方和 ，记为 SS； 由 于 离差平方和 常 随 样 本 大 小 而 改 变 ，为 了 消 除 样 本大小 的 影 响 ， 用平方和 除 以 样 本 大 小， 即 ，求出离均差平方和的平均数 ； xx 2)( xx nxx /)( 2 为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏 估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均 数时，分母不用样本含量 n，而用自由度 n-1， 于是，我们 采 用统计量 表示资料 的变异程度。 统计量 称 为 均 方 （ mean square缩写为 MS） ,又称 样本方差 ， 记为 S2，即 S2= 1/)( 2 nxx 1/)( 2 nxx 1/)( 2 nxx 相应的总体参数叫 总体方差 ， 记为 2。对于有限总体而言， 2的 计算公式为： Nxx /)( 22 由于 样本方差 带有原观测单位的 平方 单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异 程度而不作其它分析时 ， 常需要与平均数 配合使用 ，这 时应 将平方单位还原，即应 求出样本方差的平方根。统计学上把样本方 差 S2 的平方根叫做 样本标准 差 ，记为 S， 即： 1 )( 2 n xx S 由于 所以（ 3-11）式可改写为： （ 3-12） )2()( 222 xxxxxx 22 2 xnxxx 2 2 2 )()(2 n xn n xx n xx 22 )( 1 2)( 2 n x S n x 相应的总体参数叫 总体标准差 ，记 为 。对于有限总体而言， 的计算公式 为： （ 3-13） 在统计学中，常用样本标准差 S估计 总体标准差 。 Nx /)( 2 标准差的特性 （一） 标准差的大小，受资料中每个观测值的影 响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则 小。 （二） 在计算标准差时，在各观测值加上或减去 一个常数，其数值不变。 （三） 当每个观测值乘以或除以一个常数 a，则所 得的标准差是原来标准差的 a倍或 1/a倍。 （四） 在资料服从正态分布的条件下，资 料中约有 68.26%的观测值在平均数左右一 倍标准差（ S）范围内；约有 95.43% 的观测值在平均数左右两倍标准差（ 2S） 范围内；约有 99.73%的观测值在平均数左 右三倍标准差（ 3S） 范 围内。也就是 说全距近似地等于 6倍标准差，可用（全距 /6） 来粗略估计标准差。 x x x 第三节 变异系数 变异系数是衡量资料中各观测值变异 程度的另一个统计量 。 标 准差与平均数的比值称为 变异系数 ， 记为 CV。 变异系数可以消除单位 和 （或）平 均数不同对两个或多个资料变异程度比较 的影响。 变异系数的计算公式为： （ 3 15） %1 0 0 x SVC 注意，变异系数的大小，同时受平均数和 标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系 数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标 准差也列出。