《数字电路基础》PPT课件.ppt

第 5章 数字电路基础 本章主要内容 (1) 进位计数制 (2)不同进位制数之间的转换 (3) 二进制数的算术运算和逻辑运算 (4)数据在计算机中的表示形式 (5) 逻辑代数的基本原理与应用 5.1 进位计数制 计算机中全部信息（包括指令和数据）都是采用二进制数， 为了书写方便，又经常采用十六进制。人们在日常生活中又 广泛采用十进制。 二进制、十六进制、十进制都是进位计数制。 5.1.1 进位计数制及其基数和权 进位计数制：用一组固定的数字符号和特定的规则表 示数的方法。 基数和权 在进位计数制中，一种进位制所允许选用的基本数 字符号的个数称为这种进位制的 基数 。 同一个数字符号处在不同的数位时，它所代表的数 值是不同的，每个数字符号所代表的数值等于它本 身乘以一个与它所在数位对应的常数，这个常数叫 做位权，简称 权 （ weight）。 不同进位制的基数不同 十进制：基数 10，数字符号 0 9 二进制：基数 2，数值符号 0， 1 同一进制，不同数位其权值不同。 5.1.2 几种常用的进位计数制 十进制 任何一个十进制数，都可以用一个多项式来表示： 等式右边的表示形式，称为十进制数的 多项式表示法， 也叫按权展开式 ； 等号左边的形式，称为十进制的位置记数法。位置记 数法是一种与位置有关的表示方法，同一个数字符号 处于不同的数位时，所代表的数值不同，即其权值不 同。 2 1 0 1 23 1 2 .2 5 3 1 0 1 1 0 2 1 0 2 1 0 5 1 0 二进制 二进制数的基数为 2，即它所用的数字符号个数只有两 个（ 0和 1）。它的计数进位规则为 逢二进一 。 二进制数只有两种数字符号，因而便于数字系统与电 子计算机内部的表示与存储。 它的另一个优点是运算规则的简便性，而运算规则的 简单，必然导致运算电路的简单以及相关控制的简化 。 八进制 八进制数的基数 R 8，每位可能取八个不同的数字符 号 0 7中的任何一个，进位规则是“逢八进一”。 1位八进制对应 3位二进制 八进制： 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 二进制： 000， 001， 010， 011， 100， 101， 110， 111 十六进制 十六进制数的基数 R 16，每位用十六个数字符号 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 A、 B、 C、 D、 E、 F中 的一个表示，进位规则是“逢十六进一”。 与二进制转换时候，其每位对应 4位二进制数。 在编程时，为了书写方便，常用十六进制表示。 5.2 不同进位制数之间的转换 5.2.1 二进制数转换为十进制数 按权展开，例如 (101015.101)2 (25 23 21 20 2-1 2-3)10 (32 8 2 1 0.5 0.125)10 (43.625)10 同样的方法也可将八进制数转换为十进制数。 这种用以实现数制转换的方法，称为多项式替代法。 5.2.2 十进制数转换为二进制数（整数部分） 十进制数转换为二进制数：除 2取余，例如十进制数 29 的转换。 2 9 2 1 4 余数 1 （ B0 ） 7 2 2 3 2 1 2 0 余数 0 （ B1 ） 余数 1 （ B2 ） 余数 1 （ B3 ） 余数 1 （ B4 ） 29D=11101B 采用“除 8取余”或“除 16取余”的方法，即可将一个 十进制整数转换为八进制整数或十六进制整数。 这种数制转换的方法称为基数除法或“除基取余”法。 可概括为：“除基取余，直至商为 0，注意确定高、低 位”。 5.2.2 十进制数转换为二进制数（小数部分） 十进制小数转换为二进制小数 ： 乘 2取整 例 5.1 把 0.625转换成二进制数 把 0.625乘 2取整 0.625 2 5.250 B-1=1 0.25 2 0.50 B-2=0 0. 5 2 5.0 B-3=1 0.625=0.101B 在十进制小数转换成二进制小数时，整个计算过程可能 无限地进行下去，这时，一般考虑到计算机实际字长的 限制，只取有限位数的近似值就可以了。 上述这种数制转换方法称为基数乘法或“乘基取整”法。 可概括如下：“乘基取整，注意确定高、低位及有效位 数。” 如果一个数既有整数部分又有小数部分，则用前述 的“除基取余”及“乘基取整” 结合求解。 5.2.3 任意两种进位制数之间的转换 为实现任意两种进位制数之间的转换（例如从 P进制转 换成 R进制），可以用“基数乘除法”或“多项式替 代法”直接从 P进制转换成 R进制，此时如果熟悉 P进 制的运算规则就可以采用“基数乘除法”；如果熟悉 R进制的运算规则就采用“多项式替代法”。 有时可能对 P进制与 R进制的运算规则都不熟悉，那么 一种方便的方法就是利用十进制作桥梁。 首先将其转换为十进制，这里采用“多项式替代法”， 然后将转换为所需目标进制，这里采用“基数乘除 法”。 5.3 二进制的算术运算与逻辑运算 加法运算规则：逢二进一 减法运算规则：借一当二 乘法运算规则： 0 0 0, 0 1 0 , 1 0 0 ,1 1 1 例如： 1101x1010=1101110 二进制的乘法可以归结为： “加”与“移位” 除法运算：乘法的逆运算 以二进制的乘法及减法规则实现 逻辑运算： 或（逻辑加）、与（逻辑乘）、非（逻辑反）、异或（模 2加） 移位运算 逻辑左移： 将操作数的所有位同时左移，最高位移出原操作 数之外，最低位补 0。逻辑左移一位相当于无符号数乘 2。 例 如，将 01100101逻辑左移一位后变成 11001010，相当于 （ 101） 10 2 202 。 逻辑右移： 将操作数的所有位同时右移，最低位移出原操作数 之外，最高位补 0。逻辑右移一位相当于将无符号数除以 2。例 如，将 10010100逻辑右移一位后变成 01001010，相当于 148 2 74 。 循环左移： 将操作数的所有位同时左移 ， 并将移出的 最高位送到最低位 。 循环左移的结果不会丢失被移动 的数据位 。 例如 ， 将 10010100循环左移一位后变成 00101001。 循环右移 ：将操作数的所有位同时右移 ， 并将移出的 最低位送到最高位 。 它也不会丢失被移动的数据位 。 例如 ， 将 10010100循环右移一位后变成 01001010。 算术移位 算术移位是把操作数当作带符号数进行移位，所以在 算术移位中，必须保持符号位不变 。否则将发生溢出。 与逻辑移位类似，算术移位可分为 算术左移、算术右 移、循环左移和循环右移 。循环左移和循环右移的操作 与前述逻辑移位时的情况相同，都是不丢失移出原操作 数的位，而将其返回到操作数的另一端。 5.4 数据在计算机中的表示形式 电子计算机实质上是一个二进制的数字系统，在机器 内部，二进制数总是存放在由具有两种相反状态的存储 元件构成的寄存器或存储单元中，即二进制数码 0和 1是 由存储元件的两种相反状态来表示的。 另外，对于数的符号（正号 和负号 ）也只能 用这两种相反的状态来区别。也就是说，只能用 0或 1来 表示。 5.4.1 机器数与真值 例 1. 正二进制数 N1=+1011001， 在计算机中可表示为： 0 1 0 1 1 0 0 1 符号位 数值位 2. 负二进制数 N1=-1011001， 在计算机中可表示为： 1 1 0 1 1 0 0 1 符号位 数值位 定义：一个数（连同符号）在机器中加以数码化后的表示形式， 称为 机器数 ；而把机器数所代表的实际值称为机器数的 真值 。 5.4.2 几种常见的机器数形式 1. 原码 数码序列中的最高位为符号位，符号位为 0表示该数为 正数，为 1表示该数为负数；其余有效数值部分则用二 进制的绝对值表示。 例如： 真值 x x原 0.1001 0.1001 0.1001 5.1001 1001 01001 1001 11001 0 的原码有两种表示， 以定点小数为例 + 0原 = 0.000 0000 0原 = 1.000 0000 原码表示简单直观，但运算时符号位与数值位要区 别对待， 在原码表示中，符号位不是数值的一部分， 它们仅是人为约定（ 0为正， 1为负 ），所以符号位 在运算过程中需要单独处理，不能当作数值的一部分 直接参与运算 。 2.补码 定点小数补码定义如下： 若定点小数的补码序列为 X0 . X1 Xn ，则 式中， x 代表真值， 为补码表示的机器数 。 若定点整数的补码序列为 ，则 正数的补码是其自身；负数的补码是用模数加上该负 数。 0的补码只有一种表示； 从原码转换为补码的变化规律为： 符号位保持不变 （仍为 1），其他各位求反，然后末位加 1，简称 求 反加 1。 例 5.2 x 0.1010，则 x原 0.1010， x补 0.1010 例 5.3 x 0.1010，则 x原 1.1010， x补 1.0110 容易看出，当 x0时，若把 x补 除符号位外 求反加 1 ，即可得到 x原 。也就是说，对一个补码表示的数， 再次求补，可得该数的原码。 3.反码 定点小数反码定义如下： 若定点小数的 反 码序列为 X0 . X1 Xn ,则 式中， x代表真值 ， x反 为补码表示的机器数 。 若定点整数的补码序列为 ，则 反码与原码相比 ， 两者的符号位一样 。 即对于正数 ， 符 号位为 0；对于负数 ， 符号位为 1。 在数值部分 ， 对于正 数 ， 反码的数值部分与原码按位相同；对于负数 ， 反码 的数值部分是原码的按位求反 。 0的反码有两种表示 ， 分别为全 0或者全 1。 由原码表示容易得到相应的反码表示 。 例如： x 0.1001， x原 0.1001， x反 0.1001 x 0.1001， x原 1.1001， x反 1.0110 原码、反码、补码之间的转换 转换规则如下图所示： 4. 移码 设定点整数移码形式为 ，则 其中 式中 x为真值， x移 为其移码。 把真值 x在数轴上向正方向平移 单位，移码由此得 名。又叫增码。 移码特点： 1） 移码是把真值映射到一个正数域，因此移码的大小 可以直观地反映真值的大小。无论是正数还是负数， 用移码表示后，可以按无符号数比较大小。 2） 移码的数值部分与相应的补码各位相同，而符号位 与补码相反。在移码中符号位为 0表示真值为负数，符 号位为 1表示真值为正数。 3） 移码为全 0时，它对应的真值最小 。 4） 真值 0在移码中的表示是唯一的，即： 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0n 移 四种机器数的比较和小结 原码 、 补码 、 反码和移码均是计算机能识别的机器数 ， 机器数与真值不同 ， 它是一个数 （ 连同符号 ） 在计算机 中加以数码化后的表示形式 。 正数的原码 、 补码和反码的表示形式相同 ， 负数的原码 、 补码和反码各有不同的定义 ， 它们的表示形式不同 ， 相互之间可依据特定的规则进行转换 。 四种机器数形式的最高位均为符号位 。 原码 、 补码和 反码表示中 ， 为 0表示正数 ， 为 1表示负数；在移码表 示中 ， 为 0表示负数 ， 为 1表示正数 。 原码 、 补码和反码既可用来表示浮点数中的尾数 ， 又 可用来表示其阶码；而移码则主要用来表示阶码 。 0在补码和移码表示中都是唯一的 ， 0在原码和反码表 示中都有两种不同的表示形式 。 5.4.3 二 -十进制编码 用几位二进制码来表示一位十进制数的方法称为十进 制数的二进制编码，简称 BCD码 (Binary Code Decimal)。 常见的 BCD码有 8421码、余 3码、格雷码等。平常说到 BCD码，通常指的是 8421码。 1. 有权码和无权码的概念 有权码： 代码中的各位有固定的权值（如 8421码）。 无权码： 只依靠某种规则进行编码（如“相邻代码只 有一位不同”、“五中取二”等），而代码中的各位 并无权值的大小）。 2. 组合 BCD码和分离 BCD码 组合 BCD码 (packed BCD)： 每个字节存放两个十进制 数字。 例如， (9502)10的组合 BCD码格式为： 1001 0101 0000 0010 分离 BCD码 (unpacked BCD)： 每个字节存放一个十进 制数字（占低四位，高 4位无关紧要） 5.6 逻辑代数的基本原理及应用 5.6.1 逻辑代数的基本概念 逻辑代数的特点： 变量只能有“ 0”和“ 1”两种取值（ “ 0”和“ 1”表示 两种对立状态的符号）。 变量之间的运算关系为“与”、“或”、“非”三种基本 逻辑运算。 1. 基本逻辑运算 (1) “或”运算（逻辑加，逻辑和；运算符号 +， V） A B C = A + B 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A B C 真值表： 列出输入变量的全部可能取值及对应输出值所形成的 表格，叫真值表 （ Truth Table） ， 也称全值表。 真值表是进行逻辑等式证明的基本工具。 (2) “与”运算（逻辑乘，逻辑积； 运算符号 ） A B C = A B 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 A B C (3) “非”运算（运算符号 ， ） A C = 0 1 1 0 A 2. 逻辑函数的相等 设有两个逻辑函数： 如果对应于逻辑变量 A1,A2,A n的任何一组取值的 F1 和 F2都相等，则称 F1 F2。 即，如果 F1和 F2有相同的真值表，则 F1 F2； 反之， 若 F1 F2， 则它们的真值表一定相同。 这就告诉我们， 可以用真值表法证明逻辑等式 。 1 1 21 2 1 22 ( , , . , ) ( , , . , ) n n fF A A A fF A A A 例 5.4 设 证明： 列出 F1和 F2的真值表如下： 1 2 1 2= A + A B , = A + B , =F F F F试证： A B 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1= A + A BF 2=A +BF 由表可见， F1 F2 5.6.2 逻辑代数的基本公式 利用前面给出的“与”、“或”、“非”运算规则及真 值表证明方法，可以得到逻辑代数的一组基本公式： 0 1律： 0 + A = A 1 + A = 1 1 A = A 0 A = 0 互补律： 重迭律： 交换律： A + A = 1A A = 0 A + A = A A A = A A + B = B + A A B = B A 结合律： 分配律： 吸收律： ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = A B + A C A + B C = ( A + B ) ( A + C ) A + A B = A A + A B = A + B A ( A + B ) = A A ( A + B ) = A B 反演律： 包含律： 对合律： A +B =A B A B =A +B A B + A C + B C = A B + A C ( A + B ) ( A + C ) ( B + C ) = ( A + B ) ( A + C ) A=A 5.6.3 逻辑代数的三个重要规则 1 代入规则 “ 任何一个含有变量 A的等式 ， 如果将所有出现 A的位 置都代之以同一个逻辑函数 F， 则此等式仍然成立 ” ， 称这一规则为 代入规则 。 因为任何一个逻辑函数也和任一个逻辑变量一样 ， 只 有 0和 1两种取值 ， 所以上述规则显然是成立的 。 有了代入规则 ， 就可以将前面已推导出的等式中的变 量用任意的逻辑函数代替 ， 从而扩大了等式的应用范 围 。 例 5.5 已知 A+A*=1， 而函数 F=BC， 将等式中的 A代之以 F=BC， 则有 BC+(BC)*=1。 值得注意的是 ， 在使用代入规则时 ， 一定要把等式中所 有出现某个变量 (例如 A)的地方 ， 都代之以同一个逻辑函 数 。 否则 ， 代入后所得新的等式不能成立 。 2. 反演规则 “ 设 F为一个逻辑函数表达式 ， 如果将 F中所有的 变 + ， +变 ， 0变 1， 1变 0， 原变量变反变量 ， 反变量变原 变量 ， 那么所得到的新的逻辑函数表达式就是 F*。 这 就是反演规则 。 反演规则是反演律的推广应用 。 利用反演规则 ， 可以 方便地求出一函数的 “ 反 ” 。 例 5.6 已知 F=AB+C*D*， 根据反演规则可得： F*=(A*+B*)(C+D) 3.对偶规则 下面先给出对偶式的定义： 设 F是一个逻辑函数表达式 ， 如果将 F中所有 变 +， +变 ， 1变 0 ， 0变 1， 而变量保持不变 ， 那么就得到一个新的 逻辑函数表达式 F， 则称 F为 F的对偶式 。 例 5.7 如 F=A(B+C*) 则 F=A+BC* 如 F=(A+B)(A*+C)(C+DE) 则 F=AB+A*C+C(D+E) 从上面的例子可以看到 ， 如果 F的对偶式是 F， 那么 F的 对偶式就是 F， 即 F和 F互为对偶式 。 对偶规则： 如果两个逻辑函数表达式 F和 G相等 ， 那么它 们的对偶式 F和 G也相等 。 例 5.8 已知 A*B+AC+BC=A*B+AC， 则等式两端表达式 的对偶式也相等 ,即： (A*+B)(A+C)(B+C)=(A*+B)(A+C) 5.6.4 逻辑函数的代数化简法 1 “ 与或 ” 表达式的化简 所谓最简的 “ 与或 ” 表达式 ， 通常是指： (1) 表达式中的乘积项 (与项 )个数最少； (2) 在满足 (1)的条件下 ， 每个乘积项中变量个数最少 。 例 5.9 F =A B +B C +A C =A B +(A +B ) C ( =A B + A B C ( ) =A B +C ( ) 由分配律) 由反演律 由吸收律 例 5.10 F A B +A B +A B C D+A B C D =A ( B +B C D) +A ( B +B C D) =A ( B +C D) +A ( B +C D) =A B +A C D+A B +A C D =A B +A B +C D( A +A ) =A B +A B +C D 2 “ 或与 ” 表达式的化简 通过逻辑变量的逻辑加运算构成 “ 或 ” 项 ， 再通过 “ 或 ” 项的逻辑乘运算即可构成 “ 或与 ” 表达式 。 和 最简的 “ 与或 ” 表达式相对应 ， 一个 “ 或与 ” 表达 式是否为最简 ， 可由下述两条标准来衡量： (1) 表达式中的 “ 或项 ” 最少； (2) 在满足 (1)的条件下 ， 每个 “ 或 ” 项的变量个数最少 。 例 5.10 F=A(A+B)(A*+D)(B*+D)(A+C) =A(A*+D)(B*+D) =AD(B*+D) =AD 第 5章 作业 P149 5.1 5.2 5.3 5.7 5.12 5.16 5.17