拉普拉斯变换及反变换.ppt

第 1页 控制工程基础 黄河科技学院 拉普拉斯变换及反变换 一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义 t tf0ttf 0 ed stF s L f t f t t 如果有一个以时间 为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，那么 的拉普 拉斯变换定义为 补充 知识 重点 第 2页 控制工程基础 黄河科技学院 式中， s是复变数， js 0 ste sF sF tf tf tf sF （ 、 均为实数）， 称为拉普拉斯积分； 是函数 的拉氏变化，它是一个复变函数， 通常称 为 的象函数，而称 为 的原函数； L是表示进行拉氏变换的 符号。 第 3页 控制工程基础 黄河科技学院 )()( tfLsF )()( 1 sFLtf tf 拉氏变换是这样一种变换，即在一定的 条件下，它能把一实数域中的实变函数 sF 变换为一个在复数域内与之等价的 复变函数 。 第 4页 控制工程基础 黄河科技学院 1）、 典型函数的拉氏变换 0 00 )( tk t tf （ k =const） t t t )( tr 0 0 0 0 t R a 0 t )( t 0 t t t 0 0 )( tr （a ） 阶跃函数 （b ） 斜坡函数 （c ） 抛物函数 （d ） 脉冲函数 （e ） 单位脉冲函数 （f ） 正弦函数 k )( tf )( tf )( tf 1 s kdtketfLsF st 0 )()( 单位阶跃函数，记作 1( t ) 01 00 )(1 t t t stL 1)(1 （ 1）阶跃函数（位置函数） 第 5页 控制工程基础 黄河科技学院 （ 2）斜坡函数（又称速度函数） （ k =const） 0 00 )(1)( tkt t tkttf )( tf)( tf )( tf t t t )( tr 0 0 0 0 t R a 0 t )( t k 0 t t t 0 0 )( tr 1 （a ） 阶 跃函数 （b ） 斜 坡函数 （c ） 抛 物函数 （d ） 脉 冲函数 （e ） 单 位脉冲函数 （f ） 正 弦函数 20)()( s kdtk t etfLsF st 单位斜坡函数 0 00 )(1)( tt t tttf 2 1)( s sF 第 6页 控制工程基础 黄河科技学院 （ 3）抛物函数（又称加速度函数） （ k =const） 0 2 1 00 )(1 2 1 )( 22 tkt t tkttf )( tf)( tf )( tf t t t )( tr 0 0 0 0 t R a 0 t )( t k 0 t t t 0 0 )( tr 1 （a ） 阶 跃函数 （b ） 斜 坡函数 （c ） 抛 物函数 （d ） 脉 冲函数 （e ） 单 位脉冲函数 （f ） 正 弦函数 30 2 2 1)()( s kdtekttfLsF st 单位抛物函数 0 2 1 00 )(1 2 1 )( 22 tt t tttf 3 1)( s sF 第 7页 控制工程基础 黄河科技学院 （ 4）单位脉冲函数 0 00 )( t t t )( tf t )( tf 0 0 )( t t0 1 t e t e 1 t 1)()()( 0 dtetdtettL stst 重要性质 )0()()( fdttft 00 1)()( dttdtt 第 8页 控制工程基础 黄河科技学院 （ 5）指数函数 )( tf t )( tf 0 0 )( t t0 1 t e t e 1 t )(1 )(1 )( te te tf t t 0 s dteeeL sttt 1 0 指数增长函数 s dteeeL sttt 1 0 指数衰减函数 指数增长函数 指数衰减函数 第 9页 控制工程基础 黄河科技学院 )(1s i n)( tttf )( tf t )( tf 0 0 )( t t0 1 t e t e 1 t 220 )(2 1 s i n s dteee j tL sttjtj （ 6）正弦函数 （ 7）余弦函数 )(1c os)( tttf 220 )(2 1 c os s sdteeetL sttjtj 第 10页 控制工程基础 黄河科技学院 第 11页 控制工程基础 黄河科技学院 第 12页 控制工程基础 黄河科技学院 2、拉氏变换的运算法则 )()( sFetfL s )()()()( sbGsaFtbgtafL （ 1）线性定理 （ 2）延迟定理 )( tf t t )( tf 0 )( t t0 第 13页 控制工程基础 黄河科技学院 )()( )()( 0 )( 0 sFdtetf dtetfetfeL ts sttt )()( sFtfeL t （ 3）位移定理 第 14页 控制工程基础 黄河科技学院 （ 4）相似定理 )( 1 )( a s F a atfL （ 5）微分定理 )0()()( fssFtfL 第 15页 控制工程基础 黄河科技学院 微分定理推论 )0()0( )0()0()()( )1()2( 21)( nn nnnn fsf fsfssFstfL 0)0()0()0( )1( nfff 特别在零初始条件下 )()( )( sFstfL nn 第 16页 控制工程基础 黄河科技学院 （ 6）积分定理 0 00 )( 1 )( 1 )( t tt dttf s sF s dttfL )( 1 )( 0 sF s dttfL t )( 1 )( 0 0 sF s dttfL n t nt 当初始条件为零时 ， 则 第 17页 控制工程基础 黄河科技学院 （ 7）初值定理 )(lim)(lim 0 ssFtf st )(lim)0( ssFf s （ 8）终值定理 )(lim)(lim 0 ssFtf st )(lim)( 0 ssFf s 第 18页 控制工程基础 黄河科技学院 sF ds dttfL )(ttf （ 10） 象函数的积分性质 dssF t tf L s t tf )( （ 9）象函数的微分性质 的拉氏变换 的拉氏变换 第 19页 控制工程基础 黄河科技学院 （ 11）卷积定理 dtgftgtf )()()(*)( t dtgf 0 )()( )()()()()(*)( sFsGsGsFtgtfL 第 20页 控制工程基础 黄河科技学院 二、 拉氏反变换及其计算方法 jc jc st dsesF j sFLtf )( 2 1 )()( 1 式中 表示拉普拉斯反变换的符号 1L 1、 拉氏反变换 第 21页 控制工程基础 黄河科技学院 由象函数求原函数的方法： 方法一：利用拉氏反变换定义求 方法二：查拉氏变换表求解 方法三： 部分分式法 不常用解 对简单的象函数适用 象函数为有理分式函数时适用 2、 拉氏反变换的计算方法 第 22页 控制工程基础 黄河科技学院 应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的 一般步骤 ： （ 1）计算有理分式函数 F（ s）的极点； （ 2）根据极点把 F（ s）的分母多项式进行因 式分解、并进一步把 F（ s）展开成部分分式； （ 3）对 F（ s）的部分分式展开式两边同时进 行拉氏逆变换。 第 23页 控制工程基础 黄河科技学院 1）当解出 为单 根时，对 F(s) 作因式分解： i ps ),.,2,1( ni n n n ps k ps k ps k pspsps sN sF . . . . . . . 2 2 1 1 21 ipsii pssFk )( 其中 第 24页 控制工程基础 黄河科技学院 例 65 1)( 2 ss ssF 0652 ss 21 s 解： （ 1） F（ s） 的极点 32 s （ 2）对 F（ s） 的分母多项式进行因式分解、并把 F（ s） 展开 成部分分式 32)3)(2( 1 65 1)( 21 2 s c s c ss s ss ssF 1 )3)(2( 1)2( 21 sss ssc 2 )3)(2( 1)3( 32 sss ssc 第 25页 控制工程基础 黄河科技学院 3 2 2 1 65 1)( 2 ssss ssF （ 3）进行拉氏反变换 tt ee s L s L sFLtf 32 11 1 2 3 2 2 1 )()( 第 26页 控制工程基础 黄河科技学院 2）当解出 s有重根时，对 F(s)作因式分解： )()()()()()( 1 1 1 1 1 1 1 1 n n r r r r r r ps a ps a ps b ps b ps bsF 1)( 1 psrr pssFb 1 )( 11 psrr pssFdsdb 1 )(!1 1 psrj j jr pssFds d jb 1 )()!1( 1 11 1 1 ps r r r pssFdsdrb 其中 第 27页 控制工程基础 黄河科技学院 例 )3()2( 1)( 3 ss ssF 3)2()2(2)3()2( 1)( 4 3 3 2 21 3 s c s c s c s c ss ssF 1 )3( 1 2 3 ss s c 2)3( 1 22 ss s ds dc 2 )3( 1 2 1 22 2 1 ss s ds dc 解： 2 )3()2( 1)3( 334 sss ssc 第 28页 控制工程基础 黄河科技学院 3）当解出 s 有共轭复根时，对 F(s) 作因 式分解： n n ps a ps a psps asasF 3 3 21 21 )( )( 11 )( 2121 psps pspssFasa 第 29页 控制工程基础 黄河科技学院 例 )52( 1)( 2 sss ssF 52)52( 1)( 2 321 2 ss csc s c sss ssF 21 2 2 52 jssss 解： 两边同乘以 32 )21(21 121 cjc j j 5 1 2 c 5 3 3 c 5 1 )52( 1 021 ssss ssc 得 乘共轭 (-1-j2) 第 30页 控制工程基础 黄河科技学院 3)2()2(2)3()2( 1)( 4 3 3 2 21 3 s c s c s c s c ss ssF 3 2 )2( 1 )2( 2 2 2 )3()2( 1)( 323 ssssss ssF tt eett sLsLsLsLtf 3221 3 1 2 11 2) 2 122( 3 2 )2( 1 )2( 2 2 2)( tt eett sLsLsLsLtf 3221 3 1 2 11 2) 2 122( 3 2 )2( 1 )2( 2 2 2)( 第 31页 控制工程基础 黄河科技学院 52)52( 1)( 2 321 2 ss csc s c sss ssF 4)1( 4 4)1( )1( 4)1( 3 2 1 2 1 2 1 s L s sL s sL )2s i n (5)2s i n22c o s( tette tt 52 31 5 1 )52( 1)( 22 ss s ssss ssF 2 1tan 其中 第 32页 控制工程基础 黄河科技学院 te s s L s Ltf t 2s i n 5 5 5 1 41 3 5 11 5 1 2 11 第 33页 控制工程基础 黄河科技学院 用 MATLAB展开部分分式 p=1 -12 0 25 126 p = 1 -12 0 25 126 设： nn nn mm mm asasasa bsbsbsb sA sBsF 1 1 10 1 1 10 )( )()( 在 MATLAB中 ， 多项式通过系数行 向量表示 ， 系数按降序排列 。 如要输入多项式： x4-12x3+25x+126 第 34页 控制工程基础 黄河科技学院 用 num和 den分别表示 F(s)的分子和分母多项式， 即： num = b0 b1 bm den = a0 a1 an MATLAB提供函数 residue用于实现部分分式展 开，其句法为： r, p, k = residue(num, den) 其中， r, p分别为展开后的留数及极点构成的 列向量、 k为余项多项式行向量。 第 35页 控制工程基础 黄河科技学院 若无重极点， MATLAB展开后的一般形式为： )()()()2()1()1()1()( sKnps nrps rps rsF 若存在 q重极点 p(j)，展开式将包括下列各项： qjps qjr jps jr jps jr )( )1( )( )1( )( )( 2 第 36页 控制工程基础 黄河科技学院 例 ：求 的部分分式展开。 24503510 26523911)( 234 234 ssss sssssF num=1 11 39 52 26; den=1 10 35 50 24; r,p,k=residue(num,den) r = 1.0000 2.5000 -3.0000 0.5000 p = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000 k = 1 展开式为： 115.02335.241)( sssssF 第 37页 控制工程基础 黄河科技学院 例 ：求 的部分分式展开。 2795 6510)( 234 25 ssss ssssF num=1 0 0 10 5 6; den=1 5 9 7 2; r,p,k=residue(num,den) r = -4.0000 20.0000 -20.0000 10.0000 p = -2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 k = 1 -5 展开式为： 5)1( 10)1( 2012024)( 32 ssssssF 第 38页 控制工程基础 黄河科技学院 num, den = residue(r, p, k) 函数 residue 也可用于将部分分式合并，其句法为： r = 1 2 3 4; p = -1 -2 -3 -4; k = 0; num, den = residue(r, p, k) num = 10 70 150 96 den = 1 10 35 50 24 例 ： 24503510 961 5 07010)( 234 23 ssss ssssF 第 39页 控制工程基础 黄河科技学院 应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方 程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式； 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 第 40页 控制工程基础 黄河科技学院 原函数 （微分方程的解） 象函数 微分方程 象函数的 代数方程 拉氏反变换 拉氏变换 解 代 数 方 程 拉氏变换法求解线性微分方程的过程 第 41页 控制工程基础 黄河科技学院 解 ：对微分方程左边进行拉氏变换： )0()0()()( 22 2 ooo o xsxsXs dt txdL 实例 )()(6)(5)(2 2 txtxdt tdxdt txd iooo 设系统微分方程为： 若 xi (t) =1(t)，初始条件分别为 xo(0)、 xo(0)， 试求 xo(t)。 第 42页 控制工程基础 黄河科技学院 )0()0()5()()65( )(6 )( 5 )( 2 2 2 ooo o oo xxssXss tx dt tdx dt txd L 即： )0(5)(5)(5 ooo xssX dt tdxL )(6)(6 sXtxL oo 第 43页 控制工程基础 黄河科技学院 stLsXtxL ii 1)(1)()( 3232 65 )0()0()5( )65( 1 )( 21321 22 s B s B s A s A s A ss xxs sss sX ooo 对方程右边进行拉氏变换： sxxssXss ooo 1)0()0()5()()65( 2 从而： 第 44页 控制工程基础 黄河科技学院 6 1 065 1 21 sssA 2 1 2)3( 1 2 sssA 3 1 3)2( 1 3 sssA )0()0(3 23 )0()0()5( 1 oooo xxss xxsB )0()0(2 32 )0()0()5( 2 oooo xxss xxsB 第 45页 控制工程基础 黄河科技学院 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式 中，因此，不需要根据初始条件求积分常数 的值就可得到微分方程的全解。 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用 sn代替 dn/dtn得到。 由上述实例可见： 系统响应可分为两部分：零状态响应和零输 入响应 第 46页 控制工程基础 黄河科技学院 )0( )0()0(2)0()0(3 3 1 2 1 6 1 )( 32 32 texxexx eetx t oo t oo tt o )0 3 1 2 1 6 1)( 32 teetx tt o 3 )0()0(2 2 )0()0(3 3 31 2 2161)( s xxs xxssssX ooooo 所以： 查拉氏变换表得： 当初始条件为零时： 零状态响应 零输入响应