资源描述
专题一 第 5讲 第 5 讲 导数及其应用 【高考考情解读】 1 本讲主要考查导数的几何意义，导数的四则运算及利用导 数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等 . 2 常与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等 结合在一起考查，题型多样，属中高档题目 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 主干知识梳理 1 导数的几何意义 函数 y f ( x ) 在点 x x 0 处的导数值就是曲线 y f ( x ) 在点 ( x 0 ， f ( x 0 ) 处的切线的斜率，其切线方程是 y f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) 2 导数与函数单调性的关系 ( 1) f ( x ) 0 是 f ( x ) 为增函数的充分不必要条件，如函数 f ( x ) x 3 在 ( ， ) 上单调递增，但 f ( x ) 0. ( 2) f ( x ) 0 是 f ( x ) 为增函数的必要不充分条件，当函数在 某个区间内恒有 f ( x ) 0 时，则 f ( x ) 为常数，函数不具有 单调性 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 主干知识梳理 3 函数的极值与最值 (1) 函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是 对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题 (2) 函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而 函数的极值可能不止一个，也可能没有 (3) 闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不 一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最 值 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 主干知识梳理 4 四个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1) (sin x ) c os x . (2) (c os x ) sin x . (3) ( a x ) a x ln a ( a 0 ，且 a 1) (4) (log a x ) 1 x ln a ( a 0 ，且 a 1) (5) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) (6) f x g x f x g x f x g x g x 2 ( g ( x ) 0) 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 考点一 导数几何意义的应用 例 1 ( 1) 过点 ( 1,0) 作曲线 y e x 的切线，则切线方程为 _ ( 2) 在平面直角坐标系 x Oy 中，设 A 是曲线 C 1 ： y ax 3 1( a 0) 与曲线 C 2 ： x 2 y 2 5 2 的一个公共点，若 C 1 在 A 处的切线与 C 2 在 A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值是 _ _ 解析 ( 1) 设切点为 P ( x 0 ， ) ，则切线斜率为 ， 切线方程为 y ( x x 0 ) ， 又切线经过点 ( 1,0) ，所以 (1 x 0 ) ， 0ex 0ex 0ex 0ex 0ex 0ex 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 解得 x 0 2 ，切线方程为 y e 2 e 2 ( x 2) ， 即 e 2 x y e 2 0. ( 2) 设 A ( x 0 ， y 0 ) ，则 C 1 在 A 处的切线的斜率为 f ( x 0 ) 3 ax 20 ， C 2 在 A 处的切线的斜率为 1 k OA x 0 y 0 ， 又 C 1 在 A 处的切线与 C 2 在 A 处的切线互相垂直， 所以 ( x 0 y 0 ) 3 ax 2 0 1 ，即 y 0 3 ax 3 0 ， 又 ax 30 y 0 1 ，所以 y 0 3 2 ， 代入 C 2 ： x 2 y 2 5 2 ，得 x 0 1 2 ， 将 x 0 1 2 ， y 0 3 2 代入 y ax 3 1( a 0) ，得 a 4. 答案 ( 1) e 2 x y e 2 0 2) 4 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 ( 1) 求曲线的切线要注意 “ 过点 P 的切线 ” 与 “ 在点 P 处的切线 ” 的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点， 点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为 切点 ( 2) 利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、 切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间 的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之 间的关系，进而和导数联系起来求解 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 ( 1) 直线 y kx b 与曲线 y ax 2 2 ln x 相切于点 P ( 1,4) ，则 b 的值为 ( ) A 3 B 1 C 1 D 3 ( 2) 若曲线 f ( x ) x sin x 1 在 x 2 处的切线与直线 ax 2 y 1 0 互相垂直，则实数 a 等于 ( ) A 2 B 1 C 1 D 2 解析 ( 1) 由点 P ( 1,4) 在曲线上，可得 a 1 2 2 ln 1 4 ， 解得 a 2 ，故 y 2 x 2 2 ln x 所以 y 4 x 1 x . 所以曲线在点 P 处的切线斜率 k y | x 1 4 1 1 1 5. 所以切线的方程为 y 5 x b . 由点 P 在切线上， 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 得 4 5 1 b ，解得 b 1. ( 2) f ( x ) sin x x c os x ， f ( 2 ) 1 ， 即函数 f ( x ) x sin x 1 在点 x 2 处的切线的斜率是 1 ， 直线 ax 2 y 1 0 的斜率是 a 2 ， 所以 ( a 2 ) 1 1 ，解得 a 2. 答案 ( 1) C ( 2) D 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 考点二 利用导数研究函数的性质 例 2 ( 2013 广东 ) 设函数 f ( x ) x 3 kx 2 x ( k R) ( 1) 当 k 1 时，求函数 f ( x ) 的单调区间； ( 2) 当 k 0 ， f ( x ) 在 R 上单调递增 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 ( 2) 当 k 0 时， f ( x ) 3 x 2 2 kx 1 ，其图象开口向上，对称 轴 x k 3 ，且过 ( 0,1) 点 当 4 k 2 12 4( k 3 )( k 3 ) 0 ，即 3 k 0 ，即 k 3 时， 令 f ( x ) 0 得 x 1 k k 2 3 3 ， x 2 k k 2 3 3 ， 且 k x 2 x 1 0 ， m f ( k ) k ， 又 f ( x 2 ) f ( k ) x 32 kx 22 x 2 ( k 3 k k 2 k ) ( x 2 k ) ( x 2 k ) 2 k 2 1 0 ， M f ( k ) 2 k 3 k . 综上，当 k 0 或 f ( x )1 ，求 f ( x ) 在闭区间 0,2| a | 上的最小值 解 (1 ) 当 a 1 时， f ( x ) 6 x 2 12 x 6 ， 所以 f ( 2) 6. 又因为 f ( 2) 4 ，所以切线方程为 6 x y 8 0. ( 2) 记 g ( a ) 为 f ( x ) 在闭区间 0 , 2 | a | 上的最小值 f ( x ) 6 x 2 6( a 1) x 6 a 6( x 1) ( x a ) 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 令 f ( x ) 0 ，得到 x 1 1 ， x 2 a . 当 a 1 时， x 0 ( 0,1) 1 (1 ， a ) a ( a, 2 a ) 2 a f ( x ) 0 0 f ( x ) 0 单调 递增 极大值 3 a 1 单调 递减 极小值 a 2 (3 a ) 单调 递增 4 a 3 比较 f ( 0) 0 和 f ( a ) a 2 (3 a ) 的大小可得 g ( a ) 0 ， 1 3. 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 当 a 1 时， x 0 ( 0,1) 1 (1 ， 2 a ) 2 a f ( x ) 0 f ( x ) 0 单调递 减 极小值 3 a 1 单调递增 28 a 3 24 a 2 得 g ( a ) 3 a 1. 综上所述， f ( x ) 在闭区间 0,2| a | 上的最小值为 g ( a ) 3 a 1 ， a 1 ， 0 ， 1 3. 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 考点三 利用导数解决与方程、不等式有关的问题 例 3 ( 2013 陕西 ) 已知函数 f ( x ) e x ， x R. ( 1) 求 f ( x ) 的反函数的图象上点 ( 1,0) 处的切线方程； ( 2) 证明：曲线 y f ( x ) 与曲线 y 1 2 x 2 x 1 有唯一公共点； ( 3) 设 a b ，比较 f a b 2 与 f b f a b a 的大小，并说明理由 本题主要考查导数在解决方程、不等式问题等方 面的应用，构造函数是解决问题的关键 热点分类突破 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 ( 1) 解 f ( x ) 的反函数为 g ( x ) ln x, 设所求切线的斜率为 k ， g ( x ) 1 x ， k g ( 1) 1. 于是在点 ( 1,0 ) 处的切线方程为 x y 1 0. ( 2) 证明 方法一 曲线 y e x 与曲线 y 1 2 x 2 x 1 公共点的个 数等于函数 ( x ) e x 1 2 x 2 x 1 零点的个数 ( 0) 1 1 0 ， ( x ) 存在零点 x 0. 又 ( x ) e x x 1 ，令 h ( x ) ( x ) e x x 1 ， 则 h ( x ) e x 1 ， 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 当 x 0 时， h ( x ) 0 时， h ( x ) 0 ， ( x ) 在 (0 ， ) 上单调递增， ( x ) 在 x 0 处有唯一的极小值 ( 0) 0 ， 即 ( x ) 在 R 上的最小值为 ( 0) 0. ( x ) 0( 当且仅当 x 0 时等号成立 ) ， ( x ) 在 R 上是单调递增的， ( x ) 在 R 上有唯一的零点， 故曲线 y f ( x ) 与曲线 y 1 2 x 2 x 1 有唯一的公共点 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 方法二 e x 0 ， 1 2 x 2 x 10 ， 曲线 y e x 与曲线 y 1 2 x 2 x 1 公共点的个数等于曲线 y 1 2 x 2 x 1 e x 与 y 1 公共点的个数， 设 ( x ) 1 2 x 2 x 1 e x ，则 ( 0) 1 ，即当 x 0 时，两曲线有公共 点 又 ( x ) x 1 e x 1 2 x 2 x 1 e x e 2 x 1 2 x 2 e x 0( 当且仅当 x 0 时等号成立 ) ， 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 ( x ) 在 R 上单调递减， ( x ) 与 y 1 有唯一的公共点， 故曲线 y f ( x ) 与曲线 y 1 2 x 2 x 1 有唯一的公共点 ( 3) 解 f b f a b a f a b 2 e b e a b a e 22e e e e a b a b ba ba ba 2 22e e e ( ) ab b a a b ba ba 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 2ab 专题一 第 5讲 热点分类突破 设函数 u ( x ) e x 1 e x 2 x ( x 0) ， 则 u ( x ) e x 1 e x 2 2 e x 1 e x 2 0 ， u ( x ) 0( 当且仅当 x 0 时等号成立 ) ， u ( x ) 单调递增 当 x 0 时， u ( x ) u ( 0 ) 0. 令 x b a 2 ，则得 ( b a ) 0 ， f b f a b a f a b 2 . 22ee b a a b 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导 数是研究函数性质的一种重要工具基本思路是构造函数，通 过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数 值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个 数，必要时画出函数的草图辅助思考 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 ( 1) ( 2013 天津 ) 设函数 f ( x ) e x x 2 ， g ( x ) ln x x 2 3. 若实数 a ， b 满足 f ( a ) 0 ， g ( b ) 0 ，则 ( ) A g ( a ) 0 f ( b ) B f ( b ) 0 g ( a ) C 0 g ( a ) f ( b ) D f ( b ) g ( a ) 0 ， f ( x ) 在 R 上递增， 由于 f ( 0) e 0 2 1 0 ， 由 f ( a ) 0 知 0 a 0) ， g ( x ) 1 x 2 x 0 ， g ( x ) 在 (0 ， ) 上也递增， 由于 g ( 1) 2 0 ， 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 由 g ( b ) 0 知 1 b f ( 1) 0 ， g ( a ) g ( 1 ) 0 ， g ( a ) 0 f ( b ) 答案 A 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 ( 2) 已知函数 f ( x ) ax 1 ln x ( a R) 讨论函数 f ( x ) 在定义域内的极值点的个数； 若函数 f ( x ) 在 x 1 处取得极值， x (0 ， ) ， f ( x ) bx 2 恒成立，求实数 b 的取值范围； 当 0 x y e 2 且 x e 时，试比较 y x 与 1 ln y 1 ln x 的大小 解 f ( x ) a 1 x ax 1 x ，当 a 0 时， f ( x ) 0 时， f ( x ) 0 得 0 x 0 得 x 1 a ， f ( x ) 在 (0 ， 1 a ) 上单调递减，在 ( 1 a ， ) 上单调递增， 即 f ( x ) 在 x 1 a 处有极小值 当 a 0 时， f ( x ) 在 (0 ， ) 上没有极值点； 当 a 0 时， f ( x ) 在 (0 ， ) 上有一个极值点 函数 f ( x ) 在 x 1 处取得极值， a 1 ， f ( x ) bx 2 1 1 x ln x x b ， 令 g ( x ) 1 1x ln xx ， 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 则 g ( x ) 2 x 2 ln x x 2 ， g (e 2 ) 0 ，从而可得 g ( x ) 在 (0 ， e 2 上单调递减，在 e 2 ， ) 上单调递增， g ( x ) m in g (e 2 ) 1 1 e 2 ，即 b 1 1 e 2 . 由 知 g ( x ) 1 1 ln x x 在 (0 ， e 2 ) 上单调递减， 0 x y g ( y ) ， 即 1 ln x x 1 ln y y . 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 当 0 x 0 ， yx 1 ln y 1 ln x ； 当 e x e 2 时， 1 ln x 0 ， yx 0 的必要 不充分条件 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 2 可导函数极值的理解 (1) 函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定， 也有可能极小值大于极大值； (2) 对于可导函数 f ( x ) ， “ f ( x ) 在 x x 0 处的导数 f ( x ) 0 ” 是 “ f ( x ) 在 x x 0 处取得极值 ” 的必要不充分条件； (3) 注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变 负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是 原函数的极小值点 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 3 导数在综合应用 中转化与化归思想的常见类型 ( 1) 把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题； ( 2) 把证明不等式问题转化为函数的单调性问题； ( 3) 把方程解的问题转化为函数的零点问题 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 押题精练 1 已知函数 f ( x ) x 1 x 1 ， g ( x ) x 2 2 ax 4 ，若任意 x 1 0 , 1 ，存在 x 2 1,2 ，使 f ( x 1 ) g ( x 2 ) ，则实数 a 的取值范围 是 _ 解析 由于 f ( x ) 1 1 x 1 2 0 ， 因此函数 f ( x ) 在 0 , 1 上单调递增， 所以 x 0 , 1 时， f ( x ) m in f ( 0) 1. 根据题意可知存在 x 1,2 ， 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 押题精练 使得 g ( x ) x 2 2 ax 4 1 ， 即 x 2 2 ax 5 0 ，即 a x2 52 x 能成立， 令 h ( x ) x2 52 x ， 则要使 a h ( x ) 在 x 1 , 2 能成立，只需使 a h ( x ) m in ， 又函数 h ( x ) x2 52 x 在 x 1 , 2 上单调递减， 所以 h ( x ) m in h ( 2) 94 ，故只需 a 94 . 答案 9 4 ， 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 押题精练 2 设函数 f ( x ) 1 a 2 x 2 ax ln x ( a R) ( 1) 当 a 1 时，求函数 f ( x ) 的极值； ( 2) 当 a 2 时，讨论函数 f ( x ) 的单调性； ( 3) 若对任意 a ( 2,3) 及任意 x 1 ， x 2 1 , 2 ，恒有 ma ln 2 | f ( x 1 ) f ( x 2 )| 成立，求实数 m 的取值范围 解 ( 1) 函数的定义域为 (0 ， ) ， 当 a 1 时， f ( x ) x ln x ， f ( x ) 1 1 x x 1 x . 令 f ( x ) 0 ，得 x 1. 当 0 x 1 时， f ( x ) 1 时， f ( x ) 0. f ( x ) 在 ( 0,1) 上单调递减，在 (1 ， ) 上单调递增， f ( x ) 极小值 f ( 1) 1 ，无极大值 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 押题精练 ( 2) f ( x ) (1 a ) x a 1 x 1 a x 2 ax 1 x 1 a x 1 x 1 x 1 a x 1 a 1 x 1 x . 当 1 a 1 1 ，即 a 2 时， f ( x ) x 1 2 x 0 ， f ( x ) 在 (0 ， ) 上是减函数； 当 1 a 1 2 时， 令 f ( x ) 0 ，得 0 x 1 ； 令 f ( x ) 0 ，得 1a 1 x 1 ， a 2 时， f ( x ) 在 (0 ， 1 a 1 ) 和 (1 ， ) 上单调递减， 在 ( 1 a 1 ， 1) 上单调递增 ( 3) 由 ( 2) 知，当 a ( 2,3 ) 时， f ( x ) 在 1 , 2 上单调递减， 当 x 1 时， f ( x ) 有最大值，当 x 2 时， f ( x ) 有最小值 | f ( x 1 ) f ( x 2 )| f ( 1) f ( 2) a 2 3 2 ln 2 ， ma ln 2 a 2 3 2 ln 2. 而 a 0 经整理得 m 1 2 3 2 a ， 由 2 a 3 得 1 4 1 2 3 2 a 0 ， m 0. 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练
展开阅读全文