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专题一 第 5讲 第 5 讲 导数及其应用 【高考考情解读】 1 本讲主要考查导数的几何意义,导数的四则运算及利用导 数研究函数的单调性,求函数的极值、最值等 . 2 常与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等 结合在一起考查,题型多样,属中高档题目 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 主干知识梳理 1 导数的几何意义 函数 y f ( x ) 在点 x x 0 处的导数值就是曲线 y f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 ) 处的切线的斜率,其切线方程是 y f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) 2 导数与函数单调性的关系 ( 1) f ( x ) 0 是 f ( x ) 为增函数的充分不必要条件,如函数 f ( x ) x 3 在 ( , ) 上单调递增,但 f ( x ) 0. ( 2) f ( x ) 0 是 f ( x ) 为增函数的必要不充分条件,当函数在 某个区间内恒有 f ( x ) 0 时,则 f ( x ) 为常数,函数不具有 单调性 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 主干知识梳理 3 函数的极值与最值 (1) 函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是 对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题 (2) 函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个,而 函数的极值可能不止一个,也可能没有 (3) 闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不 一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最 值 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 主干知识梳理 4 四个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1) (sin x ) c os x . (2) (c os x ) sin x . (3) ( a x ) a x ln a ( a 0 ,且 a 1) (4) (log a x ) 1 x ln a ( a 0 ,且 a 1) (5) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) (6) f x g x f x g x f x g x g x 2 ( g ( x ) 0) 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 考点一 导数几何意义的应用 例 1 ( 1) 过点 ( 1,0) 作曲线 y e x 的切线,则切线方程为 _ ( 2) 在平面直角坐标系 x Oy 中,设 A 是曲线 C 1 : y ax 3 1( a 0) 与曲线 C 2 : x 2 y 2 5 2 的一个公共点,若 C 1 在 A 处的切线与 C 2 在 A 处的切线互相垂直,则实数 a 的值是 _ _ 解析 ( 1) 设切点为 P ( x 0 , ) ,则切线斜率为 , 切线方程为 y ( x x 0 ) , 又切线经过点 ( 1,0) ,所以 (1 x 0 ) , 0ex 0ex 0ex 0ex 0ex 0ex 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 解得 x 0 2 ,切线方程为 y e 2 e 2 ( x 2) , 即 e 2 x y e 2 0. ( 2) 设 A ( x 0 , y 0 ) ,则 C 1 在 A 处的切线的斜率为 f ( x 0 ) 3 ax 20 , C 2 在 A 处的切线的斜率为 1 k OA x 0 y 0 , 又 C 1 在 A 处的切线与 C 2 在 A 处的切线互相垂直, 所以 ( x 0 y 0 ) 3 ax 2 0 1 ,即 y 0 3 ax 3 0 , 又 ax 30 y 0 1 ,所以 y 0 3 2 , 代入 C 2 : x 2 y 2 5 2 ,得 x 0 1 2 , 将 x 0 1 2 , y 0 3 2 代入 y ax 3 1( a 0) ,得 a 4. 答案 ( 1) e 2 x y e 2 0 2) 4 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 ( 1) 求曲线的切线要注意 “ 过点 P 的切线 ” 与 “ 在点 P 处的切线 ” 的差异,过点 P 的切线中,点 P 不一定是切点, 点 P 也不一定在已知曲线上,而在点 P 处的切线,必以点 P 为 切点 ( 2) 利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、 切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间 的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之 间的关系,进而和导数联系起来求解 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 ( 1) 直线 y kx b 与曲线 y ax 2 2 ln x 相切于点 P ( 1,4) ,则 b 的值为 ( ) A 3 B 1 C 1 D 3 ( 2) 若曲线 f ( x ) x sin x 1 在 x 2 处的切线与直线 ax 2 y 1 0 互相垂直,则实数 a 等于 ( ) A 2 B 1 C 1 D 2 解析 ( 1) 由点 P ( 1,4) 在曲线上,可得 a 1 2 2 ln 1 4 , 解得 a 2 ,故 y 2 x 2 2 ln x 所以 y 4 x 1 x . 所以曲线在点 P 处的切线斜率 k y | x 1 4 1 1 1 5. 所以切线的方程为 y 5 x b . 由点 P 在切线上, 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 得 4 5 1 b ,解得 b 1. ( 2) f ( x ) sin x x c os x , f ( 2 ) 1 , 即函数 f ( x ) x sin x 1 在点 x 2 处的切线的斜率是 1 , 直线 ax 2 y 1 0 的斜率是 a 2 , 所以 ( a 2 ) 1 1 ,解得 a 2. 答案 ( 1) C ( 2) D 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 考点二 利用导数研究函数的性质 例 2 ( 2013 广东 ) 设函数 f ( x ) x 3 kx 2 x ( k R) ( 1) 当 k 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; ( 2) 当 k 0 , f ( x ) 在 R 上单调递增 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 ( 2) 当 k 0 时, f ( x ) 3 x 2 2 kx 1 ,其图象开口向上,对称 轴 x k 3 ,且过 ( 0,1) 点 当 4 k 2 12 4( k 3 )( k 3 ) 0 ,即 3 k 0 ,即 k 3 时, 令 f ( x ) 0 得 x 1 k k 2 3 3 , x 2 k k 2 3 3 , 且 k x 2 x 1 0 , m f ( k ) k , 又 f ( x 2 ) f ( k ) x 32 kx 22 x 2 ( k 3 k k 2 k ) ( x 2 k ) ( x 2 k ) 2 k 2 1 0 , M f ( k ) 2 k 3 k . 综上,当 k 0 或 f ( x )1 ,求 f ( x ) 在闭区间 0,2| a | 上的最小值 解 (1 ) 当 a 1 时, f ( x ) 6 x 2 12 x 6 , 所以 f ( 2) 6. 又因为 f ( 2) 4 ,所以切线方程为 6 x y 8 0. ( 2) 记 g ( a ) 为 f ( x ) 在闭区间 0 , 2 | a | 上的最小值 f ( x ) 6 x 2 6( a 1) x 6 a 6( x 1) ( x a ) 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 令 f ( x ) 0 ,得到 x 1 1 , x 2 a . 当 a 1 时, x 0 ( 0,1) 1 (1 , a ) a ( a, 2 a ) 2 a f ( x ) 0 0 f ( x ) 0 单调 递增 极大值 3 a 1 单调 递减 极小值 a 2 (3 a ) 单调 递增 4 a 3 比较 f ( 0) 0 和 f ( a ) a 2 (3 a ) 的大小可得 g ( a ) 0 , 1 3. 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 当 a 1 时, x 0 ( 0,1) 1 (1 , 2 a ) 2 a f ( x ) 0 f ( x ) 0 单调递 减 极小值 3 a 1 单调递增 28 a 3 24 a 2 得 g ( a ) 3 a 1. 综上所述, f ( x ) 在闭区间 0,2| a | 上的最小值为 g ( a ) 3 a 1 , a 1 , 0 , 1 3. 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 考点三 利用导数解决与方程、不等式有关的问题 例 3 ( 2013 陕西 ) 已知函数 f ( x ) e x , x R. ( 1) 求 f ( x ) 的反函数的图象上点 ( 1,0) 处的切线方程; ( 2) 证明:曲线 y f ( x ) 与曲线 y 1 2 x 2 x 1 有唯一公共点; ( 3) 设 a b ,比较 f a b 2 与 f b f a b a 的大小,并说明理由 本题主要考查导数在解决方程、不等式问题等方 面的应用,构造函数是解决问题的关键 热点分类突破 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 ( 1) 解 f ( x ) 的反函数为 g ( x ) ln x, 设所求切线的斜率为 k , g ( x ) 1 x , k g ( 1) 1. 于是在点 ( 1,0 ) 处的切线方程为 x y 1 0. ( 2) 证明 方法一 曲线 y e x 与曲线 y 1 2 x 2 x 1 公共点的个 数等于函数 ( x ) e x 1 2 x 2 x 1 零点的个数 ( 0) 1 1 0 , ( x ) 存在零点 x 0. 又 ( x ) e x x 1 ,令 h ( x ) ( x ) e x x 1 , 则 h ( x ) e x 1 , 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 当 x 0 时, h ( x ) 0 时, h ( x ) 0 , ( x ) 在 (0 , ) 上单调递增, ( x ) 在 x 0 处有唯一的极小值 ( 0) 0 , 即 ( x ) 在 R 上的最小值为 ( 0) 0. ( x ) 0( 当且仅当 x 0 时等号成立 ) , ( x ) 在 R 上是单调递增的, ( x ) 在 R 上有唯一的零点, 故曲线 y f ( x ) 与曲线 y 1 2 x 2 x 1 有唯一的公共点 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 方法二 e x 0 , 1 2 x 2 x 10 , 曲线 y e x 与曲线 y 1 2 x 2 x 1 公共点的个数等于曲线 y 1 2 x 2 x 1 e x 与 y 1 公共点的个数, 设 ( x ) 1 2 x 2 x 1 e x ,则 ( 0) 1 ,即当 x 0 时,两曲线有公共 点 又 ( x ) x 1 e x 1 2 x 2 x 1 e x e 2 x 1 2 x 2 e x 0( 当且仅当 x 0 时等号成立 ) , 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 ( x ) 在 R 上单调递减, ( x ) 与 y 1 有唯一的公共点, 故曲线 y f ( x ) 与曲线 y 1 2 x 2 x 1 有唯一的公共点 ( 3) 解 f b f a b a f a b 2 e b e a b a e 22e e e e a b a b ba ba ba 2 22e e e ( ) ab b a a b ba ba 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 2ab 专题一 第 5讲 热点分类突破 设函数 u ( x ) e x 1 e x 2 x ( x 0) , 则 u ( x ) e x 1 e x 2 2 e x 1 e x 2 0 , u ( x ) 0( 当且仅当 x 0 时等号成立 ) , u ( x ) 单调递增 当 x 0 时, u ( x ) u ( 0 ) 0. 令 x b a 2 ,则得 ( b a ) 0 , f b f a b a f a b 2 . 22ee b a a b 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 研究方程及不等式问题,都要运用函数性质,而导 数是研究函数性质的一种重要工具基本思路是构造函数,通 过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数 值,根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个 数,必要时画出函数的草图辅助思考 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 ( 1) ( 2013 天津 ) 设函数 f ( x ) e x x 2 , g ( x ) ln x x 2 3. 若实数 a , b 满足 f ( a ) 0 , g ( b ) 0 ,则 ( ) A g ( a ) 0 f ( b ) B f ( b ) 0 g ( a ) C 0 g ( a ) f ( b ) D f ( b ) g ( a ) 0 , f ( x ) 在 R 上递增, 由于 f ( 0) e 0 2 1 0 , 由 f ( a ) 0 知 0 a 0) , g ( x ) 1 x 2 x 0 , g ( x ) 在 (0 , ) 上也递增, 由于 g ( 1) 2 0 , 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 由 g ( b ) 0 知 1 b f ( 1) 0 , g ( a ) g ( 1 ) 0 , g ( a ) 0 f ( b ) 答案 A 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 ( 2) 已知函数 f ( x ) ax 1 ln x ( a R) 讨论函数 f ( x ) 在定义域内的极值点的个数; 若函数 f ( x ) 在 x 1 处取得极值, x (0 , ) , f ( x ) bx 2 恒成立,求实数 b 的取值范围; 当 0 x y e 2 且 x e 时,试比较 y x 与 1 ln y 1 ln x 的大小 解 f ( x ) a 1 x ax 1 x ,当 a 0 时, f ( x ) 0 时, f ( x ) 0 得 0 x 0 得 x 1 a , f ( x ) 在 (0 , 1 a ) 上单调递减,在 ( 1 a , ) 上单调递增, 即 f ( x ) 在 x 1 a 处有极小值 当 a 0 时, f ( x ) 在 (0 , ) 上没有极值点; 当 a 0 时, f ( x ) 在 (0 , ) 上有一个极值点 函数 f ( x ) 在 x 1 处取得极值, a 1 , f ( x ) bx 2 1 1 x ln x x b , 令 g ( x ) 1 1x ln xx , 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 则 g ( x ) 2 x 2 ln x x 2 , g (e 2 ) 0 ,从而可得 g ( x ) 在 (0 , e 2 上单调递减,在 e 2 , ) 上单调递增, g ( x ) m in g (e 2 ) 1 1 e 2 ,即 b 1 1 e 2 . 由 知 g ( x ) 1 1 ln x x 在 (0 , e 2 ) 上单调递减, 0 x y g ( y ) , 即 1 ln x x 1 ln y y . 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 当 0 x 0 , yx 1 ln y 1 ln x ; 当 e x e 2 时, 1 ln x 0 , yx 0 的必要 不充分条件 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 2 可导函数极值的理解 (1) 函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定, 也有可能极小值大于极大值; (2) 对于可导函数 f ( x ) , “ f ( x ) 在 x x 0 处的导数 f ( x ) 0 ” 是 “ f ( x ) 在 x x 0 处取得极值 ” 的必要不充分条件; (3) 注意导函数的图象与原函数图象的关系,导函数由正变 负的零点是原函数的极大值点,导函数由负变正的零点是 原函数的极小值点 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 热点分类突破 3 导数在综合应用 中转化与化归思想的常见类型 ( 1) 把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题; ( 2) 把证明不等式问题转化为函数的单调性问题; ( 3) 把方程解的问题转化为函数的零点问题 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 押题精练 1 已知函数 f ( x ) x 1 x 1 , g ( x ) x 2 2 ax 4 ,若任意 x 1 0 , 1 ,存在 x 2 1,2 ,使 f ( x 1 ) g ( x 2 ) ,则实数 a 的取值范围 是 _ 解析 由于 f ( x ) 1 1 x 1 2 0 , 因此函数 f ( x ) 在 0 , 1 上单调递增, 所以 x 0 , 1 时, f ( x ) m in f ( 0) 1. 根据题意可知存在 x 1,2 , 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 押题精练 使得 g ( x ) x 2 2 ax 4 1 , 即 x 2 2 ax 5 0 ,即 a x2 52 x 能成立, 令 h ( x ) x2 52 x , 则要使 a h ( x ) 在 x 1 , 2 能成立,只需使 a h ( x ) m in , 又函数 h ( x ) x2 52 x 在 x 1 , 2 上单调递减, 所以 h ( x ) m in h ( 2) 94 ,故只需 a 94 . 答案 9 4 , 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 押题精练 2 设函数 f ( x ) 1 a 2 x 2 ax ln x ( a R) ( 1) 当 a 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; ( 2) 当 a 2 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; ( 3) 若对任意 a ( 2,3) 及任意 x 1 , x 2 1 , 2 ,恒有 ma ln 2 | f ( x 1 ) f ( x 2 )| 成立,求实数 m 的取值范围 解 ( 1) 函数的定义域为 (0 , ) , 当 a 1 时, f ( x ) x ln x , f ( x ) 1 1 x x 1 x . 令 f ( x ) 0 ,得 x 1. 当 0 x 1 时, f ( x ) 1 时, f ( x ) 0. f ( x ) 在 ( 0,1) 上单调递减,在 (1 , ) 上单调递增, f ( x ) 极小值 f ( 1) 1 ,无极大值 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练 专题一 第 5讲 押题精练 ( 2) f ( x ) (1 a ) x a 1 x 1 a x 2 ax 1 x 1 a x 1 x 1 x 1 a x 1 a 1 x 1 x . 当 1 a 1 1 ,即 a 2 时, f ( x ) x 1 2 x 0 , f ( x ) 在 (0 , ) 上是减函数; 当 1 a 1 2 时, 令 f ( x ) 0 ,得 0 x 1 ; 令 f ( x ) 0 ,得 1a 1 x 1 , a 2 时, f ( x ) 在 (0 , 1 a 1 ) 和 (1 , ) 上单调递减, 在 ( 1 a 1 , 1) 上单调递增 ( 3) 由 ( 2) 知,当 a ( 2,3 ) 时, f ( x ) 在 1 , 2 上单调递减, 当 x 1 时, f ( x ) 有最大值,当 x 2 时, f ( x ) 有最小值 | f ( x 1 ) f ( x 2 )| f ( 1) f ( 2) a 2 3 2 ln 2 , ma ln 2 a 2 3 2 ln 2. 而 a 0 经整理得 m 1 2 3 2 a , 由 2 a 3 得 1 4 1 2 3 2 a 0 , m 0. 本 讲 栏 目 开 关 主干知识梳理 热点分类突破 押 题 精 练
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