傅里叶级数的优越性

傅里叶级数的优越性摘要众所周知，幂级数是一种最为简单放入级数，它有具有很好的性质，在许多 方面都有运用。是数学分析解决问题的有利工具，特别是在研究函数方面。而傅 里叶级数作为比幂级数更为复杂的令一种级数，是继幂级数后。形成的在理论以 及其他许多方面，如在工程技术，特别是无线电、通信、数字处理中一个比不可 少的工具。那么傅里叶级数在那些方面优越幂级数呢？优越的程度如何？引起优 越的原因是什么？本文将进行有利的研究。1 傅里叶级数的优越性则由 a = f(X0), nn !1.1 在级数存在性的问题上定义1 f(x)在x点的某领域内具有任意阶导数,0(n=0,1,2,3.)所确定的a称为函数f (x)的Taylor系数，用这些系数组成的幕 n级数艺a (x-x )称为函数f (x)的Taylor级数，记n0n =11)f (x)艺 a (x - x ) nn0n=1由此可知，只要函数f (x)在点x点附近存在任意阶导数，就都有其对应的0Taylor 级数，且幂级数至少有有一个收敛点 x 于是， Taylor 级数一定收敛，但 0在x的某领域内不一定收敛于函数f (x)。 0例 1 由于函数0, x 二 0,e -x2,x*0在 x=0 处任何阶导数都等于 0 ,即f n(0) = 0, n = 1,2,3.,所以f (x)在x = 0的泰勒级数为0+0 x x+2x 2+护+.显然它在+刃上收敛，且其和函数s(x) = 0。由此看到，对一切x丰0都有f (x)丰 S (x这个例子说明，具有任何阶段的导数的函数，其泰勒级数并不是都能收敛函数本身。即在(1)式中不可以改“”号为“=”。反之，若有幕级数艺a (x-x )在x点n 00n=1附近一一致收敛(或收敛)于函数f (x)的Taylor级数展开式。定义2设函数f (x)在-兀,兀上可积，由a =丄 J* f (x)cos nxdx,( n = 0,1,2,.)n 兀一兀 b = 1 J* f (x)sin nxdx,( n = 0,1,2,.)n 兀 一*所确定的数a与b称为函数f (x)的傅里叶系数，用这些做成三角函数nn2)2)o + 艺(a c o n x+ bs i n x )2 n nn=1f (x) 0 + 艺(a cos nx + b sin nx)2 n n称为函数 f (x) 级数，记为n=1于是，在-兀,兀上的可积函数f ( x)，定存在其相应的傅里叶级数，但是傅里叶级数不一定收敛于函数f (x),即在不可以将“”换成“=”号，反之若有-兀,兀上的三角函数o + 艺(a cos nx + b sin nx)2 n nn=1一致收敛于函数f (x)，则此级数一定是傅里叶级数的展开式。结论 1如果两函数f (x)与g(x)在x的某领域中有相同的值，则不论它们在这领域外的0值是怎么样的，它们的傅里叶级数在x处同时收敛散，而且收敛时有相同的和,0考虑到f (x)的傅里叶系数a与b是由f (x)在整个区间-*,兀所确定，上述这个nn局部化结果是出乎意料的，这说明了傅里叶级数的优越性。比较可知，函数f (x)相应的傅里叶级数的存在性的条件要比函数相应幕级数的条件更低。即可写成其相应的傅里叶级数的函数要比相应的幂级数的函数更多。1.2 在级数的收敛性问题上在(1)，(2)式中，什么时候“”号为“=”号呢？即在什么时候级数收敛 于函数呢？有结论2若函数f (x)是以2兀为周期的分段函数，则函数的傅里叶级数处处收敛，且有艺(a cos nx + b sin nx)nnn=1该结论的条件可以降低，从而可以建立一些更精细的判别法具有分段光滑的函数类更广泛 的函数类的展开为傅里叶级数的收敛问题。定理(傅里叶收敛的充分条件，Dini判别法)设f (x)是周期为2兀且在-兀,兀上可积或绝对可积得函数，对某个实数s,令申(t) = f(x +1) + f(x -1) - 2s，00如果38 0，使得函数也在-兀,兀上可积或绝对可积，则f (x)的傅里叶级数在x t0 处收敛于 s从 Dini 判别法可以推导一些便于运用的判别法。1)2)当f (x)在x处为第一类间断点时，f (x)的傅里叶级数收敛于0f (x + 0) + f (x )2 0 0特别的，当 f(x) 在 x 处连续时， f(x) 的傅里叶级数在 x 处收敛于00f(x)。(3)推论2,如果周期为2兀的函数f (x)在-兀,兀上是分段可导的，则f (x)的傅里叶级数在每点x处收敛于1f (x + 0) + f (x - 0)I特别的，在 0 2 0 0f (x)连续点收敛于f (x )。0结论3若函数f (x)在x处有任意阶导数则函数f (x)在x点附近展开成00Taylor级数的充分必要条件是limR (X) = 0,其中，R (x)为Taylor级数的x S n余项。由此可看到，只要f (x)是周期为2兀的函数，且在-兀,兀上有一阶导数，就可以将它展开成傅里叶级数，而幕级数展开的必要条件是f (x)为有任意阶导数存在的函数，从这点看，傅里叶级数比幂级数优越。1.3 在级数的不唯一性问题上将给定的可积函数f (x)展开为傅里叶级数，可根据不同的情况，不同的区间, 函数要研究的不同形式，而展开成不同的形式。从而更好的研究函数。在这方面 傅里叶级数比幂级数更优越。因为幂级数展开相对来说比较狭隘。其中常见的有 以下几种。(1)若函数f (x)是以2兀为周期的函数，则可由b =丄 J*n 兀f (x)sin nxdx,( n = 0,1,2,.)n 兀一兀求出相应的傅里叶级数艺(acos nx +sin nx)nn n=1然后根据函数的性质及相应的收敛定理写出函数f (x)的傅里叶展开式，同时注明收 敛区间。(2)若函数只在-兀,兀上给出，则用周期开拓的办法归结为(1),但收敛期间只在兀,兀上考虑。例2设函数是f (x) = |sinx|，-兀 x 兀,求f (x)的傅里叶展开式。解 f (x)是-兀,兀的偶函数，如图就是这函数及周期延拓的图形，由于f (x)是1 兀一兀sin xcos nxdx =0, n = 3,5,.41(n = 0,1,2,.)兀 n 2 一 1,2 fJ 兀 sin nx sin xdx = 0 ,o1 艺 cos 2mx_机严2 一 1因此 Isin x - 2一cos 2mx =m i兀n=1(3)对于之在(0,兀)上定义的函数，如何展开成傅里叶级数呢？这时，在(0,兀)上可以任意补充f (x)的定义，使f (x)在上定-兀,兀上有定义，然后在以2兀为 周期的函数延拓到整个数轴上。对于不同的延拓，得到的傅里叶级数自然不一 样，但在(0,兀)上，它们都收敛于同一函数，而奇性延拓和偶性延拓是最常好、 见得两种方法。在奇延拓下， 函数f (x)的傅里叶级数呈现形如艺b sinnx的形式。称之 nn=1为函数的正弦函数。在偶函数延拓下的函数函 数 f(x) 的傅里叶级数呈现形如艺a cosnx的形式，称之为函数的余弦函数。 n n=1(4)若函数f (x)是以21为周期的函数，可a = - J1 f (x) cosdx,( n = 0,1,2,.)nl 一 llb = - J1 f (x)sin -dx,( n = 0,1,2,.) n1 一 1求出相应的傅里叶级数为：n兀xn兀x、cos + b sin ) l n la+艺(an=12总上所述，对于函数f (x)的傅里叶级数展开，因考虑的区间性质不同，而展开的 傅里叶级数也不一样，这充分说明了傅里叶级数给研究函数提供了方便，对研究 函数提供了更为广泛的空间，从而使我们更好的研究函数，广泛的用于工业上， 是我们更为有利的条件。但是幂级数的展开式，形式很唯一，其方法也是唯一的。若函数f (x)在x附近能展开成幕级数的形式，则它一定是Taylor级数的形 0式。从而使函数的展开很有局限性，不方便我们的研究，即使是它展开的形式很 简单。综上所述，我们可得在应用函数去研究函数时，应用傅里叶级数为工具，比用幂级数为工具更为灵活、迅速、有效、方便，并且还可以从多方面考虑问题。参考文献： 华东师范大学数学系，数学分析（上下册），高等教育出版社 2001.田长安，王永忠。函数的两种傅里叶级数展开式及同一性证明 ，2004.