傅里叶变换基础知识

傅里叶变换基础知识1.傅里叶级数展开最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个 不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。1.1周期信号的傅里叶级数在有限区间上，任何周期信号W)只要满足狄利克雷(dmchlet)条件，都可以展开成傅里叶级 数。1丄1狄利克雷(dinclilet)条件狄利克雷(dinclilet)条件为：(1) 信号x在一个周期内只有有限个第一类间断点(当t从左或右趋向于这个间断点时，函 数有左极限值和右极限值)；(2) 信号尤在一周期内只有有限个极大值和极小值；(3) 信号在一个周期内是绝对可积分的，即应为有限值。1.1.2间断点在非连续函数.y = /(a)中某点处忑处有中断现象，那么，耳就称为函数的不连续点。(1) 第一类间断点(有限型间断点)：a. 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无 定义(耳令分母为零时等情况)；b. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等(y = |x|在点*0处等情况)。(2) 第二类间断点：除第一类间断点的间断点。1.13傅里叶级数三角函数表达式傅里叶级数三角函数表达式为式中：。为信号的常值分量；心为信号的余弦信号幅值；$为信号的正弦信号幅值。%、4、S分别表示为：式中：可为信号的周期；为信号的基频，即角频率，, = 2/7；, n = 1,2,3-o合并同频项也可表示为式中：信号的幅值人和初相位q分别为1丄4频谱的相关概念(1) 信号的频谱(三角频谱)：构成信号的各频率分量的集合，表征信号的幅值和相位随频率 的变化关系，即信号的结构，是A,_e (或人-/)和(或2-/)的统称；(2) 信号的幅频谱：周期信号幅值人随q (或f )的变化关系，用4- (或4-/)表示；(3) 信号的相频谱：周期信号相位仇随。(或/)的变化关系，用q-。(或q-/)表示；(4) 信号的频谱分析：对信号逬行数学变换，获得频谱的过程；(5) 基频：或A，各频率成分都是。或人的整数倍；(6) 基波：或A对应的信号；(7) n 次谐波：5(11 = 2,3,.)或 ”o(n = 2,3,.)的倍频成分 A,cos(g/ + %J 或 Acos(2x 询+ Q);1.1.5周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开cos = i(+)根据欧拉公式戶=COSE jsmcH(j = y/1) t贝IJ jSHI初= *J0知严)因此，傅里叶级数三角函数表达式X(/) = o + fa cosncet + b sumct) oj改写成K-l令则或这就是周期信号的傅里叶复指数形式的表达式。an = jT x(t) cosnatdt将 ?:代入扣H则C”洛J：E)严W汗話：/(皿叫血2宀在一般情况下C”是复数，可以写成c“ = 0 +疋厂CI严式中由c” = o +疋“ = |c，W C”冷S厂也)，C扣+必)可表示为则x(f)=茲严n = 0,l,2,变为71由此可见，周期信号用复指数形式展开，相当于在复平面内用一系列旋转矢量|c|%g)来描 述，但是，负频率的出现，仅仅是数学推导的结果，并无实际物理意义。1.1.6傅里叶级数的复指数与三角函数展开关系由 C=|(a-A)， G = CnR + jC, = |C-可知: 综合人=血+比,|C店Jc；r + c,；表示为 即双边频谱的幅值|c”|是单边频谱幅值4的一半。由(pn = arctan, CR=an/29 Cul = -bn 12 可知:三角函数展开表达式复指数展开表达式常值分呈复指数常量余弦分呈幅值复数Q的实部正弦分呈幅值复数C”的虚部振幅复数c“的模相位相位2傅里叶变换出准周期函数之外的非周期信号称为一般周期信号，也就是瞬态信号。瞬态信号具有瞬变性, 例如锤子敲击力的变化、承载缆绳断裂的应力变化、热电偶插入加热的液体中温度的变化过程等信 号均属于瞬态信号。瞬态信号是非周期信号，可以看作一个周期的周期信号，即周期丁*因此, 可以把瞬态信号看作周期趋于无穷大的周期信号。2.1傅里叶变换设有一周期信号“，则其在卜7/2,T/2E间内的傅里叶级数的复指数形式的表达式为式中_当人TOO时，积分区间-丁亿丁卜卩切；谱线间隔e=Q = 2/r/7；Td6y ,离散频率也T连续变量,所以C,严*J：(片叫W变为70 该式积分后将是少的函数，且一般为复数，用X(je)或X(e)表示为式中：X(丿&)称为信号g的傅里叶积分变换或简称傅里叶变换(FouieiTransform, FT),是把非周期信号看成周期趋于无穷大的周期信号来处理的，显然即X(沟)为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度”的含义，故把X(沟)称为瞬态信号的“频谱密度函数匕或简称“频谱函数”。r由X (沟)巳巴C二赳才得代入曲)=乞6严得H-X当7； TOO时，3。=2己Tq=(13,离散频率QT连续变量0,求和积分。贝0“称为 x (jco)的傅里叶逆变换或反变换(LiveiseFounerTransfoim, IFT)o X(jco) = x(t)eja,dt 和 E) = 匸X(沟)严de构成了傅立叶变换对般地，使用。或o表示信号之间的傅立叶变换及其逆变换之间的关系。由于所以X ( =和班/) = 匸X (加)严可变为这就避免了在傅里叶变换中出现1/2兀的常数因子，使公式形式简化。由式=可知，非周期信号能够用傅里叶函数来表示,。而周期信号可由傅里叶级数xt)=Cne来表示。X) =匸班甘曲df是一般复数形式 可表示为/!X式中：ReX(jf)为X(jf)的实部；ImX()为X(jf)的虚部；|X()|为信号M)的连续幅频谱；讥“) 为信号x的连续相频谱。比较周期信号和非周期信号的频谱可知：首先，非周期信号幅值|X()|随/变化时连续的，即 为连续频谱，而周期信号的幅值随/变化时离散的，即为离散频谱。其次，|C”|的量纲和信号幅 值的量纲一致，而|X()|的量纲相当于|CJ/,为单位频宽上的幅值，即为“频谱密度函数”。2.2傅里叶变换的主要性质个信号可以进行时域描述和频域描述。两种描述通过傅里叶变换来确立彼此一一对应的关系.因此，熟悉傅里叶变换的一些主要性质十分必要。性质时域频域函数的奇偶虚实性实偶函数实偶函数实奇函数虚奇函数虚偶函数实偶函数虚奇函数实奇函数线性叠加对称续尺度改变时移频移时域卷积频域卷积时域微分频域微分积分23几种典型信号(1) 举行窗函数(2) 单位脉冲函数(函数)(3) 正、余弦信号(4) 一般周期信号(5) 周期单位脉冲序列